Livro de Matemática

Você deve se lembrar do desenho abaixo quando iniciou no estudo da matemática.

Começando pelos números naturais(N), em seguida pelos números inteiros(Z), depois pelos números reais(R) (junção dos números racionais(Q) e irracionais(I)) e por último o conjunto dos números complexos(C). Através da figura percebemos que o conjunto dos números reais é um subconjunto dos números complexos.

Até a descoberta dos números complexos tudo o que se tinha era o conjunto dos números reais. Alguns resultados de cálculos começaram a incomodar os matemáticos. Alguns destes resultados apareciam como √-1. É de conhecimento daqueles que se familiarizam com a matématica, que não existe raiz de número negativo no conjunto dos números reais. Na busca pela solução da √-1 criou-se, então, um número cujo quadrado é -1. Esse número foi representado pela letra i e nomeado de unidade imaginária.

Com esta descoberta é possível resolver equações onde o Δ é negativo. Vamos resolver a equação x² + 2x + 5 = 0.

Por delta e Bháskara temos:
Δ = b² – 4*a*c
Δ = 2² – 4*1*5
Δ = -16

No final ficamos com duas raízes:

x’ = -1 + 2√-1 , x” = -1 – 2√-1

Visto que i = √-1 as raízes da equação ficarão assim:

x’ = -1 + 2i , x” = -1 – 2i

Considere o par ordenado genérico (x,y), onde x ∈ R e y ∈ R. São válidas as definições abaixo:

• Igualdade: (a,b) = (c,d) ⇔ a = c e b = d
• Adição: (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)
• Multiplicação: (a,b) * (c,d) = (ac – bd, ad + bc)

Todo par ordenado da forma (x,0) pode ser representado pelo número real x, ou seja, x = (x,0).

O que chamou a atenção dos matemáticos é a multiplicação do par ordenado (0,1) por ele mesmo, ou seja, (0,1) * (0,1).
(0,1) * (0,1) = (- 1 , 0)
Do exposto acima podemos concluir que (-1,0) = -1. Logo, foi encontrado um elemento que multiplicado por ele mesmo resulta em -1.

Então, podemos dizer que o conjunto dos números complexos, que representamos pela letra C, é o conjunto dos pares ordenados de números reais que segue a seguinte lei.

Z ∈ C ⇔ Z = (x,y), sendo que x ∈ R e y ∈ R

Veja como se obtem um número complexo Z = (x,y).
Z = (x,y) = (x,0) + (y,0)
= (x,0) + (y * 0 – 0 * 1 , y * 1 + 0 * 0)
= (x,0) + (y,0) * (0,1)
Visto que (x,0) = x e (y,0) = y e (0,1) = i
podemos escrever (x,y) = x + yi ou Z = x + yi

Esta é a forma algébrica de um número complexo. Z é o número complexo, a é chamada de parte real de Z ou Re(Z), b é chamada de parte imaginária de Z ou Im(Z). Lembrando que a e b ∈ R.

Z = a + 0i = a
Quando a parte imaginária de Z é nula, o número é real.

Z = 0 + bi = bi
Quando a parte real de Z é nula, o número é dito imaginário puro.

Exemplos:

• Z = 2 + 5i é um número imaginário ou complexo
• Z = 4i é um número imaginário puro. Sua parte real é nula, ou seja, Z = 0 + 4i
• Z = 8 é um número real. A parte imaginária é nula, ou seja, Z = 8 + 0i

Note que a parte real de dois números complexos conjugados é igual e a parte imaginária é simétrica.

Adição e Subtração

Dados dois números complexos genéricos z₁ = a + bi e z₂ = c + di.

A soma z₁ + z₂ = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

A diferença z₁ – z₂ = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i.

Multiplicação

Dados dois números complexos genéricos z₁ = a + bi e z₂ = c + di.

A multiplicação z₁ * z₂ = (a + bi) * (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i.

(a + bi) * (c + di) = ac + adi + bci + bdi²

ac + (ad + bc)i – bd, pois i² = -1

ac – bd + (ad + bc)i

Exemplo 1

Calcule:

a) (5 + i)(2 – i)

b) (3 + 4i)²

---

a) Vamos utilizar a propriedade distributiva.

(5 + i)(2 – i)
10 – 5i + 2i – i²
10 – 3i + 1
11 – 3i

b) (3 + 4i)²
Dos produtos notáveis sabemos que (a + b)² = a² + 2ab + b². Então:
(3 + 4i)² = 3² + 2*3*4i + (4i)²
9 + 24i + 16i²
9 + 24i – 16
-7 + 24i

Exemplo 2

Determine x e y de modo que (4 + i)(x – 2i) = y + ¹/₂i.

---

(4 + i)(x – 2i) = y + ¹/₂i

4x – 8i + xi – 2i² = y + ¹/₂i

4x – 8i + xi + 2 = y + ¹/₂i

4x + 2 + (x – 8)i = y + ¹/₂i

A partir daqui caimos numa igualdade de números complexos.

4x + 2 = y x – 8 = 1/2

Da segunda equação temos:
x – 8 = ¹/₂ ⇒ x = ¹/₂ + 8 = ¹⁷/₂

Agora substituimos x na primeira equação.
4x + 2 = y
4(¹⁷/₂) + 2 = y
34 + 2 = y
y = 36

S = {¹⁷/₂, 36}

Divisão

Sejam dois números complexos z₁ = a + bi e z₂ = c + di, a divisão de z₁ por z₂ segue o esquema abaixo.

Lembre-se que multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador não altera o resultado da fração.

Do conjunto dos números reais temos que dado um número real a e n um inteiro positivo, a expressão aⁿ representa o produto de n fatores, todos iguais a a, ou seja:

Na expressão acima aⁿ, o número real a é chamado de base e n é chamado de expoente.

No conjunto dos números complexos não é diferente. Veja abaixo algumas potências de i:

i⁰ = 1
i¹ = i
i² = – 1
i³ = i² * i = (-1) * i = -i

Continuando o processo veja o que acontece.

i⁴ = i³ * i = (-i) * i = -i² = 1
i⁵ = i⁴ * i = 1 * i = i
i⁶ = i⁵ * i = i * i = i² = -1
i⁷ = i⁶ * i = -1 * i = -i

Note que os resultados repetem-se de 4 em 4.

Então, para calcular potências de i, basta dividir o expoente n, lembrando que n deve ser inteiro e positivo, por 4:

• Se o resto for 0, iⁿ = 1
• Se o resto for 1, iⁿ = i
• Se o resto for 2, iⁿ = -1
• Se o resto for 3, iⁿ = -i

Veja o motivo:

n = 4q + r (0 ≤ r ≤ 3)

iⁿ = i^{4q + r}
iⁿ = i^4q * i^r
iⁿ = (i⁴)^q * i^r
iⁿ = 1^q * i^r
iⁿ = 1 * i^r
iⁿ = i^r