Livro de Matemática

Exemplo 1

Temos três cidades X, Y e Z. Existem quatro rodovias que ligam X com Y e cinco que ligam Y com Z. Partindo de X e passando por Y, de quantas formas podemos chegar até Z?

Veja o esquema que representa as rodovias ligando as cidades, X, Y e Z.

Dissemos, na introdução, que a Análise Combinatória se dedica ao estudo das técnicas de contagem dos elementos de um conjunto, certo? Então, podemos extrair dois conjuntos desse problema.

A = {a₁,a₂,a₃,a₄}
Representa as rodovias que ligam X e Y.

B = {b₁,b₂,b₃,b₄,b₅}
Representa as rodovias que ligam Y e Z.

É feito, então, o produto cartesiano entre os conjuntos A e B. Fixamos o primeiro elemento do conjunto A, enquanto variamos os demais.

A x B = {(a₁,b₁),(a₁,b₂) … (a₄,b₅)}

Cada maneira de se deslocar de X até Z pode ser considerado como um par de rodovias (a_i,b_j), onde a_i ∈ A e b_j ∈ B;

Logo, teremos 4 x 5 = 20 modos diferentes de sair de X e chegar até Z.

Exemplo 2

Quatro carros disputam uma corrida. Quantas são as possibilidades de chegada para os três primeiros lugares?

Decidimos, aqui, listar todas as possibilidades através de uma tabela. Veja que, para o primeiro lugar, temos 4 possibilidades (qualquer carro pode chegar no primeiro lugar); para o segundo lugar, temos 3 possibilidades, já que um dos carros já ocupou o primeiro lugar; para o terceiro lugar, temos 2 possibilidades, visto que as outras duas já foram preenchidas. Portanto, temos um total de 4 x 3 x 2 = 24 possibilidades.

Exemplo 3

Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal de eixos Ox e Oy. Ele pode dar um passo de cada vez, para norte (N) ou para leste (L). Quantas trajetórias ele pode percorrer se der exatamente 4 passos?

Pelo gráfico, podemos notar que cada trajetória é composta pela quádrupla-ordenada {a₁,a₂,a₃,a₄} onde a₁ ∈ {N,L}, a₂ ∈ {N,L}, a₃ ∈ {N,L}, a₄ ∈ {N,L}.

Visto que a trajetória é composta de 4 passos, cada passo se torna uma etapa. Logo, temos 2 • 2 • 2 • 2 = 16 possibilidades, já que para cada passo temos duas possibilidades.

Exemplo 4

Durante um exercício da marinha de guerra, empregam-se sinais luminosos para transmitir palavras por meio de código Morse. Esse código só emprega dois sinais: ponto e traço. As palavras transmitidas tinham de um a seis sinais. Qual o número de palavras que podiam ser transmitidas?

De acordo com o problema, as palavras podem ter de um a seis sinais. Exemplos de palavras: •, – •, • • – -.
A formação de uma palavra com apenas um sinal possui 1 etapa.
A formação de uma palavra com dois sinais possui 2 etapas.
.
.
.
A formação de uma palavra com seis sinais possui 6 etapas.

Para sabermos o total de palavras que podemos formar somamos, 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126. Portanto, o número de palavras que podem ser transmitidas é de 126.

Exemplo 1

Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5 e 7, sem repeti-los?

Pelo princípio fundamental da contagem temos 6 elementos e 3 posições.

Visto que não podemos repetir algarismos; para a primeira posição, podemos utilizar qualquer um dos 6 números; para a segunda posição, podemos usar apenas 5 dos números, já que utilizamos um para a primeira posição; para a terceira posição, temos 4 possibilidades, pois já reservamos 2 números.
Portanto, pelo processo multiplicativo, temos:

6 • 5 • 4 = 120

Podemos, assim, formar 120 números.

Pelo método de arranjo

3! no numerador pode ser cortado com 3! no denominador. Assim, ficamos com 6 • 5 • 4 = 120.

Exemplo 2

Ao se cadastrar em um portal eletrônico de compras, o usuário deve criar uma senha formada por duas letras distintas (entre as 26 do alfabeto) seguidas por dois algarismos distintos. Quantas senhas podem ser criadas nessas condições?

Vamos dividir o processo de resolução em duas etapas.

