Livro de Matemática
Sumário
Conceito de probabilidade
Nossa vida está repleta de situações que não podemos prever nem controlar e para termos a sensação de controle, utilizamos a nossa intuição para criar avaliações e fazer escolhas em situações de incertezas. Mas, quando procedemos desta forma, podemos cometer muitos erros. Desde que acordamos até irmos pra cama à noite, tomamos muitas decisões. E na maioria das vezes não temos todas as variáveis que precisamos para analisar a decisão a ser tomada. Qual é a chance de chover hoje à tarde? Séra que tenho boas chances de ganhar na megasena? Qual a chance de conhecer o amor da minha vida num aplicativo de relacionamento? Em todas estas situações estamos avaliando a probabilidade de um evento ocorrer. Nesta seção vamos examinar o papel do acaso em diversas situações problemas e os métodos utilizados no estudo dos eventos de natureza aleatória.
Probabilidade, neste contexto, é o campo da matemática que estuda os fenômenos de natureza aleatória.
Experimentos determinísticos e aleatórios
Um experimento é chamado determinístico quando podemos determinar o seu resultado final antes de ele ser realizado e se caso repetirmos o processo o resultado será o mesmo. Já não ocorre da mesma maneira com eventos aleatórios, pois não podemos predeterminar com precisão o desfecho do experimento ainda que repetido sob as mesmas condições.
Exemplo de experimento determinístico:
O funcionamento de um impressora 3D é um evento determinístico, pois é possível determinar o tempo de impressão de uma peça, ou seja, se uma peça é impressa em 1h20min, então 2 peças serão impressas em 2h40min nas mesmas circunstâncias.
Exemplo de experimento aleatório:
O lançamento simultaneo de uma moeda e um dado é um evento aleatório, pois se no primeiro lançamento obtivermos uma cara, para a moeda; e o número 3 para o dado; não podemos determinar no próximo lançamento qual a face da moeda e do dado que veremos.
Experimentos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.
É possível prever com exatidão eventos aleatórios?
Não é possível prever com exatidão eventos aleatórios, pois a natureza da aleatoriedade implica na falta de padrões previsíveis. Eventos verdadeiramente aleatórios não seguem um padrão discernível e não podem ser previstos com certeza.
A previsão de eventos aleatórios é uma característica fundamental da aleatoriedade. Em sistemas verdadeiramente aleatórios, como o lançamento de um dado não viciado, o decaimento radioativo ou o movimento molecular em um gás, não há informações ou padrões prévios que permitam prever com certeza o resultado de cada evento individual.
No entanto, em alguns contextos, usamos modelos probabilísticos para descrever a probabilidade de certos resultados em média ou ao longo de um grande número de experimentos. Esses modelos são estatísticos e fornecem uma descrição probabilística, não uma previsão precisa para eventos individuais.
Portanto, enquanto podemos entender e modelar a probabilidade de certos resultados em eventos aleatórios, a previsão exata de eventos específicos em situações verdadeiramente aleatórias não é possível.
Espaço amostral e evento
Ao realizarmos um experimento aleatório, o conjunto de todos os resultados possíveis é chamado de espaço amostral e é indicado por Ω. E cada um dos elementos de Ω é um ponto amostral.
Exemplo
Determine o espaço amostral nos seguintes experimentos:
a) Joga-se uma moeda e lê-se a figura da face voltada para cima.
b) Joga-se um dado comum e lê-se o número voltado par cima.
c) Jogam-se duas moedas diferentes e lêem-se as figuras das faces voltadas para cima.
d) Uma urna contém 3 bolas pretas e 3 bolas vermelhas. Dessa urna são retiradas sucessivamente, 3 bolas.
O espaço amostral são todos os possíveis resultados.
a) Ω = {K,C}
b) Ω = {1,2,3,4,5,6}
c) Ω = {(K,C),(C,K),(C,C),(K,K)}
d) Ω = {(PPP),(PPV),(PVP),(VPP),(VVP),(VVV),(PVV),(VPV)}
Veja a tabela de possibilidades abaixo:
| 1ª bola | 2ª bola | 3ª bola | Retirada |
|---|---|---|---|
| P | P | P | PPP |
| V | PPV | ||
| V | P | PVP | |
| V | PVV | ||
| V | P | P | VPP |
| V | VPV | ||
| V | P | VVP | |
| V | VVV |
Evento
Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral Ω.
Para enterdemos melhor vamos pegar a letra c do exemplo acima como referência. No lançamento de duas moedas, a ocorrência de duas caras (K,K) é um evento ou subconjunto de Ω. Da letra d podemos obter mais eventos, veja:
• Evento 1: duas das bolas são pretas → {(PPV),(PVP),(VPP)}
• Evento 2: as três bolas têm a mesma cor → {(PPP),(VVV)}
Perceba que estes eventos estão contidos no espaço amostral Ω.
Perceba que, se o número de elementos de Ω for igual a n, Ω = n, então Ω terá 2n subconjuntos, e portanto, 2n eventos.
