Livro de Matemática
Sumário
Fatorial e permutação
Definições especiais
0! = 1 e 1! = 1
Esta é a expressão para n!(lê-se: n fatorial ou fatorial de n). É sempre o produto de todos os seus antecessores, incluindo ele próprio e excluindo o zero. n ∈ N e n > 1.
Exemplo 1
Calcule:
a) 4!
b) 7!
c) 8! – 5!
De acordo com a fórmula n! = n(n-1)(n-2) … 3 • 2 • 1, temos:
a) 4! = 4 • 3 • 2 • 1 = 24
b) 7! = 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 5.040
c) 8! – 5! = (8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1) – (5 • 4 • 3 • 2 • 1) = 40.320 – 120 = 40.200
Outra forma de solução seria:
8 • 7 • 6 • 5! – 5!
5!(8 • 7 • 6 – 1) = 5! • 335 = 120 • 335 = 40.200
Exemplo 2
Simplifique:
| a) |
|
| b) |
|
| a) |
|
= |
|
= n |
| b) |
|
|
|
|
(n + 2) + 1 = n + 3
Permutação
Em análise combinatória, permutações são arranjos ordenados de um conjunto finito de elementos. Uma permutação é uma disposição dos elementos de tal forma que a ordem em que esses elementos aparecem é importante. Em outras palavras, duas permutações são diferentes se a ordem dos elementos for diferente, mesmo que os elementos em si sejam os mesmos.
O número de permutações de um conjunto de elementos é frequentemente denotado por Pn e pode ser calculado usando a fórmula:
Você já conhece n!. n! = n(n-1)(n-2) … 3 • 2 • 1.
Exemplo 1
Em uma cesta, há 3 frutas: um mamão, uma laranja e um abacate. A primeira fruta que eu retirar da cesta será consumida imediatamente; a segunda será guardada dentro da bolsa para o lanche; e a terceira será colocada na geladeira. Quantas são as possibilidades de solução?
Veja que uma das soluções pode ser:
{mamão, laranja, abacate}
mamão – consumido imediatamente
laranja – guardada na bolsa
abacate – colocado na geladeira
A solução é encontrar todos os agrupamentos possíveis.
1ª posição → 3 (temos três opções)
2ª posição → 2 (temos duas opções, uma vez que uma fruta já foi escolhida para a primeira posição)
3ª posição → 1 (temos uma opção, uma vez que as etapas anteriores já foram preenchidas)
Portanto, chegamos a P3 = 3! = 3 • 2 • 1 = 6.
No total, temos 6 possibilidades ou agrupamentos.
Exemplo 2
Considere os números obtidos do número 12.345, efetuando-se todas as permutações de seus algarismos. Colocando esses números em ordem crescente, qual o lugar ocupado pelo número 43.521?
Esse problema exige um pouco mais de atenção e raciocínio.
| n! | Permutações | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 4! = 24 |
|
|||||
| 4! = 24 |
|
|||||
| 4! = 24 |
|
|||||
| 3! = 6 |
|
|||||
| 3! = 6 |
|
|||||
| 2! = 2 |
|
|||||
| 2! = 2 |
|
|||||
| 1! = 1 |
|
|||||
| 1 |
|
No total, temos 24 + 24 + 24 + 6 + 6 + 2 + 2 + 1 + 1 = 90. Logo, o número 43.521 ocupa a 90ª posição.
Em problemas envolvendo permutações, encontramos, na maioria das vezes, o termo anagrama. O que significa esta palavra? Anagrama é o resultado do rearranjo das letras de uma palavra com a finalidade de formar novas palavras, fazendo ou não sentido. Veja, por exemplo, que as palavras PEDRO e DEPOR são anagramas obtidos da palavra PODER. Isso foi feito simplesmente trocando a ordem das letras.
Exemplo 1
Quantos são os anagramas das palavras:
a) CAFÉ
b) BRASIL
a) A palavra CAFÉ possui 4 letras. De quantas maneiras podemos rearranjar as letras desta palavra e formar novas palavras, ainda que sem sentido?
P4 = 4! = 4 • 3 • 2 • 1 = 24
Portanto, é possível formar 24 anagramas com a palavra CAFÉ. Veja alguns exemplos: ACEF, CEFA, EFAC e muitas outras.
b) Seguindo o mesmo raciocínio do exercício anterior, temos:
P6 = 6! = 720
A palavra Brasil é formada por 6 letras; logo, são possíveis 720 anagramas.
