Livro de Matemática

Exemplo

Determine o espaço amostral nos seguintes experimentos:

a) Joga-se uma moeda e lê-se a figura da face voltada para cima.
b) Joga-se um dado comum e lê-se o número voltado par cima.
c) Jogam-se duas moedas diferentes e lêem-se as figuras das faces voltadas para cima.
d) Uma urna contém 3 bolas pretas e 3 bolas vermelhas. Dessa urna são retiradas sucessivamente, 3 bolas.

O espaço amostral são todos os possíveis resultados.

a) Ω = {K,C}

b) Ω = {1,2,3,4,5,6}

c) Ω = {(K,C),(C,K),(C,C),(K,K)}

d) Ω = {(PPP),(PPV),(PVP),(VPP),(VVP),(VVV),(PVV),(VPV)}

Veja a tabela de possibilidades abaixo:

Exemplo 1

De uma baralho de 52 cartas tira-se ao acaso uma das cartas. Determine a probabilidade de que a carta seja:

a) uma dama.
b) uma dama de paus.
c) um carta de ouros.

a) Evento E: retirar uma dama de um baralho de 52 cartas.

A probabilidade de E ocorrer é igual ao número de elementos de E divido pelo número de elementos do espaço amostral.

n(Ω) = 52
n(E) = 4, já que um baralho possui 4 damas.
P(E) = ?

b) Evento F: retirar uma dama de paus de um baralho de 52 cartas.

A probabilidade de F ocorrer é igual ao número de elementos de F divido pelo número de elementos do espaço amostral.

n(Ω) = 52
n(F) = 1
P(F) = ?

c) Evento G: retirar uma carta de ouros de um baralho de 52 cartas.

A probabilidade de G ocorrer é igual ao número de elementos de G divido pelo número de elementos do espaço amostral.

n(Ω) = 52
n(G) = 13
P(G) = ?

Exemplo 2

Uma caixa contém 9 bilhetes numerados de 1 a 9. Se 3 destes bilhetes são tirados juntos, qual a probabilidade de ser par a soma dos números?

Primeiramente, vamos encontrar o número de elementos do espaço amostral, ou seja, todas as possibilidades de se escolher 3 bilhetes dentre os 9. Note que retirando-se os bilhetes 2,3 e 5 ou 3,5 e 2 não faz diferença a ordem, já que serão os mesmos bilhetes.
Portanto, temos:

n(Ω) = C_9,3 = 84

O evento procurado é aquele onde a soma dos números dos bilhetes é par.

Vamos simular alguns sorteios e analisá-los.

Sorteio 1: 2, 6, 8 → 2 + 6 + 8 = 16 (soma par)
Sorteio 2: 4, 6, 8 → 4 + 6 + 8 = 18 (soma par)
Sorteio 3: 2, 3, 7 → 2 + 3 + 7 = 12 (soma par)
Sorteio 4: 3, 5, 7 → 3 + 5 + 7 = 15 (soma ímpar)

O leitor poderá fazer outros sorteios e somar os números.

Veja que a soma dos números só é par quando todos os números são pares ou quando um dos números é par e os outros dois são ímpares.

Logo:

n(E) = C_4,3 + (C_5,2 • C_4,1) = 4 + (10 • 4) = 44

C_4,3 = todas as possibilidades de se escolher 3 números pares dentre os 4 existentes.
C_5,2 = todas as possibilidades de se escolher 2 números ímpares dentre os 5 existentes.
C_4,1 = todas as possibilidades de se escolher 1 número par dentre os 4 existentes.

Exemplo 3

Em um programa de prêmios da TV, são colocadas oito fichas sobre uma mesa, das quais três contêm prêmios. O participante deve escolher duas fichas ao acaso e virá-las simultaneamente. Qual a probabilidade de que haja prêmios nas duas fichas?

Vamos encontrar o número de elementos do espaço amostral, que representa todas as possibilidades de se escolher 2 fichas entre as 8 disponíveis.

n(Ω) = C_8,2 = 28

Evento E: escolher duas fichas premiadas.

O problema nos disse que 3 das oito fichas são premiadas. Portanto, todas as possibilidades de se escolher duas fichas premiadas, vale C_3,2. Logo:

n(E) = C_3,2 = 3

Exemplo 1

Em uma gincana, Antônio precisa jogar simultaneamente 2 dados e atingir a soma 5 para a sua equipe vencer uma prova. Qual é a probabilidade de sua equipe não ser a vencedora?

Nosso objetivo é encontrar o número de elementos do espaço amostral e em seguida o número de elementos do evento.

Espaço amostral
Quantos pares de números podemos obter lançando dois dados? Para um dado temos 6 possibilidades, logo para dois dados teremos 6 x 6 = 36 possibilidades, ou, 6² possibilidades.

n(Ω) = 36

Evento
Encontrar a quantidade de pares de números em que a soma não resulta em 5. Mas faremos o contrário, aqui.

E = {(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}

n(E) = 4

A probabilidade de que a equipe de Antônio seja a vencedora é:

Pela fórmula da probabilidade do evento complementar, sabemos que:

P(E) + P(E) = 1

Portanto, 8/9 é a probabilidade de a equipe de Antônio não ser a vencedora.

Exemplo 2

Consideremos uma conjunto de 10 frutas, das quais 3 estão estragadas. Escolhendo-se aleatoriamente 2 frutas desse conjunto, determinar a probabilidade de que:

a) ambas não estejam estragadas.

b) pelo menos uma esteja estragada.

Objetivo:

Obter o número de elementos do espaço amostral e o número de elementos do evento.

n(Ω) = C_10,2 = 45

Temos 45 possibilidades de escolher 2 frutas entre as 10 existentes.

a) E = Escolher duas frutas boas (não estragadas).