Tipos de eventos
Considere o experimento aleatório: o lançamento de um dado honesto e a observação da face voltada para cima.
Sabemos que o espaço amostral Ω = {1,2,3,4,5,6}.
Evento A: Ocorrer um número menor que 7.
É óbvio que existe 100% de chance de que este evento ocorra, já que qualquer face voltada para cima atenderá ao evento. Este tipo de evento recebe o nome de evento certo.
Evento B: Ocorrer um número maior que 6.
A ocorrência deste evento é impossível, visto que os números nas faces do dado vão de 1 até 6. Este tipo de evento é chamado de evento impossível.
Evento C: Obter o número 5 na face superior.
Este evento possui apenas um elemento. Por isso recebe o nome de evento elementar.
Evento D: Ocorrência de um número ímpar → D = {1,3,5}
Evento E: Ocorrência de um número par primo → E = {2}
Evento D ⋃ E: Ocorrência de um número ímpar ou de um número par primo → D ⋃ E = {1,2,3,5}
Este é o evento união.
Evento F: Ocorrência de um número par → F = {2,4,6}
Evento G: Ocorrência de um número múltiplo de 4 → G = {4}
Evento F ⋂ G: Ocorrência de um número par e múltiplo de 4 → F ⋂ G = {4}
Este é o evento interseção.
Evento H: Ocorrência de um número par → F = {2,4,6}
Evento I: Ocorrência de um número ímpar → F = {1,3,5}
H ⋂ I = ∅
Note que estes eventos não têm elementos em comum. São conjuntos disjuntos. Este tipo de evento recebe o nome de evento mutuamente exclusivo.
Evento M: Não ocorrer o número 5 → M = {1,2,3,4,6}
Evento M: Ocorrer o número 5 → M = {5}
Note que: M ⋃ M = Ω → espaço amostral. E que M ⋂ M = ∅. Quando isso ocorre, chamamos o evento de evento complementar.
Probabilidade de um evento
Consideremos um espaço amostral Ω = {a1,a2,a3, …, ak}. Vamos associar a cada ponto amostral de Ω um número real P(ai), que representará a probabilidade de ocorrência do ponto amostral ai.
Note que:
P(a1) + P(a2) + … + P(ak) = 1
E chamando de P a probabilidade de ocorrência de cada ponto amostral de Ω, teremos:
P + P + … + P = 1 → k • P = 1 → P = 1/k.
Agora, considere um evento E formado por r elementos ou pontos amostrais E = {a1,a2,a3, …, ar}, com r ≤ k.
A probabilidade de que E ocorra é dada por:
P(E) = P(a1) + P(a2) + … + P(ar)
Visto que E possui r elementos então teremos:
| P(E) | = |
|
+ |
|
+ … + |
|
| P(E) | = | r • |
|
| P(E) | = |
|
Note que r é o número de elementos de E e k o número de elementos de Ω. Como E ⊂ Ω, temos que n(E) ≤ n(Ω). Portanto, a probabilidade de um evento ocorrer é dada por:
| P(E) | = |
|
0 ≤ P(E) ≤ 1.
Exemplo 1
De uma baralho de 52 cartas tira-se ao acaso uma das cartas. Determine a probabilidade de que a carta seja:
a) uma dama.
b) uma dama de paus.
c) um carta de ouros.
a) Evento E: retirar uma dama de um baralho de 52 cartas.
A probabilidade de E ocorrer é igual ao número de elementos de E divido pelo número de elementos do espaço amostral.
n(Ω) = 52
n(E) = 4, já que um baralho possui 4 damas.
P(E) = ?
| P(E) | = |
|
| P(E) | = |
|
= |
|
b) Evento F: retirar uma dama de paus de um baralho de 52 cartas.
A probabilidade de F ocorrer é igual ao número de elementos de F divido pelo número de elementos do espaço amostral.
n(Ω) = 52
n(F) = 1
P(F) = ?
| P(F) | = |
|
| P(F) | = |
|
c) Evento G: retirar uma carta de ouros de um baralho de 52 cartas.
A probabilidade de G ocorrer é igual ao número de elementos de G divido pelo número de elementos do espaço amostral.
n(Ω) = 52
n(G) = 13
P(G) = ?
| P(G) | = |
|
| P(G) | = |
|
= |
|
Exemplo 2
Uma caixa contém 9 bilhetes numerados de 1 a 9. Se 3 destes bilhetes são tirados juntos, qual a probabilidade de ser par a soma dos números?
Primeiramente, vamos encontrar o número de elementos do espaço amostral, ou seja, todas as possibilidades de se escolher 3 bilhetes dentre os 9. Note que retirando-se os bilhetes 2,3 e 5 ou 3,5 e 2 não faz diferença a ordem, já que serão os mesmos bilhetes.
Portanto, temos:
n(Ω) = C9,3 = 84
O evento procurado é aquele onde a soma dos números dos bilhetes é par.