Exemplo 2
Quantos anagramas da palavra PROBLEMA:
a) Começam por R?
b) Começam por P e terminam por M?
c) Começam por vogal?
d) Terminam por consoante?
a) A palavra PROBLEMA é composta por 8 letras. Logo, se quiséssemos saber quantos anagramas poderíamos formar com essas 8 letras, seria só encontrar o resultado de P8. Porém, nesta situação, o que se pede é quantos anagramas começam pela letra R. Veja abaixo que fixamos a letra R no início. Com a letra R fixada, todas as demais letras podem ser permutadas. Portanto, temos que permutar 7 letras. Então, temos:
P7 = 7! = 5.040
| R |
b) Nesta situação, temos duas posições fixadas; o início e o fim. Já que estas posições não irão permutar, restam apenas 6 letras para serem rearranjadas. Portanto, temos:
P6 = 6! = 720
| P | M |
c) Note que, para a primeira posição, podemos ter 3 opções: A, E ou O. As demais posições podem permutar sem problemas. Portanto, temos:
3 • P7 = 3 • 7! = 3 • 5.040 = 15.120
| A |
d) Note que, para a última posição, podemos ter 5 opções: P, R, B, L ou M. As demais posições podem permutar sem problemas. Portanto, temos:
5 • P7 = 5 • 7! = 5 • 5.040 = 25.200
| M |
Permutação com elementos repetidos
Vimos anteriormente que a permutação de 4, 5 ou n elementos distintos é dada por P4 = 4!, P5= 5! ou Pn = n!. Assim, o número de anagramas que podem ser formados a partir de CAFÉ e PODER são respectivamente, 24 e 120.
Considere agora a palavra BALA. Ao montar seus anagramas, percebemos que são 12 e não 24. Isso ocorre devido ao fato de que a letra A aparece repetida.
| Pn | = |
|
Os n1!n2! … nr! referem-se às letras que aparecem repetidas na palavra.
Exemplo 1
Determine o número de anagramas formados a partir de:
a) CORRER
b) TERRITÓRIO
c) ASSISTENTE
a) Na palavra CORRER, a letra R aparece 3 vezes.
| P6 | = |
|
| P6 | = |
|
= 120 |
b) Na palavra TERRITÓRIO, a letra T aparece 2 vezes, a letra R 3 vezes, a letra I 2 vezes e a letra O aparece 2 vezes.
| P10 | = |
|
= 75.600 |
c) Na palavra ASSISTENTE, a letra S aparece 3 vezes, a letra T 2 vezes e a letra E aparece 2 vezes.
| P10 | = |
|
= 151.200 |
Exemplo 2
Uma moeda é lançada 5 vezes. De quantos modos distintos podem ser obtidas 2 caras e 3 coroas?
Veja abaixo duas possíveis opções.
| K | C | K | C | C |
| C | C | C | K | K |
Das 5 posições, K aparece 2 vezes e C aparece 3 vezes.
| P5 | = |
|
= 10 |
Permutação circular
Para entendermos o conceito de permutação circular vamos imaginar a seguinte situação: de quantas formas distintas André, Bruno, Carlos e Daniel podem se sentar em volta de uma mesa circular?
Veja no desenho, que representamos uma das formas. Note que Daniel está à direita de André, Bruno está à esquerda e Carlos à sua frente. Perceba que, se girarmos suas posições, ainda assim a disposição deles na mesa permanecerá a mesma. Visto que o giro nas posições não conta como permutação, vamos fixar André e permutar os demais. Fixando André, teremos três pessoas para permutarmos; portanto, teremos P3 = 3! = 6. Outro método seria Pc,4 = 4! ÷ 4 (representa os 4 giros que podem ser realizados, mas que contam apenas como 1 permutação.).
| Pc,n | = |
|
= (n – 1)! |
Exemplo 1
Uma família é composta por seis pessoas: pai, mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos?
No desenho acima, temos representada uma das posições. Note que temos 6 pessoas na mesa; porém, foi-nos dito que o pai e a mãe devem estar sempre juntos. Portanto, vamos tratar esses dois elementos como se fossem apenas um. Logo, teremos 5 elementos.
Usando a fórmula da permutação circular, temos:
| Pc,n | = |
|
= (n – 1)! |
Pc,5 = (5 – 1)! = 4! = 24
O pai e a mãe podem trocar de lugar entre si; portanto, temos P2 = 2! = 2.
Dessa forma, temos 2 • 24 = 48 maneiras.
Exemplo 2
Oito crianças formarão uma roda, entre elas Luiz e Júlia. De quantos modos diferentes poderá ser formada essa roda, sendo que Luiz e Júlia nunca poderão ficar juntos?