1ª etapa: escolha das letras
Devemos escolher 2 letras entre as 26 disponíveis. Temos A_26,2.

2ª etapa: escolha dos algarismos.

Devemos escolher 2 algarismos entre os 10 disponíveis. Temos um arranjo A_10,2.

A escolha da senha é um processo composto por duas etapas: escolha das duas letras e a escolha dos dois algarismos. Portanto, A_26,2 • A_10,2.
A_26,2 • A_10,2 = 650 • 90 = 58.500.

Exemplo 3

Quantos números formados por 3 algarismos distintos escolhidos entre 2, 4, 6, 8 e 9 contêm o 2 e não contêm o 6?

O algarismo 2 pode aparecer na 1ª, 2ª ou 3ª posição. E, além disso, não deverá incluir o algarismo 6.

Portanto, teremos 3 • A_3,2. Isso porque teremos fixado o algarismo; 2 e dos 4 algarismos restantes, devemos excluir o 6, ficando com 3 algarismos.

3 • A_3,2 = 3 • 3! ÷ (3 – 2)! = 3 • 3! = 3 • 6 = 18

Exemplo 4

Um casal, procurando um nome para o filho que nasceria em dois meses, relacionou cem nomes em uma lista. Quantas são as possibilidades, se o casal pode escolher entre um só nome ou um nome composto (2 nomes)?

• Escolher um só nome:

Existem 100 possibilidades.

• Escolher um nome composto:

Escolher 2 nomes entre os 100 disponíveis.

O total de possibilidades é 9.900 + 100 = 10.000.

Exemplo 5

Cinco homens e uma mulher pretendem utilizar um banco com cinco lugares. De quantas maneiras diferentes podem se sentar, nunca ficando em pé a mulher?

Veja todas as posições em que a mulher poderá estar. Fixando a mulher numa posição, teremos 5 homens para 4 posições; portanto:

5 • A_5,4 = 600

Exemplo 1

Calcule:
a) 4!
b) 7!
c) 8! – 5!

De acordo com a fórmula n! = n(n-1)(n-2) … 3 • 2 • 1, temos:

a) 4! = 4 • 3 • 2 • 1 = 24

b) 7! = 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 5.040

c) 8! – 5! = (8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1) – (5 • 4 • 3 • 2 • 1) = 40.320 – 120 = 40.200

Outra forma de solução seria:
8 • 7 • 6 • 5! – 5!
5!(8 • 7 • 6 – 1) = 5! • 335 = 120 • 335 = 40.200

Exemplo 2

Simplifique:

(n + 2) + 1 = n + 3

Exemplo 1

Em uma cesta, há 3 frutas: um mamão, uma laranja e um abacate. A primeira fruta que eu retirar da cesta será consumida imediatamente; a segunda será guardada dentro da bolsa para o lanche; e a terceira será colocada na geladeira. Quantas são as possibilidades de solução?

Veja que uma das soluções pode ser:
{mamão, laranja, abacate}

mamão – consumido imediatamente
laranja – guardada na bolsa
abacate – colocado na geladeira

A solução é encontrar todos os agrupamentos possíveis.

1ª posição → 3 (temos três opções)
2ª posição → 2 (temos duas opções, uma vez que uma fruta já foi escolhida para a primeira posição)
3ª posição → 1 (temos uma opção, uma vez que as etapas anteriores já foram preenchidas)

Portanto, chegamos a P₃ = 3! = 3 • 2 • 1 = 6.

No total, temos 6 possibilidades ou agrupamentos.

Exemplo 2

Considere os números obtidos do número 12.345, efetuando-se todas as permutações de seus algarismos. Colocando esses números em ordem crescente, qual o lugar ocupado pelo número 43.521?

Esse problema exige um pouco mais de atenção e raciocínio.

No total, temos 24 + 24 + 24 + 6 + 6 + 2 + 2 + 1 + 1 = 90. Logo, o número 43.521 ocupa a 90ª posição.

Exemplo 1

Quantos são os anagramas das palavras:

a) CAFÉ

b) BRASIL

a) A palavra CAFÉ possui 4 letras. De quantas maneiras podemos rearranjar as letras desta palavra e formar novas palavras, ainda que sem sentido?