Vamos simular alguns sorteios e analisá-los.
Sorteio 1: 2, 6, 8 → 2 + 6 + 8 = 16 (soma par)
Sorteio 2: 4, 6, 8 → 4 + 6 + 8 = 18 (soma par)
Sorteio 3: 2, 3, 7 → 2 + 3 + 7 = 12 (soma par)
Sorteio 4: 3, 5, 7 → 3 + 5 + 7 = 15 (soma ímpar)
O leitor poderá fazer outros sorteios e somar os números.
Veja que a soma dos números só é par quando todos os números são pares ou quando um dos números é par e os outros dois são ímpares.
Logo:
n(E) = C4,3 + (C5,2 • C4,1) = 4 + (10 • 4) = 44
C4,3 = todas as possibilidades de se escolher 3 números pares dentre os 4 existentes.
C5,2 = todas as possibilidades de se escolher 2 números ímpares dentre os 5 existentes.
C4,1 = todas as possibilidades de se escolher 1 número par dentre os 4 existentes.
| P(E) | = |
|
= |
|
Exemplo 3
Em um programa de prêmios da TV, são colocadas oito fichas sobre uma mesa, das quais três contêm prêmios. O participante deve escolher duas fichas ao acaso e virá-las simultaneamente. Qual a probabilidade de que haja prêmios nas duas fichas?
Vamos encontrar o número de elementos do espaço amostral, que representa todas as possibilidades de se escolher 2 fichas entre as 8 disponíveis.
n(Ω) = C8,2 = 28
Evento E: escolher duas fichas premiadas.
O problema nos disse que 3 das oito fichas são premiadas. Portanto, todas as possibilidades de se escolher duas fichas premiadas, vale C3,2. Logo:
n(E) = C3,2 = 3
| P(E) | = |
|
Probabilidade do evento complementar
Seja E um evento de um espaço amostral Ω. E é o evento complementar de E, ou seja, o evento que ocorre quando E não ocorre.
Note que E ⋂ E = ∅ e E ⋃ E = Ω
Assim temos que:
Exemplo 1
Em uma gincana, Antônio precisa jogar simultaneamente 2 dados e atingir a soma 5 para a sua equipe vencer uma prova. Qual é a probabilidade de sua equipe não ser a vencedora?
Nosso objetivo é encontrar o número de elementos do espaço amostral e em seguida o número de elementos do evento.
Espaço amostral
Quantos pares de números podemos obter lançando dois dados? Para um dado temos 6 possibilidades, logo para dois dados teremos 6 x 6 = 36 possibilidades, ou, 6² possibilidades.
n(Ω) = 36
Evento
Encontrar a quantidade de pares de números em que a soma não resulta em 5. Mas faremos o contrário, aqui.
E = {(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}
n(E) = 4
A probabilidade de que a equipe de Antônio seja a vencedora é:
| P(E) | = |
|
= |
|
Pela fórmula da probabilidade do evento complementar, sabemos que:
P(E) + P(E) = 1
|
+ | P(E) | = | 1 |
| P(E) | = | 1 | – |
|
= |
|
Portanto, 8/9 é a probabilidade de a equipe de Antônio não ser a vencedora.
Exemplo 2
Consideremos uma conjunto de 10 frutas, das quais 3 estão estragadas. Escolhendo-se aleatoriamente 2 frutas desse conjunto, determinar a probabilidade de que:
a) ambas não estejam estragadas.
b) pelo menos uma esteja estragada.
Objetivo:
Obter o número de elementos do espaço amostral e o número de elementos do evento.
n(Ω) = C10,2 = 45
Temos 45 possibilidades de escolher 2 frutas entre as 10 existentes.
a) E = Escolher duas frutas boas (não estragadas).
Se das 10 frutas 3 estão estragadas, logo 7 estão boas. Portanto,
n(E) = C7,2 = 21
Agora, calculamos a probabilidade do evento E.
| P(E) | = |
|
= |
|
b) F = Escolher duas frutas e que dentre elas pelo menos uma esteja estragada.
Na alternativa anterior encontramos a probabilidade de escolhermos todas as frutas sadias. Logo, o evento complementar seria escolher pelo menos uma fruta estragada.
P(F) = P(E)
P(E) + P(E) = 1
|
+ | P(E) | = | 1 |
| P(E) | = | 1 | – |
|
| P(E) | = |
|
Exemplo 3
Uma pára-quedista programou seu pouso em uma fazenda retangular que possui um lago em seu interior, conforme indicado na figura abaixo. Se as condições climáticas não favorecerem o pára-quedista, o local de pouso pode se tornar aleatório. Qual é, nesse caso, a probabilidade de o pára-quedista pousar em terra? Adote π ≅ 3.
A probabilidade de um evento ocorrer é igual a divisão do número de casos favoráveis pelo número total de casos possíveis.
O espaço amostral é toda a área da fazenda, ou seja, 500 x 300 = 150.000 m².