Vamos montar o esquema:
k = total de maneiras distintas de se formar uma roda com 8 crianças.
y = total de maneiras distintas de se formar uma roda em que Luiz e Júlia estão juntos.
w = total de maneiras distintas de se formar uma roda em que Luiz e Júlia NÃO estão juntos.
Podemos notar que w = k – y.
w = Pc,8 – (P2 • Pc,7)
w = (8 – 1)! – 2!(7 – 1)!
w = 7! – 2!6!
w = 5.040 – 2 • 720 = 3.600
Princípio de Dirichlet
O Princípio de Dirichlet, também conhecido como o Princípio das Gavetas de Dirichlet ou Princípio da caixa de pombos, é um conceito fundamental da teoria dos números e da teoria dos conjuntos. Foi nomeado em homenagem ao matemático alemão Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, que contribuiu significativamente para a teoria dos números no século XIX.
O princípio pode ser enunciado da seguinte forma:
“Dada uma coleção finita de gavetas (ou caixas) e um número finito de pombos, se cada pombo for colocado em uma das gavetas, com mais pombos do que gavetas, então pelo menos uma gaveta conterá pelo menos dois pombos.”
Em outras palavras, se você tem um número limitado de recursos (as gavetas) e mais elementos para distribuir (os pombos) do que recursos disponíveis, pelo menos um dos recursos terá que acomodar mais de um elemento. Isso é uma consequência simples da contagem e da natureza finita das gavetas e dos pombos.
O Princípio de Dirichlet tem aplicações em várias áreas da matemática, da teoria dos números à teoria dos grafos, à análise combinatória e até mesmo à ciência da computação. É frequentemente usado para provar resultados relacionados à existência de soluções em problemas matemáticos e para mostrar que, em situações específicas, é impossível evitar a repetição ou a sobreposição de elementos.
Exemplo 1
Qual é o número mínimo de pessoas que deve haver em um grupo para que se possa garantir que, nesse grupo, existam pelo menos 5 pessoas nascidas no mesmo mês?
Para garantirmos que, no mínimo, 2 nasceram no mesmo mês, precisamos de 13 pessoas (exatamente 12 + 1). Para asseguramos que, pelo menos 3, nasceram no mesmo mês, precisamos de 25 pessoas (exatamente 2 x 12 + 1). Então, podemos inferir que para 5 pessoas no mesmo mês, temos: 4×12+1 = 49 pessoas.
Logo pra n pessoas, teremos (n-1) x 12 + 1
Exemplo 2
Uma caixa contém 100 bolas de cores distintas. Destas, 30 são vermelhas, 30 são verdes, 30 são azuis e 10 são pretas. Qual o menor número de bolas que devemos tirar da caixa, sem ver suas cores, para termos a certeza de que a caixa contém, pelo menos, 10 bolas da mesma cor?
Se tirarmos 5 bolas, pelos menos 2 terão a mesma cor, não? Claro que sim. E se tirarmos 9 bolas? Pelo menos 3 terão a mesma cor. Vamos fazer uma generalização? 5 = 4 x 1 + 1, 9 = 4 x 2 +1.
Então, para pelo menos n bolas, teremos: 4x (n-1)+1. Portanto, se estamos pedindo pelo menos 10, teremos como resposta: 4 x(10-1)+1=37 bolas.
O número 4 está relacionado às 4 categorias de cores. Se fossem 5 cores a fórmula geral seria 5 x (10 – 1) + 1 = 46.
Exemplo 3
Célia guarda suas blusas, em uma única gaveta, em seu quarto. Nela encontram-se 7 blusas azuis, 9 amarelas, 1 preta, 3 verdes e 3 vermelhas. Uma noite, no escuro, Célia abre a gaveta e pega algumas blusas. Qual o número mínimo de blusas que ela deve pegar para ter a certeza de ter, dentre as blusas, 2 da mesma cor?
Como são 5 opções de cores, teremos:
5 x (2 – 1) + 1 = 6 blusas
Exemplo 4
(RACIOCÍNIO LÓGICO E ESTATÍSTICA_SEPLAG – 2010) Em uma caixa há 12 bolas de mesmo tamanho: 3 brancas, 4 vermelhas e 5 pretas. Uma pessoa, no escuro, deve retirar n bolas da caixa e ter a certeza de que, entre elas, existem três da mesma cor. Qual deve ser o menor valor de n?
Dados do problema:
– Há 12 bolas na caixa
– Existem 3 categorias de cores: branca, vermelha e pretas
– Deseja-se saber qual o menor número de bolas que devem ser retiradas da caixa para se ter certeza de que foram retiradas 3 bolas da mesma cor.