Se das 10 frutas 3 estão estragadas, logo 7 estão boas. Portanto,

n(E) = C_7,2 = 21

Agora, calculamos a probabilidade do evento E.

b) F = Escolher duas frutas e que dentre elas pelo menos uma esteja estragada.

Na alternativa anterior encontramos a probabilidade de escolhermos todas as frutas sadias. Logo, o evento complementar seria escolher pelo menos uma fruta estragada.

P(F) = P(E)

P(E) + P(E) = 1

Exemplo 3

Uma pára-quedista programou seu pouso em uma fazenda retangular que possui um lago em seu interior, conforme indicado na figura abaixo. Se as condições climáticas não favorecerem o pára-quedista, o local de pouso pode se tornar aleatório. Qual é, nesse caso, a probabilidade de o pára-quedista pousar em terra? Adote π ≅ 3.

A probabilidade de um evento ocorrer é igual a divisão do número de casos favoráveis pelo número total de casos possíveis.

O espaço amostral é toda a área da fazenda, ou seja, 500 x 300 = 150.000 m².

A probabilidade de o pára-quedista pousar no lago seria o resultado da divisão entre a área do lago pela área total da fazenda. Já a probabilidade dele pousar em terra seria o evento complementar, não pousar no lago.

Pela figura conseguimos extrair a medida do diâmetro do lago: 500 – 250 – 100 = 150 m. Portanto, o lago possui 150 ÷ 2 = 75 m de raio. A fórmula que nos retorna a área de um círculo é A = πr². Então, A = 3 • (75)² = 16.875 m².

Já que temos a área do lago, podemos encontrar a área de terra subtraindo da área total da fazenda a área do lago: 150.000 – 16.875 = 133.125 m².

Portanto, a probabilidade de que o pouso ocorra em terra será:

Isto equivale a 0,8875, ou 88,75%.

Exemplo 1

Retirando-se, ao acaso, uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de sair uma dama ou um rei?

O problema trata de dois eventos. Vamos anotá-los.

Evento A: retirar uma dama de um baralho de 52 cartas.
Evento B: retirar um rei de um baralho de 52 cartas.

Vamos calcular a probabilidade de cada evento.

Note que temos 4 damas. Portanto, 4 em 52 cartas disponíveis.
A probabilidade é a mesma para se retirar um rei.

Agora, qual a probabilidade de se retirar uma dama ou um rei. Notou a “palavrinha” ou? Quando o problema perguntar sobre a probabilidade de um evento ou outro ocorrer, então somamos as probabilidades de ambos.

P(A ⋃ B) = P(A) + P(B)
P(A ⋃ B) = 1/13 + 1/13 = 2/13

Perceba que A ⋂ B = ∅

Exemplo 2

Numa escola funcionam dois cursos, um de desenho publicitário e outro de desenho artístico, perfazendo um total de 90 vagas. No final da inscrição, havia 60 alunos inscritos para desenho publicitário e 50 para desenho artístico, sendo que alguns optaram pelos dois cursos. Escolhendo-se ao acaso um aluno, qual a probabilidade de ele ser:

a) aluno de desenho publicitário.
b) aluno de desenho artístico.
c) aluno somente de desenho publicitário.
d) aluno de desenho artístico ou publicitário.
e) aluno de desenho artístico e publicitário.

Vamos fazer um desenho para facilitar a compreensão do problema.

Note que não nos foi dado o número de alunos que optaram pelos dois cursos. Mas, é fácil perceber que a intersecção é um valor comum aos dois conjuntos, portanto podemos chamar este valor de x.

Já que o total de alunos é igual a 90, temos que:

50 – x + x + 60 – x = 90
110 – x = 90
x = 20

Agora, informamos o valores corretos para o esboço acima. A partir de agora, vamos encontrar o valor da probabilidade de cada evento solicitado.

a) a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ser de desenho publicitário.

n(E) = 60
n(Ω) = 90

b) a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ser de desenho artístico.

n(E) = 50
n(Ω) = 90

c) a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ser somente de desenho publicitário.

n(E) = 40
n(Ω) = 90

d) a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ser de desenho artístico ou publicitário.

Aqui, faremos uso da fórmula da união de dois eventos.

P(A ⋃ B) = P(A) + P(B) – P(A ⋂ B)

P(A ⋃ B) = 2/3 + 5/9 – 2/9

P(A ⋃ B) = 2/3 + 3/9

P(A ⋃ B) = 2/3 + 1/3

P(A ⋃ B) = 3/3 = 1

e) a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ser de desenho artístico e publicitário.

n(E) = 20
n(Ω) = 90

Exemplo 3

Numa caixa estão 8 peças com pequenos defeitos, 12 com grandes defeitos e 15 perfeitas. Uma peça é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de que esta peça seja perfeita ou tenha pequenos defeitos?

Vamos construir uma tabela para visualizarmos melhor a situação.

PD = Pequenos defeitos
GD = Grandes defeitos
P = Perfeitas

Veja que o que é pedido é: Qual a probabilidade de que esta peça seja perfeita ou tenha pequenos defeitos?

Então, precisamos encontrar a probabilidade de dois eventos:

Evento A: a probabilidade de se retirar um peça perfeita.
Evento B: a probabilidade de se retirar uma peça com pequenos defeitos.

P(A) = 15/35

P(B) = 8/35

Evento A ⋃ B = retirar uma peça perfeita ou com pequenos defeitos.

P(A ⋃ B) = P(A) + P(B)

P(A ⋃ B) = 15/35 + 8/35

P(A ⋃ B) = 23/35

Portanto, a probabilidade procurada é de aproximadamente, 65,71%.