A probabilidade de o pára-quedista pousar no lago seria o resultado da divisão entre a área do lago pela área total da fazenda. Já a probabilidade dele pousar em terra seria o evento complementar, não pousar no lago.
Pela figura conseguimos extrair a medida do diâmetro do lago: 500 – 250 – 100 = 150 m. Portanto, o lago possui 150 ÷ 2 = 75 m de raio. A fórmula que nos retorna a área de um círculo é A = πr². Então, A = 3 • (75)² = 16.875 m².
Já que temos a área do lago, podemos encontrar a área de terra subtraindo da área total da fazenda a área do lago: 150.000 – 16.875 = 133.125 m².
Portanto, a probabilidade de que o pouso ocorra em terra será:
| P(E) | = |
|
= |
|
Isto equivale a 0,8875, ou 88,75%.
Probabilidade da união de dois eventos
Consideremos dois eventos A e B pertencentes a um espaço amostral Ω. Nossa intenção primária é encontrar a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B. Perceba que se A ocorre, então B não ocorre.
Para isso teremos dois casos:
1º caso: A ⋂ B = ∅
Neste caso, A e B são chamados eventos mutuamente exclusivos.
2º caso: A ⋂ B ≠ ∅
O evento A ⋂ B representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.
Exemplo 1
Retirando-se, ao acaso, uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de sair uma dama ou um rei?
O problema trata de dois eventos. Vamos anotá-los.
Evento A: retirar uma dama de um baralho de 52 cartas.
Evento B: retirar um rei de um baralho de 52 cartas.
Vamos calcular a probabilidade de cada evento.
| P(A) | = |
|
= |
|
Note que temos 4 damas. Portanto, 4 em 52 cartas disponíveis.
A probabilidade é a mesma para se retirar um rei.
| P(B) | = |
|
= |
|
Agora, qual a probabilidade de se retirar uma dama ou um rei. Notou a “palavrinha” ou? Quando o problema perguntar sobre a probabilidade de um evento ou outro ocorrer, então somamos as probabilidades de ambos.
P(A ⋃ B) = P(A) + P(B)
P(A ⋃ B) = 1/13 + 1/13 = 2/13
Perceba que A ⋂ B = ∅
Exemplo 2
Numa escola funcionam dois cursos, um de desenho publicitário e outro de desenho artístico, perfazendo um total de 90 vagas. No final da inscrição, havia 60 alunos inscritos para desenho publicitário e 50 para desenho artístico, sendo que alguns optaram pelos dois cursos. Escolhendo-se ao acaso um aluno, qual a probabilidade de ele ser:
a) aluno de desenho publicitário.
b) aluno de desenho artístico.
c) aluno somente de desenho publicitário.
d) aluno de desenho artístico ou publicitário.
e) aluno de desenho artístico e publicitário.
Vamos fazer um desenho para facilitar a compreensão do problema.
Note que não nos foi dado o número de alunos que optaram pelos dois cursos. Mas, é fácil perceber que a intersecção é um valor comum aos dois conjuntos, portanto podemos chamar este valor de x.
Já que o total de alunos é igual a 90, temos que:
50 – x + x + 60 – x = 90
110 – x = 90
x = 20
Agora, informamos o valores corretos para o esboço acima. A partir de agora, vamos encontrar o valor da probabilidade de cada evento solicitado.
a) a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ser de desenho publicitário.
n(E) = 60
n(Ω) = 90
| P(E) | = |
|
= |
|
b) a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ser de desenho artístico.
n(E) = 50
n(Ω) = 90
| P(E) | = |
|
= |
|
c) a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ser somente de desenho publicitário.
n(E) = 40
n(Ω) = 90
| P(E) | = |
|
= |
|
d) a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ser de desenho artístico ou publicitário.
Aqui, faremos uso da fórmula da união de dois eventos.
P(A ⋃ B) = P(A) + P(B) – P(A ⋂ B)
P(A ⋃ B) = 2/3 + 5/9 – 2/9
P(A ⋃ B) = 2/3 + 3/9
P(A ⋃ B) = 2/3 + 1/3
P(A ⋃ B) = 3/3 = 1
e) a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ser de desenho artístico e publicitário.
n(E) = 20
n(Ω) = 90
| P(E) | = |
|
= |
|
Exemplo 3
Numa caixa estão 8 peças com pequenos defeitos, 12 com grandes defeitos e 15 perfeitas. Uma peça é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de que esta peça seja perfeita ou tenha pequenos defeitos?
Vamos construir uma tabela para visualizarmos melhor a situação.
| PD | GD | P | Total |
|---|---|---|---|
| 8 | 12 | 15 | 35 |
PD = Pequenos defeitos
GD = Grandes defeitos
P = Perfeitas
Veja que o que é pedido é: Qual a probabilidade de que esta peça seja perfeita ou tenha pequenos defeitos?
Então, precisamos encontrar a probabilidade de dois eventos:
Evento A: a probabilidade de se retirar um peça perfeita.
Evento B: a probabilidade de se retirar uma peça com pequenos defeitos.