3 x (3 – 1) + 1 = 7
Exemplo 5
Numa gaveta de meias pretas e marrons, há 4 pares de meia preta e 5 pares de marrons, todas misturadas. Quantas peças devo retirar para ter certeza que formei um par, sabendo-se que não consigo vê-las antes de retirá-las.
Dados do problema:
– 4 pares de meias pretas = 4 x 2 → 8 meias pretas
– 5 pares de meias marrons = 5 x 2 → 10 meias marrons
– 2 categorias de cor: preta e marrom
– Deseja-se saber quantas meias devem ser retiradas para se ter certeza de que foi formado um par.
2 x (2 -1) + 1 = 3
Exemplo 6
Uma empresa de desenvolvimento de sistemas é composta dos seguintes profissionais: 3 gerentes de projeto, 5 analistas de negócio e 7 especialistas em desenvolvimento web. Quantos profissionais, no mínimo, devemos escolher para termos certeza de que retiramos dois da mesma função?
Dados do problema:
– 3 categorias
– Deseja-se 2 da mesma função
3 x (2 – 1) + 1 = 4
Devemos escolher no mínimo 4 profissionais
Exemplo 7
Uma investigação da Polícia Federal é formada por 9 agentes da superintendência regional de Espirito Santo, 8 da regional de São Paulo, 12 da regional do Rio de janeiro e 5 da regional de Bahia. Quantos agentes, no mínimo, devemos escolher para termos certeza de que retiramos dois da mesma regional?
Dados do problema:
– 4 categorias
– Deseja-se 2 da mesma regional
4 x (2 – 1) + 1 = 5
Devemos escolher no mínimo 5 agentes
Combinações simples
Combinações simples é um tipo de agrupamento sem repetição, em que um grupo se difere de outro simplesmente pela natureza dos elementos componentes.
| Cn,p | = |
|
Exemplo 1
Qual o número de diagonais de um hexágono?
Veja o desenho abaixo:
Note que, no hexágono, está destacada a diagonal FC. É fácil perceber que FC = CF; portanto, a ordem dos vértices não faz diferença. Percebemos também que uma diagonal utiliza dois dos seis pontos destacados no hexágono. Para calcularmos o número total de diagonais, utilizaremos a fórmula:
| Cn,p | = |
|
| C6,2 | = |
|
| C6,2 | = |
|
= 15 |
Essa primeira, parte nos diz que, com os 6 pontos e agrupando-os dois a dois, podemos fazer 15 agrupamentos. Entretanto, note que os lados AB, BC, CD, DE, EF e FA não são diagonais e podem ser excluídos.
Portanto, o número total de diagonais de um hexágono, é 15 – 6 = 9.
Exemplo 2
Uma classe tem 10 alunos e 5 alunas. Formam-se comissões de 4 alunos e 2 alunas. Determine o número de comissões em que participa o aluno x e não participa a aluna y.
Primeiro, vamos ver como uma comissão é formada.
comissão = 4 alunos + 2 alunas → C10,4 • C5,2
Entretanto, o problema solicita o número de comissões em que o aluno x participa e a aluna y não participa.
Bem, se o aluno x participa, então, já podemos fixá-lo numa das quatro posições. A partir de agora, para os meninos, teremos C9,3. A aluna y não deverá participar; então, das 5, foi retirada 1. Logo, o total de agrupamentos formado por meninas é C4,2.
Finalmente, temos o total de comissões em que participa o aluno x e não participa a aluna y. Lembre-se de que a formação da comissão exige duas etapas: escolha dos meninos e, em seguida, das meninas.
C9,3 • C4,2 = 504
Exemplo 3
Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas, contendo, no mínimo, um diretor?
As comissões podem ser do seguinte tipo:
1 diretor e 4 gerentes
2 diretores e 3 gerentes
3 diretores e 2 gerentes
De quantas maneiras podemos escolher 1 diretor dentre os 3 disponíveis? C3,1
De quantas maneiras podemos escolher 4 gerentes dentre os 5 disponíveis? C5,4
Portanto, o total de comissões do primeiro tipo (1 diretor e 4 gerentes) é:
C3,1 • C5,4 = 3 • 5 = 15
As demais comissões podem ser calculadas como:
C3,2 • C5,3 = 3 • 10 = 30
C3,3 • C5,2 = 1 • 10 = 10
Logo, o total de comissões será 15 + 30 +10 = 55
Combinação com repetição
Em matemática, uma combinação com repetição é uma maneira de contar o número de maneiras distintas de escolher elementos de um conjunto, onde a ordem dos elementos não importa e os elementos podem ser escolhidos mais de uma vez. Isso é diferente de uma combinação simples, onde cada elemento só pode ser escolhido uma vez.