P₄ = 4! = 4 • 3 • 2 • 1 = 24

Portanto, é possível formar 24 anagramas com a palavra CAFÉ. Veja alguns exemplos: ACEF, CEFA, EFAC e muitas outras.

b) Seguindo o mesmo raciocínio do exercício anterior, temos:

P₆ = 6! = 720

A palavra Brasil é formada por 6 letras; logo, são possíveis 720 anagramas.

Exemplo 2

Quantos anagramas da palavra PROBLEMA:

a) Começam por R?

b) Começam por P e terminam por M?

c) Começam por vogal?

d) Terminam por consoante?

a) A palavra PROBLEMA é composta por 8 letras. Logo, se quiséssemos saber quantos anagramas poderíamos formar com essas 8 letras, seria só encontrar o resultado de P₈. Porém, nesta situação, o que se pede é quantos anagramas começam pela letra R. Veja abaixo que fixamos a letra R no início. Com a letra R fixada, todas as demais letras podem ser permutadas. Portanto, temos que permutar 7 letras. Então, temos:

P₇ = 7! = 5.040

b) Nesta situação, temos duas posições fixadas; o início e o fim. Já que estas posições não irão permutar, restam apenas 6 letras para serem rearranjadas. Portanto, temos:

P₆ = 6! = 720

c) Note que, para a primeira posição, podemos ter 3 opções: A, E ou O. As demais posições podem permutar sem problemas. Portanto, temos:

3 • P₇ = 3 • 7! = 3 • 5.040 = 15.120

d) Note que, para a última posição, podemos ter 5 opções: P, R, B, L ou M. As demais posições podem permutar sem problemas. Portanto, temos:

5 • P₇ = 5 • 7! = 5 • 5.040 = 25.200

Exemplo 1

Determine o número de anagramas formados a partir de:

a) CORRER

b) TERRITÓRIO

c) ASSISTENTE

a) Na palavra CORRER, a letra R aparece 3 vezes.

b) Na palavra TERRITÓRIO, a letra T aparece 2 vezes, a letra R 3 vezes, a letra I 2 vezes e a letra O aparece 2 vezes.

c) Na palavra ASSISTENTE, a letra S aparece 3 vezes, a letra T 2 vezes e a letra E aparece 2 vezes.

Exemplo 2

Uma moeda é lançada 5 vezes. De quantos modos distintos podem ser obtidas 2 caras e 3 coroas?

Veja abaixo duas possíveis opções.

Das 5 posições, K aparece 2 vezes e C aparece 3 vezes.

Exemplo 1

Uma família é composta por seis pessoas: pai, mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos?

No desenho acima, temos representada uma das posições. Note que temos 6 pessoas na mesa; porém, foi-nos dito que o pai e a mãe devem estar sempre juntos. Portanto, vamos tratar esses dois elementos como se fossem apenas um. Logo, teremos 5 elementos.
Usando a fórmula da permutação circular, temos:

P_c,5 = (5 – 1)! = 4! = 24

O pai e a mãe podem trocar de lugar entre si; portanto, temos P₂ = 2! = 2.

Dessa forma, temos 2 • 24 = 48 maneiras.

Exemplo 2

Oito crianças formarão uma roda, entre elas Luiz e Júlia. De quantos modos diferentes poderá ser formada essa roda, sendo que Luiz e Júlia nunca poderão ficar juntos?

Vamos montar o esquema:
k = total de maneiras distintas de se formar uma roda com 8 crianças.
y = total de maneiras distintas de se formar uma roda em que Luiz e Júlia estão juntos.
w = total de maneiras distintas de se formar uma roda em que Luiz e Júlia NÃO estão juntos.

Podemos notar que w = k – y.

w = P_c,8 – (P₂ • P_c,7)
w = (8 – 1)! – 2!(7 – 1)!
w = 7! – 2!6!
w = 5.040 – 2 • 720 = 3.600

Exemplo 1

Qual é o número mínimo de pessoas que deve haver em um grupo para que se possa garantir que, nesse grupo, existam pelo menos 5 pessoas nascidas no mesmo mês?

Para garantirmos que, no mínimo, 2 nasceram no mesmo mês, precisamos de 13 pessoas (exatamente 12 + 1). Para asseguramos que, pelo menos 3, nasceram no mesmo mês, precisamos de 25 pessoas (exatamente 2 x 12 + 1). Então, podemos inferir que para 5 pessoas no mesmo mês, temos: 4×12+1 = 49 pessoas.