P(A) = 15/35
P(B) = 8/35
Evento A ⋃ B = retirar uma peça perfeita ou com pequenos defeitos.
P(A ⋃ B) = P(A) + P(B)
P(A ⋃ B) = 15/35 + 8/35
P(A ⋃ B) = 23/35
Portanto, a probabilidade procurada é de aproximadamente, 65,71%.
Probabilidade condicional
A probabilidade condicional como o próprio nome diz, sofre o efeito de uma condição. A probabilidade de um evento B ocorrer está atrelada a um evento A que já ocorreu.
Sendo A um envento de um espaço amostral Ω, não vazio, e B outro evento desse mesmo espaço amostral, existe uma probabilidade condicional de ocorrência do evento B em relação ao evento A. O cálculo da probabilidade condicional, ou seja, a probabilidade de ocorrer o evento B dado que já ocorreu o evento A, é expressa por:
| P(B | A) | = |
|
A fórmula pode ser lida como “a probabilidade de B ocorrer dado que, ou sabendo que, A ocorreu”.
Exemplo 1
Na saída de um Fla-Flu, no Maracanã, foram ouvidos, para fins de pesquisa de opinião, 80 torcedores assim distribuídos:
| Homens | Mulheres | Total | |
|---|---|---|---|
| Flamengo | 27 | 14 | 41 |
| Fluminense | 23 | 16 | 39 |
| Total | 50 | 30 | 80 |
Escolhemos, entre os entrevistados, uma pessoa ao acaso. Constatando que a pessoa escolhida é homem, qual é a probabilidade de que ele seja torcedor do flamengo?
Veja que neste exemplo temos que encontrar probabilidade de se escolher um torcedor do flamengo, sabendo que já foi escolhido um homem. Note que, se não houvesse sido escolhido ninguém, o espaço amostral seria 80, que é o total de torcedores. Mas, como um homem já foi escolhido, ou seja, um evento já ocorreu; a probabilidade do segundo evento ocorrer muda completamente.
Agora o espaço amostral é o total de homens, ou seja, 50.
A probabilidade de se escolher um torcedor, dado que este é homem é:
| P(B | A) | = |
|
| P(Fla | Homem) | = |
|
| P(B | A) | = |
|
Exemplo 2
Num prédio residencial há dois blocos: A e B. No bloco A, há 80 apartamentos, dos quais 15% estão em atraso com o condomínio. No bloco B, há 50 apartamentos, 10% dos quais com taxas atrasadas. As fichas de todos os moradores estão reunidas, e uma delas é escolhida ao acaso.
a) Qual é a probabilidade de que a ficha escolhida seja do bloco A e esteja quite com o condomínio?
b) Sabe-se que a ficha escolhida é de um condômino em atraso. Qual é a probabilidade de que ele seja do bloco B?
Vamos reunir os dados do problema.
Bloco A
80 apartamentos
15% → condomínio atrasado
12 apartamentos com condomínio atrasado
68 apartamentos em dia com o condomínio
Bloco B
50 apartamentos
10% → condomínio atrasado
5 apartamentos com condomínio atrasado
45 apartamentos em dia com o condomínio
a) Escolher uma ficha do bloco A que esteja quite com o condomínio.
| P(A) | = |
|
| P(A) | = |
|
= |
|
| P(A) | = |
|
b) Sabe-se que a ficha escolhida é de um condômino em atraso. Qual é a probabilidade de que ele seja do bloco B?
Aqui já houve a mudança do espaço amostral. O novo espaço amostral é o conjunto de todos os condôminos em atraso, ou seja, 12 do bloco A mais 5 do bloco B.
n(Ω) = 12 + 5 = 17
Percebeu a redução do espaço amostral? De 130 caiu para 17. Em problemas de probabilidade condicional o espaço amostral sempre será reduzido.
Agora, qual a probabilidade de que seja do bloco B. Ser do bloco B e estar em atraso corresponde a 5. Logo:
| P(Bloco B | Atraso) | = |
|
| P(B | A) | = |
|
| P(B | A) | = |
|
Exemplo 3
(FGV – SP) Num certo país, 10% das declarações de imposto de renda são suspeitas e submetidas a uma análise detalhada; entre estas verificou-se que 20% são fraudulentas. Entre as não suspeitas, 2% são fraudulentas.
a) Se uma declaração é escolhida ao acaso, qual a probabilidade de ela ser suspeita e fraudulenta?
b) Se uma declaração é fraudulenta, qual a probabilidade de ela ter sido suspeita?
Vamos supor que existam 1000 declarações.
10% das declarações são suspeitas
0,1 • 1000 = 100 → suspeitas
20% das declarações suspeitas são fraudulentas
0,2 • 100 = 20 → fraudulentas e suspeitas
1000 – 100 = 900 declarações não suspeitas
0,02 • 900 = 18 → fraudulentas não suspeitas
Note como fica mais fácil quando construímos o diagrama de Venn.
a) Se uma declaração é escolhida ao acaso, qual a probabilidade de ela ser suspeita e fraudulenta?
| P(A) | = |
|
= | 2% |
b) Se uma declaração é fraudulenta, qual a probabilidade de ela ter sido suspeita?