A fórmula para combinação com repetição é dada por:
| C(n + r – 1, r) | = |
|
Onde:
n é o número de opções diferentes (elementos distintos) que você tem.
r é o número de escolhas que você precisa fazer.
C (n + r – 1, r) é a combinação com repetição.
A fórmula reflete o fato de que você está “distribuindo” r escolhas entre n opções, permitindo repetições. A interpretação combina os conceitos de combinação e permutação.
Por exemplo, se você tiver n tipos diferentes de objetos e quiser escolher r deles com repetição permitida, a fórmula ajudará a calcular quantas maneiras diferentes você pode fazer essas escolhas.
Exemplo 1
Uma adega dispõe de 5 tipos diferentes de vinho. De quantas maneiras uma pessoa poderá comprar 2 garrafas de vinho?
| C(n + r – 1, r) | = |
|
| C(5 + 2 – 1, 2) | = |
|
| C(6, 2) | = |
|
= | 15 |
Exemplo 2
(Petrobras 2008-2/CESGRANRIO) Em um supermercado são vendidas 5 marcas diferentes de refrigerante. Uma pessoa que deseje comprar 3 latas de refrigerante, sem que haja preferência por uma determinada marca, pode escolhê-las de N formas. O valor de N é
(A) 3
(B) 10
(C) 15
(D) 35
(E) 125
| C(n + r – 1, r) | = |
|
| C(5 + 3 – 1, 3) | = |
|
| C(7, 3) | = |
|
= | 35 |
Outra interpretação do problema é visualizá-lo como uma equação.
a + b + c + d + e = 3
Onde cada letra representa uma marca de refrigerante.
1 + 0 + 0 + 1 + 1 = 3
Uma opção seria escolher um refrigerante da marca a, um da marca d e outro da marca e.
0 + 2 + 1 + 0 + 0 = 3
Ainda outra opção seria escolher dois refrigerantes da marca b e um da marca c e nenhum das demais marcas.
Logo, o que estamos procurando são as soluções inteiras da equação a + b + c + d + e = 3.
| C(3 + 4, 3) | = |
|
= | 35 |
Exemplo 3
Uma fábrica produz cinco tipos de balas que são vendidas em pacotes contendo 10 balas, de um mesmo tipo ou sortidas. Quantos pacotes diferentes podem ser formados?
Este problema pode ser interpretado como uma equação. Na verdade devemos encontrar todas as soluções inteiras dessa equação.
a + b + c + d + e = 10
Onde cada letra representa um tipo de bala. Porém, nesse caso não podemos ter incógnitas com valor zero. Por isso, devemos fazer uma mudança de variável.
a = x + 1
b = y + 1
c = z + 1
d = u + 1
e = v + 1
x + 1 + y + 1 + z + 1 + u + 1 + v + 1 = 10
x + y + z + u + v = 10 – 5
x + y + z + u + v = 5
| C(5 + 4, 5) | = |
|
= | 126 |
Portanto, podem ser formados 126 pacotes de balas nas condições impostas.
Exercícios – Análise combinatória
Exercícios de introdução para fixar o conceito teórico.
Princípio fundamental da contagem
-
Numa eleição de uma escola há três candidatos a presidente, cinco a vice-presidente, seis a secretário e sete a tesoureiro. Quantos podem ser os resultados da eleição?
Resposta: 630
-
Uma prova é constituída de 12 testes do tipo verdadeiro ou falso. Quantas são as opções para resolver tal prova?
Resposta: 212 ou 4096
-
A senha de um cadeado é formada por uma sequência de quatro letras, escolhidas entre as 26 do alfabeto.
a) Quantas senhas podemos formar?
b) Quantas senhas com quatro letras distintas podemos formar?
c) Quantas senhas começando com vogal podem ser formadas?
d) Quantas senhas de letras distintas podem ser formadas começando e terminando por vogal?Resposta: a) 456.976 b) 358.800 c) 87.880 d) 11.040 -
Deseja-se formar números divisíveis por 5, compostos de quatro algarismos distintos. Qual é a quantidade de números existentes nessa condição?
Resposta: 952
-
Para ir ao trabalho, uma secretária procura sempre combinar blusa, saia e sapatos. Como ela não gosta de repetir as combinações, fez um levantamento nos armários e verificou que são possíveis 420 combinações diferentes. Se ela possui 10 blusas, quantas saias e quantos pares de sapato ela pode ter, sabendo que, para cada item, há mais de uma peça?