Logo pra n pessoas, teremos (n-1) x 12 + 1

Exemplo 2

Uma caixa contém 100 bolas de cores distintas. Destas, 30 são vermelhas, 30 são verdes, 30 são azuis e 10 são pretas. Qual o menor número de bolas que devemos tirar da caixa, sem ver suas cores, para termos a certeza de que a caixa contém, pelo menos, 10 bolas da mesma cor?

Se tirarmos 5 bolas, pelos menos 2 terão a mesma cor, não? Claro que sim. E se tirarmos 9 bolas? Pelo menos 3 terão a mesma cor. Vamos fazer uma generalização? 5 = 4 x 1 + 1, 9 = 4 x 2 +1.
Então, para pelo menos n bolas, teremos: 4x (n-1)+1. Portanto, se estamos pedindo pelo menos 10, teremos como resposta: 4 x(10-1)+1=37 bolas.

O número 4 está relacionado às 4 categorias de cores. Se fossem 5 cores a fórmula geral seria 5 x (10 – 1) + 1 = 46.

Exemplo 3

Célia guarda suas blusas, em uma única gaveta, em seu quarto. Nela encontram-se 7 blusas azuis, 9 amarelas, 1 preta, 3 verdes e 3 vermelhas. Uma noite, no escuro, Célia abre a gaveta e pega algumas blusas. Qual o número mínimo de blusas que ela deve pegar para ter a certeza de ter, dentre as blusas, 2 da mesma cor?

Como são 5 opções de cores, teremos:

5 x (2 – 1) + 1 = 6 blusas

Exemplo 4

(RACIOCÍNIO LÓGICO E ESTATÍSTICA_SEPLAG – 2010) Em uma caixa há 12 bolas de mesmo tamanho: 3 brancas, 4 vermelhas e 5 pretas. Uma pessoa, no escuro, deve retirar n bolas da caixa e ter a certeza de que, entre elas, existem três da mesma cor. Qual deve ser o menor valor de n?

Dados do problema:

– Há 12 bolas na caixa
– Existem 3 categorias de cores: branca, vermelha e pretas
– Deseja-se saber qual o menor número de bolas que devem ser retiradas da caixa para se ter certeza de que foram retiradas 3 bolas da mesma cor.

3 x (3 – 1) + 1 = 7

Exemplo 5

Numa gaveta de meias pretas e marrons, há 4 pares de meia preta e 5 pares de marrons, todas misturadas. Quantas peças devo retirar para ter certeza que formei um par, sabendo-se que não consigo vê-las antes de retirá-las.

Dados do problema:

– 4 pares de meias pretas = 4 x 2 → 8 meias pretas
– 5 pares de meias marrons = 5 x 2 → 10 meias marrons
– 2 categorias de cor: preta e marrom
– Deseja-se saber quantas meias devem ser retiradas para se ter certeza de que foi formado um par.

2 x (2 -1) + 1 = 3

Exemplo 6

Uma empresa de desenvolvimento de sistemas é composta dos seguintes profissionais: 3 gerentes de projeto, 5 analistas de negócio e 7 especialistas em desenvolvimento web. Quantos profissionais, no mínimo, devemos escolher para termos certeza de que retiramos dois da mesma função?

Dados do problema:

– 3 categorias
– Deseja-se 2 da mesma função

3 x (2 – 1) + 1 = 4

Devemos escolher no mínimo 4 profissionais

Exemplo 7

Uma investigação da Polícia Federal é formada por 9 agentes da superintendência regional de Espirito Santo, 8 da regional de São Paulo, 12 da regional do Rio de janeiro e 5 da regional de Bahia. Quantos agentes, no mínimo, devemos escolher para termos certeza de que retiramos dois da mesma regional?

Dados do problema:

– 4 categorias
– Deseja-se 2 da mesma regional

4 x (2 – 1) + 1 = 5

Devemos escolher no mínimo 5 agentes

Exemplo 1

Qual o número de diagonais de um hexágono?