Veja o novo espaço amostral representado no diagrama acima.
S: Suspeitas
F: Fraudulentas
| P(S | F) | = |
|
| P(S | F) | = |
|
= |
|
Multiplicação de probabilidades
Quando um evento é composto de várias etapas independentes, de tal maneira que:
a primeira etapa é A e sua probabilidade é p1,
a segunda etapa é B e sua probabilidade é p2,
a terceira etapa é C e sua probabilidade é p3,
.
.
.
a n-ésima etapa é N e sua probabilidade é pn,
então a probabilidade de que as etapas A, B, C, …., N ocorram nessa ordem é:
Exemplo 1
Considerem-se duas caixas I e II. Na caixa I, há 4 bolas pretas e 6 bolas azuis, e na caixa II há 8 bolas pretas e 2 bolas azuis. Escolhe-se, ao acaso, uma caixa e, em seguida, dela se tira uma bola. Qual a probabilidade de que esta bola seja?
a) preta?
b) azul?
Vamos construir uma árvore de possibilidades para visualizarmos melhor o que se pede:
Agora ficou fácil. O evento procurado é composto de duas etapas: 1ª etapa é a escolha da caixa e a 2ª etapa é a escolha da bola.
a) Retirar uma bola preta.
|
+ |
|
= |
|
b) Retirar uma bola azul.
|
+ |
|
= |
|
Exemplo 2
Numa caixa estão guardardos 20 livros, sendo 12 de Biologia e 8 de Geografia. Dois deles são retirados sucessivamente e sem reposição. Qual é a probabilidade de terem sido escolhidos 2 livros de Biologia?
Vamos construir uma árvore de possibilidades para visualizarmos com mais facilidade o problema.
Os ramos da árvore que mostram a escolha de dois livros de biologia é:
|
• |
|
= |
|
Exemplo 3
Qual é a probabilidade de um casal ter 4 filhos e todos do sexo masculino?
A chance de um casal ter um filho do sexo masculino é de ½. Porém, o evento completo é composto de 4 etapas; sendo cada nascimento uma etapa. Logo, teremos: (½)4 = 1/16.
Eventos independentes
Dois eventos são ditos independentes quando a realização ou não realização de um deles não afeta a probabilidade da realização do outro. Se A e B são eventos independentes; e sendo P(A) a probabilidade de ocorrer o evento A e P(B) a probabilidade de ocorrer o evento B; a probabilidade de ocorrer A e B, simultaneamente é dado por P(A ⋂ B) = P(A) • P(B).
Exemplo 1
Uma moeda é lançada 3 vezes. Calcule a probabilidade de obtermos:
a) três caras;
b) pelo menos uma cara.
Para cada lançamento tem-se ½ de chance para sair cara ou coroa. E cada lançamento é considerado um evento independente. Portanto, a chance de sair coroa nos três lançamentos será:
a) três caras;
|
• |
|
• |
|
= |
|
b) pelo menos uma cara.
Exceto o ramo ccc todos os demais contêm pelos menos uma cara.
| 7 | • |
|
= |
|
Exemplo 2
No lançamento de dois dados honestos, qual a probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado e 5 no segundo?
O problema nos mostra dois eventos.
Evento 1: obter o número 1 no primeiro dado.
Evento 2: obter o número 5 no segundo dado.
Os eventos 1 e 2 são independentes.
P(Evento 1) = 1/6
P(Evento 2) = 1/6
P(Evento 1 ⋂ Evento 2) = P(Evento 1) • P(Evento 2)
P(Evento 1 ⋂ Evento 2) = 1/6 * 1/6 = 1/36
Geometria analítica
O que você vai estudar:
- Conceitos básicos
– Distância entre dois pontos
– Ponto médio de um segmento
– Condição de alinhamento de três pontos– Equação geral da reta
– Equação reduzida da reta
– Equação segmentária da reta
– Equações paramétricas - A circunferência
– Conceitos elementares
– Equação da circunferência
– Posições relativas entre ponto e circunferência - aaaa
- aaaa
- aaaa
Distância entre dois pontos
No plano cartesiano acima foram determinados dois pontos distintos A e B. Nosso objetivo inicial é encontrar a distância entre eles. Para isso vamos encontrar as coordenadas de A e B.
O ponto A possui coordenadas (x1,y1), ou seja, A(x1,y1) e B possui coordenadas (x2,y2), ou seja, B(x2,y2).