Resposta: possíveis resultados: (saias,pares de sapato) (6,7);(7,6);(21,2);(2,21);(14,3);(3,14)
-
Quantos números de três algarismos existem? Quantos deles são formados por algarismos distintos?
Resposta: 900;648
-
(UF-CE) Atualmente, as placas dos veículos são formadas por três letras seguidas de quatro algarismos. Considerando estas informações, calcule o número de placas distintas que podem ser fabricadas, iniciadas pelas letras HUI, nesta ordem, e cujo último algarismo seja ímpar.
Resposta: 5.000
-
Quantos números de três algarismos têm pelo menos dois algarismos repetidos?
Resposta: 252
-
Com os algarismos 1, 2, …, 9 formam-se números de quatro algarismos distintos. Quantos são maiores que 4.326?
Resposta: 1.923
-
Determine o número de divisores positivos do número 8.400.
Resposta: 60
-
O número 1.125 • 2n apresenta 84 divisores positivos. Qual é o valor de n?
Resposta: 6
-
(UF-RJ) A mala do dr. Z tem um cadeado cujo segredo é uma combinação com cinco algarismos, cada um dos quais podendo variar de 0 a 9. Ele esqueceu a combinação que escolhera como segredo, mas sabe que atende às condições:
• se o primeiro algarismo é ímpar, então o último algarismo também é ímpar;
• se o primeiro algarismo é par, então o último algarismo é igual ao primeiro;
• a soma dos segundo e terceiro algarismos é 5.Quantas combinações diferentes atendem às condições estabelecidas pelo dr. Z?
Resposta: 1.800 -
Com os símbolos: △, ◻ e ◯, deseja-se formar sequências de cinco figuras geométricas, uma ao lado da outra.
a) De quantos modos distintos isso pode ser feito?
b) Se figuras vizinhas não podem ser iguais, quantas sequências podem ser formadas?
c) Usando no máximo um círculo, quantas sequências podem se formadas?Resposta: a) 243 b) 48 c) 112 -
Um automóvel comporta dois passageiros no banco da frente e três no banco traseiro. Quantas alternativas distintas há para lotar o automóvel escolhendo cinco entre sete pessoas determinadas, de modo que uma dessas pessoas nunca ocupe um lugar no banco da frente?
Resposta: 1.800
-
(FGV-SP) As atuais placas de licenciamento de automóveis constam de sete símbolos, sendo três letras, dentre as 26 do alfabeto, seguidas de quatro algarismos.
a) Quantas são as placas distintas, sem o algarismo zero na primeira posição reservada aos algarismos?
b) No conjunto de todas as placas distintas possíveis, qual a porcentagem daquelas que têm as duas primeiras letras iguais?Resposta: a) 158.184.000 b) ≃ 3,85% -
Uma agência de turismo oferece bilhetes aéreos para o trecho São Paulo – Miami através de duas companhias: Varig ou Vasp. O passageiro pode escolher também entre primeira classe, classe executiva e classe econômica. De quantas maneiras um passageiro pode fazer tal escolha?
Resposta: 6
-
Um vagão de trem possui seis portas. De quantas maneiras distintas um passageiro pode entrar no trem e sair dele por uma porta diferente da que entrou?
Resposta: 30
-
Um ladrão sabe que o segredo de um cofre é formado por uma sequência de três algarismos distintos. Além disso, ele sabe que o algarismo das centenas é igual a 4. Se, em média, o ladrão leva 3 minutos para testar uma possível sequência, qual o tempo máximo para o ladrão abir o cofre?
Resposta: 216 minutos ou 3h36min
-
Um estudante está procurando as soluções inteiras da equação 2x = a + b. Sabendo que a ∈ {1, 2, 3, 4, 5} e b ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, de quantas maneiras o estudante poderá escolher a e b para obter soluções inteiras?
Resposta: 13
-
A escrita braile para cegos é um sistema de símbolos em que cada um dos caracteres é formado por uma matriz de seis pontos, dos quais pelo menos um se destaca. Assim por exemplo:
Qual o máximo de caracteres distintos que podem ser representados nesse sistema de escrita?
Resposta: 63 -
Determine quantos são os números de três algarismos, múltiplos de 5, cujos algarismos das centenas pertencem a {1, 2, 3, 4} e os demais algarismos a {0, 5, 6, 7, 8, 9}.
Resposta: 48
Binômio de Newton
O que você vai estudar:
- Número binomial
- Triângulo de Pascal
- Somatório
- O binômio de Newton
- Termo geral
Número binomial
Dados dois números n e p, com n ∈ N, p ∈ N e n ≥ p; um número binomial é uma estrutura matemática do tipo:
|
= |
|
|
→ lê-se: binomial de n sobre p |
Na estrutura acima, n é o numerador e p o denominador do número binomial. Note que o número binomial de n sobre p é igual a combinação de n elementos, tomados p a p.