Veja o desenho abaixo:

Note que, no hexágono, está destacada a diagonal FC. É fácil perceber que FC = CF; portanto, a ordem dos vértices não faz diferença. Percebemos também que uma diagonal utiliza dois dos seis pontos destacados no hexágono. Para calcularmos o número total de diagonais, utilizaremos a fórmula:

Essa primeira, parte nos diz que, com os 6 pontos e agrupando-os dois a dois, podemos fazer 15 agrupamentos. Entretanto, note que os lados AB, BC, CD, DE, EF e FA não são diagonais e podem ser excluídos.
Portanto, o número total de diagonais de um hexágono, é 15 – 6 = 9.

Exemplo 2

Uma classe tem 10 alunos e 5 alunas. Formam-se comissões de 4 alunos e 2 alunas. Determine o número de comissões em que participa o aluno x e não participa a aluna y.

Primeiro, vamos ver como uma comissão é formada.

comissão = 4 alunos + 2 alunas → C_10,4 • C_5,2

Entretanto, o problema solicita o número de comissões em que o aluno x participa e a aluna y não participa.

Bem, se o aluno x participa, então, já podemos fixá-lo numa das quatro posições. A partir de agora, para os meninos, teremos C_9,3. A aluna y não deverá participar; então, das 5, foi retirada 1. Logo, o total de agrupamentos formado por meninas é C_4,2.
Finalmente, temos o total de comissões em que participa o aluno x e não participa a aluna y. Lembre-se de que a formação da comissão exige duas etapas: escolha dos meninos e, em seguida, das meninas.

C_9,3 • C_4,2 = 504

Exemplo 3

Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas, contendo, no mínimo, um diretor?

As comissões podem ser do seguinte tipo:

1 diretor e 4 gerentes
2 diretores e 3 gerentes
3 diretores e 2 gerentes

De quantas maneiras podemos escolher 1 diretor dentre os 3 disponíveis? C_3,1
De quantas maneiras podemos escolher 4 gerentes dentre os 5 disponíveis? C_5,4

Portanto, o total de comissões do primeiro tipo (1 diretor e 4 gerentes) é:

C_3,1 • C_5,4 = 3 • 5 = 15

As demais comissões podem ser calculadas como:

C_3,2 • C_5,3 = 3 • 10 = 30
C_3,3 • C_5,2 = 1 • 10 = 10

Logo, o total de comissões será 15 + 30 +10 = 55

Exemplo 1

Uma adega dispõe de 5 tipos diferentes de vinho. De quantas maneiras uma pessoa poderá comprar 2 garrafas de vinho?

Exemplo 2

(Petrobras 2008-2/CESGRANRIO) Em um supermercado são vendidas 5 marcas diferentes de refrigerante. Uma pessoa que deseje comprar 3 latas de refrigerante, sem que haja preferência por uma determinada marca, pode escolhê-las de N formas. O valor de N é

(A) 3
(B) 10
(C) 15
(D) 35
(E) 125

Outra interpretação do problema é visualizá-lo como uma equação.

a + b + c + d + e = 3

Onde cada letra representa uma marca de refrigerante.

1 + 0 + 0 + 1 + 1 = 3

Uma opção seria escolher um refrigerante da marca a, um da marca d e outro da marca e.

0 + 2 + 1 + 0 + 0 = 3

Ainda outra opção seria escolher dois refrigerantes da marca b e um da marca c e nenhum das demais marcas.

Logo, o que estamos procurando são as soluções inteiras da equação a + b + c + d + e = 3.

Exemplo 3

Uma fábrica produz cinco tipos de balas que são vendidas em pacotes contendo 10 balas, de um mesmo tipo ou sortidas. Quantos pacotes diferentes podem ser formados?

Este problema pode ser interpretado como uma equação. Na verdade devemos encontrar todas as soluções inteiras dessa equação.

a + b + c + d + e = 10

Onde cada letra representa um tipo de bala. Porém, nesse caso não podemos ter incógnitas com valor zero. Por isso, devemos fazer uma mudança de variável.

a = x + 1
b = y + 1
c = z + 1
d = u + 1
e = v + 1

x + 1 + y + 1 + z + 1 + u + 1 + v + 1 = 10
x + y + z + u + v = 10 – 5
x + y + z + u + v = 5

Portanto, podem ser formados 126 pacotes de balas nas condições impostas.