Note na figura B que os pontos A, B e P formam um triângulo reto em P. Pelo teorema de Pitágoras, tem-se:
(dAB)² = (dAP)² + (dBP)²
(dAB)² = (x2 – x1)² + (y2 – y1)²
Exemplo 1
Calcular a distância entre os pontos A(2,3) e B(6,6).
dAB = √(x2 – x1)² + (y2 – y1)²
dAB = √(6 – 2)² + (6 – 3)²
dAB = √4² + 3²
dAB = √25;
dAB = 5
Exemplo 2
Determine os valores de m para os quais a distância entre A(m – 1,3) e B(2,-m) é 6.
dAB = √(x2 – x1)² + (y2 – y1)²
6 = √(2 – (m – 1))² + (-m – 3)²
6 = √(2 -m + 1)² + (-m – 3)²
6 = √(-m + 3)² + (-m – 3)²
36 = m² – 6m + 9 + m² + 6m + 9
36 = 2m² + 18
18 = 2m²
m² = 9
m = ± 3
Ponto médio de um segmento
Dados dois pontos A e B distintos, como calcular as coordenadas do ponto médio do segmento AB? Sabemos que A(x1,y1), B(x2,y2) e M(a,b).
Da semelhança de triângulos tem-se que o ΔAMC ~ ΔABP. Logo:
|
= |
|
|
= |
|
⇒ |
|
= |
|
AP = 2AC
x2 – x1 = 2(a – x1)
x2 – x1 = 2a – 2x1
x2 – x1 + 2x1 = 2a
x2 + x1 = 2a
| a | = |
|
Procedendo da mesma forma, sobre o eixo y, encontramos que:
| b | = |
|
Portanto, as coordenadas do ponto M(a,b) são:
| M | = |
|
, |
|
Condição de alinhamento de três pontos
A figura acima nos mostra três pontos A(x1,y1), B(x2,y2) e C(x3,y3), colineares, ou seja, são pontos de uma mesma reta. Como podemos provar, algebricamente, a colinearidade de três pontos?
Observando a figura, tem-se que: ΔABD ~ ΔACE. Portanto:
|
= |
|
|
= |
|
(x3 – x1)(y2 – y1) = (x2 – x1)(y3 – y1)
(x3 – x1)(y2 – y1) – (x2 – x1)(y3 – y1) = 0
Outra forma de representar a proporção acima é por meio de uma matriz. Quando o determinante da matriz resultar em zero, os três pontos estarão alinhados.
|
= 0 |
A reta
Equação geral da reta
Um dos postulados de incidência nos diz que dados dois pontos distintos, existe uma única reta que os contém.
Partindo desse princípio a figura acima nos mostra três pontos distintos pertencentes a uma reta r. Dois de seus pontos são conhecidos, a saber, os pontos A(x1,y1) e B(x2,y2). O ponto C (x,y) é genérico. Visto que os pontos A, B e C pertencem a mesma reta, logo estão alinhados. Já aprendemos que o determinante da matriz abaixo quando retorna zero, comprova a colinearidade de três pontos.
|
= 0 |
Desenvolvendo o determinante:
x1y2 + xy1 + x2y – xy2 – x2y1 – x1y = 0
x(y1 – y2) + y(x2 – x1) + (x1y2 – x2y1) = 0
Os valores x1, x2, y1 e y2 são conhecidos e podemos fazer:
y1 – y2 = a
x2 – x1 = b
x1y2 – x2y1 = c
por fim, teremos:
Essa é a forma geral da equação da reta.
Inclinação e coeficiente angular de uma reta
Na sequência de figuras acima podemos ver a mesma reta r com diversas inclinações. Cada inclinação exibe um α, e é a medida desse α que é chamada de inclinação da reta r. Note que no caso em que α = 90° não é possível determinar a inclinação da reta r, visto que tg α não é definida. E na situação em que a reta r é paralela ao eixo das abscissas, a sua inclinação é zero, ou seja, tg α = 0.
Coeficiente angular ou declividade de uma reta r é o número real m resultado da tangente trigonométrica de sua inclinação α, ou seja: m = tg α.
Dados dois pontos A(x1,y1) e B(x2,y2) pertencentes a uma reta r, o coefieciente angular dessa reta pode ser calculado como:
| m | = | tg α | = |
|
Por meio da relação acima podemos encontrar uma equação bastante conhecida. Consideremos uma reta r que passa pelo ponto P(x1,y1) e tem coeficiente angular m. Em seguida, tomamos um ponto Q(x,y) qualquer sobre a reta r, sendo Q ≠ P. Da fórmula acima tem-se:
| m | = |
|
Essa fórmula recebe o nome engraçado de “Yoyô me chichô”. Isso é um recurso para facilitar a memorização pelos alunos. Essa é a fórmula da equação de uma reta que passa por um ponto conhecido e cujo coeficiente angular também foi fornecido.
Equação reduzida da reta
Podemos encontrar a equação reduzida da reta a partir da equação geral ax + by + c = 0 e também a partir da equação y – y1 = m(x – x1). Vejamos cada caso.