Consequências da definição:
| a) |
|
= 1 ∀ n ∈ N |
| b) |
|
= n ∀ n > 1 e n ∈ N |
| c) |
|
= 1 ∀ n ∈ N |
Exemplo 1
Determine E, sendo
| E = |
|
+ |
|
– |
|
Pela fórmula do número binomial temos que:
|
= |
|
|
= |
|
= 21 |
|
= |
|
= 2 |
|
= |
|
= 6 |
| Então, E = |
|
+ |
|
– |
|
é igual a: |
E = 21 + 2 – 6 = 17
Exemplo 2
Simplifique:
|
|
|
Note que podemos cortar os termos marcados.
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Perceba também que o termo x(x-1)(x-2)(x-3) aparece no numerador e no denominador. Pode ser cortado.
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Números binomiais complementares
| Seja o número binomial |
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e o binomial |
|
. |
Os dois números binomiais acima serão complementares se p + q = n. Então, dois números binomiais complementares possuem a seguinte estrutura:
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Desta maneira são complementares os números binomiais abaixo:
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e |
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|
e |
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Triângulo de Pascal
Os número binomiais podem ser dispostos ordenadamente numa tabela, chamado de triângulo de Pascal ou Tartaglia. Note que em cada coluna os denominadores são iguais e em cada linha os numeradores são iguais.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … | n | ||||||||||||||||
| 0 |
|
|||||||||||||||||||||
| 1 |
|
|
||||||||||||||||||||
| 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
| 3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
| 4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
| … | … | … | … | … | … | |||||||||||||||||
| n |
|
|
|
|
… | … |
|
Veja como fica o triângulo de Pascal quando substituimos o cada binomial pelo seu respectivo valor.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | ||||||
| 0 | 1 | ||||||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||||
| 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | |||||
| 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | ||||
| 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 | |||
| 1 | 11 | 55 | 165 | 330 | 462 | 462 | 330 | 165 | 55 | 11 | 1 | ||
| 1 | 12 | 66 | 220 | 495 | 792 | 924 | 792 | 495 | 220 | 66 | 12 | 1 | |
| … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … |
Propriedades do triângulo de Pascal
1. Todos os elementos da primeira coluna são iguais a 1. Isso é devido ao binomial n sobre 0.
2. O último elemento de cada linha é igual a 1. Isso é devido ao binomial n sobre n.
3. Numa linha qualquer, dois binomiais equidistantes dos extremos são iguais:
Veja a linha 6 do triângulo: 1 6 15 20 15 6 1
4. Numa mesma linha a soma de dois binomiais consecutivos com denominadores p e p + 1 resulta no binomial de numerador n + 1 e denominador p + 1.
|
+ |
|
= |
|
Esta é a relação de Stiffel.
5. A soma dos números binomiais de uma mesma linha é uma potência de base 2, cujo expoente é o numerador n do número binomial.
| linha 0 | → | 1 | 20 | = | 1 | |
| linha 1 | → | 1 + 1 | 21 | = | 2 | |
| linha 2 | → | 1 + 2 + 1 | 22 | = | 4 | |
| linha 3 | → | 1 + 3 + 3 + 1 | 23 | = | 8 | |
| linha 4 | → | 1 + 4 + 6 + 4 + 1 | 24 | = | 16 | |
| linha 5 | → | 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 | 25 | = | 32 |
De forma geral:
|
+ |
|
+ |
|
+ | … | + |
|
= 2n |
A expressão acima também pode ser escrita na forma de somatório.
|
n
∑
i = 0
|
|
= 2n |
Somatório
Sejam os números a1, a2, a3, … , an com n > 1. A soma destes n elementos é representada assim:
a1 + a2 + a3 + … + an
Podemos abreviar a forma de escrever esta soma usando o somatório. Veja:
|
n
∑
i = 1
|
ai |
Lê-se: Somatório de ai de 1 a n.
As letras i e n são chamadas de limite inferior e limite superior, respectivamente. A letra grega ∑ (sigma) é aqui chamada de somatório.
O número de parcelas de um somatório é igual a diferença entre os limites superior e inferior mais uma unidade.
De forma geral:
|
n
∑
i = m
|
ai | = | am + am + 1 + am + 2 + … + an |
Exemplo 1
| Calcule a soma: |
4
∑
i = 1
|
(3i + 1) |
|
4
∑
i = 1
|
(3i + 1) | é igual a: |
(3(1) + 1) + (3(2) + 1) + (3(3) + 1) + (3(4) + 1) = 34
Exemplo 2
| Calcule a soma: |
4
∑
i = 0
|
|
|
4
∑
i = 0
|
|
é igual a: |
|
+ |
|
+ |
|
+ |
|
+ |
|
Se recorrermos ao triângulo de Pascal e procurarmos na linha 4 veremos que o resultado do somatório é o mesmo que somar os valores da linha 4 do triângulo, ou seja, 24 = 16.
Propriedades dos somatórios
Propriedade 1:
|
n
∑
i = 1
|
(ai + bi) | = |
n
∑
i = 1
|
ai | + |
n
∑
i = 1
|
bi |
Demonstração
|
n
∑
i = 1
|
(ai + bi) | é igual a: |
(a1 + b1) + (a2 + b2) + … + (an + bn)
(a1 + a2 + … + an) + (b1 + b2 + … + bn)
|
n
∑
i = 1
|
ai | + |
n
∑
i = 1
|
bi |
Propriedade 2:
|
n
∑
i = 1
|
a | = | na |
Demonstração
Seja ai = a, com i = 1, 2, 3, … , n. Então, temos:
|
n
∑
i = 1
|
ai | = |
n
∑
i = 1
|
a |
a1 + a2 + a3 + … + an = a + a + a + … + a = na.
Propriedade 3:
|
n
∑
i = 1
|
(ai + a) | = |
n
∑
i = 1
|
ai + na |
Demonstração
|
n
∑
i = 1
|
(ai + a) | = |
n
∑
i = 1
|
ai | + |
n
∑
i = 1
|
a | → |
|
n
∑
i = 1
|
ai + na |
Propriedade 4:
|
n
∑
i = 1
|
kai | = | k |
n
∑
i = 1
|
ai |
Demonstração
|
n
∑
i = 1
|
kai | = | ka1 + ka2 + … + kan |
ka1 + ka2 + … + kan = k(a1 + a2 + … + an)
| k |
n
∑
i = 1
|
ai |
O binômio de Newton
| (x + a)n | = |
|
a0xn | + |
|
a1xn – 1 | + |
|
a2xn – 2 | + | … | + |
|
anx0 |
Arraste o dedo dentro da área laranja para ver toda a fórmula.
Vamos entender esta fórmula. Note que:
- As potências de x diminuem de n até 0.
- As potências de a aumentam de 0 até n.
- O expoente de a é igual ao denominador do número binomial e o expoente de x é igual a diferença entre o numerador e o denominador de tal binomial.
- A soma do expoente de a com o expoente de x em cada termo é sempre igual a n.
Veja como fica a fórmula do binômio de Newton usando o somatório.
| (x + a)n | = |
n
∑
p = 0
|
|
apxn – p |
Segue também o desenvolvimento do binômio (x – a)n.
| (x – a)n | = |
|
a0xn | – |
|
a1xn – 1 | + |
|
a2xn – 2 | – | … | + ( – 1)n |
|
anx0 |
Arraste o dedo dentro da área laranja para ver toda a fórmula.
Exemplo 1
Desenvolva (x – 1)³:
Vamos usar a fórmula do binômio de Newton.
| (x + a)n | = |
n
∑
p = 0
|
|
apxn – p |
| (x + 1)³ | = |
3
∑
p = 0
|
|
1px3 – p |
|
10x3 | + |
|
1¹x² | + | → |
|
1²x¹ | + |
|
1³x0 | → |
x³ + 3x² + 3x + 1
Note que recorrendo a linha 3 do triângulo de Pascal conseguimos facilmente desenvolver o binômio.
Exemplo 2
| Desenvolva |
|
4 | : |
Vamos expandir a expressão acima.
|
|
0 | (√x)4 | + |
|
|
(√x)3 | + → |
|
|
2 | (√x)2 | + |
|
|
3 | √x | + → |
|
|
4 | → |
Os valores dos números binomiais podem ser retirados da linha 4 do triângulo de Pascal.
1 4 6 4 1
| (√x)4 | + | 4 |
|
(√x)3 | + | → |
| 6 |
|
2 | (√x)2 | + | → |
| 4 |
|
3 | √x | + |
|
4 | → |
| x² | + | 4x | + | 6 | + |
|
+ |
|
Probabilidade
O que você vai estudar:
- Conceito de probabilidade
- Experimentos determinísticos e aleatórios
- Espaço amostral e evento
- Probabilidade condicional
- Experimentos binomiais
- Probabilidade total