A partir da equação geral
ax + by + c = 0
by = -ax – c
| y | = | – |
|
x | – |
|
Chamando -a/b de m e -c/b de n, tem-se:
A partir da equação y – y1 = m(x – x1)
y – y1 = m(x – x1)
Para esta parte vamos considerar o ponto de coordenadas (0,b).
y – b = m(x – 0)
y – b = mx
y = mx + b
Onde m é o coeficiente angular da reta e b o ponto, onde a reta corta o eixo das ordenadas.
Equação segmentária da reta
Para encontrarmos a equação segmentária da reta vamos analisar os pontos onde a reta r contar os eixos coordenados. De acordo com a figura acima essas interseções ocorrem nos pontos (a,0) e (0,b). Já sabemos encontrar a equação de uma reta conhecidos o coeficiente angular e um de seus pontos.
y – y1 = m(x – x1)
| m | = |
|
= |
|
| y – b | = |
|
(x – 0) |
| y – b | = |
|
x |
| y | = |
|
x | + | b |
Multiplicando ambos os lados por a, tem-se:
ay = -bx + ab
bx + ay = ab
Dividindo ambos os lados por ab, tem-se:
|
+ |
|
= |
|
|
+ |
|
= | 1 |
Equações paramétricas da reta
Parametrizar uma curva significa poder escrever as coordenadas de um ponto genérico de uma curva em função de outra variável, geralmente se utiliza a letra t.
 |
|
t funciona como parâmetro e a medida que seu valor é alterado, obtém-se novos pontos da curva. Esse conceito será facilmente entendido por meio de um exemplo.
Exemplo
Uma reta r passa pelos pontos (3,0) e (0,2). Encontre:
a) Sua equação geral
b) Sua equação reduzida
c) Sua equação segmentária
d) Uma de suas equações paramétricas
a) Encontrando a equação geral
|
= 0 |
Resolvendo o determinante, obtemos 2x + 3y – 6 = 0.
b) Encontrando a equação reduzida da reta
y – y1 = m(x – x1)
| m | = |
|
= |
|
| y – 0 | = |
|
(x – 3) |
| y | = |
|
x | + | 2 |
c) Encontrando a equação segmentária
2x + 3y = 6
|
+ |
|
= |
|
|
+ |
|
= | 1 |
d) Encontrando a equação paramétrica da reta
2x + 3y – 6 = 0
2x = 6 – 3y
| x | = | 3 | – |
|
y |
| x | = | 3 | (1 – |
|
y) |
x = 3t
| (1 – |
|
y) | = | t |
y = 2 – 2t
|
|
Portanto, com a variação de t podemos obter os pontos da reta r.
| t | x | y | ponto |
|---|---|---|---|
| -1 | -3 | 4 | P(-3,4) |
| 0 | 0 | 2 | Q(0,2) |
| 1 | 3 | 0 | R(3,0) |
| 2 | 6 | -2 | S(6,-2) |
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Posições relativas de duas retas no plano cartesiano
Um plano contem diversos elementos e estes por sua vez podem ou não interagir entre si. Vamos criar uma imagem mental onde determinada área urbana possa servir de plano para nosso estudo. Nessa área urbana temos ruas. Dessas ruas algumas são paralelas enquanto outras se cruzam.
Levando essa área urbana a um plano abstrato, as ruas serão retas que terão as mesmas propriedades, tanto de serem paralelas quanto de se cruzarem.
Considere duas retas r e s, não verticais de coeficientes angulares α e β, respectivamente.
Podem ocorrer dois casos.
1º caso: α = β
Se α = β ⇒ tg α = tg β, concluimos que:
O coefiente angular de ambas as retas é o mesmo. Portanto, as retas r e s são paralelas.
2º caso: α ≠ β
Se α ≠ β ⇒ tg α ≠ tg β, concluimos que:
As retas r e s são concorrentes, pois seus coefiecientes angulares são diferentes.
Todo par de retas concorrentes possui um ponto em comum. Na figura acima o ponto em comum das retas r e s é P. Além disso, as retas formam um ângulo θ ao se cruzarem, permitindo assim obtermos mais informações sobre a situação.
Ângulo formado por duas retas concorrentes
Na figura M abaixo, as retas r e s se intersectam no ponto P formando entre si um ângulo θ.
1º caso: θ = 90º
No triângulo APB, pela Geometria Plana, tem-se:
β = α + θ
β = α + 90º
tg β = tg (α + 90º)
| tg(α + 90º) | = |
|
| ⇒ | – |
|
= | – cotg α | = | – |
|
Como tg α = mr e tg β = ms, tem-se:
| tg β | = | – |
|
⇒ | ms | = | – |
|
| ms | = | – |
|
Quando a relação acima ocorrer dizemos que as retas r e s são perpendiculares.
2º caso: 0 < θ < 90º
Nesse caso nossa intenção é descobrir o valor de θ.
No triângulo APB, pela Geometria plana, tem-se:
β = α + θ
θ = β – α
tg θ = tg (β – α)
| tg θ | = |
|
Como tg α = mr e tg β = ms, tem-se:
| tg θ | = |
|
Caso uma das retas seja vertical, teremos:
| tg θ | = |
|