Livro de Matemática

Considere o par ordenado genérico (x,y), onde x ∈ R e y ∈ R. São válidas as definições abaixo:

• Igualdade: (a,b) = (c,d) ⇔ a = c e b = d
• Adição: (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)
• Multiplicação: (a,b) * (c,d) = (ac – bd, ad + bc)

Todo par ordenado da forma (x,0) pode ser representado pelo número real x, ou seja, x = (x,0).

O que chamou a atenção dos matemáticos é a multiplicação do par ordenado (0,1) por ele mesmo, ou seja, (0,1) * (0,1).
(0,1) * (0,1) = (- 1 , 0)
Do exposto acima podemos concluir que (-1,0) = -1. Logo, foi encontrado um elemento que multiplicado por ele mesmo resulta em -1.

Então, podemos dizer que o conjunto dos números complexos, que representamos pela letra C, é o conjunto dos pares ordenados de números reais que segue a seguinte lei.

Z ∈ C ⇔ Z = (x,y), sendo que x ∈ R e y ∈ R

Veja como se obtem um número complexo Z = (x,y).
Z = (x,y) = (x,0) + (y,0)
= (x,0) + (y * 0 – 0 * 1 , y * 1 + 0 * 0)
= (x,0) + (y,0) * (0,1)
Visto que (x,0) = x e (y,0) = y e (0,1) = i
podemos escrever (x,y) = x + yi ou Z = x + yi

Esta é a forma algébrica de um número complexo. Z é o número complexo, a é chamada de parte real de Z ou Re(Z), b é chamada de parte imaginária de Z ou Im(Z). Lembrando que a e b ∈ R.

Z = a + 0i = a
Quando a parte imaginária de Z é nula, o número é real.

Z = 0 + bi = bi
Quando a parte real de Z é nula, o número é dito imaginário puro.

Exemplos:

• Z = 2 + 5i é um número imaginário ou complexo
• Z = 4i é um número imaginário puro. Sua parte real é nula, ou seja, Z = 0 + 4i
• Z = 8 é um número real. A parte imaginária é nula, ou seja, Z = 8 + 0i

Note que a parte real de dois números complexos conjugados é igual e a parte imaginária é simétrica.

Adição e Subtração

Dados dois números complexos genéricos z₁ = a + bi e z₂ = c + di.

A soma z₁ + z₂ = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

A diferença z₁ – z₂ = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i.

Multiplicação

Dados dois números complexos genéricos z₁ = a + bi e z₂ = c + di.

A multiplicação z₁ * z₂ = (a + bi) * (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i.

(a + bi) * (c + di) = ac + adi + bci + bdi²

ac + (ad + bc)i – bd, pois i² = -1

ac – bd + (ad + bc)i

Exemplo 1

Calcule:

a) (5 + i)(2 – i)

b) (3 + 4i)²

---

a) Vamos utilizar a propriedade distributiva.

(5 + i)(2 – i)
10 – 5i + 2i – i²
10 – 3i + 1
11 – 3i

b) (3 + 4i)²
Dos produtos notáveis sabemos que (a + b)² = a² + 2ab + b². Então:
(3 + 4i)² = 3² + 2*3*4i + (4i)²
9 + 24i + 16i²
9 + 24i – 16
-7 + 24i

Exemplo 2

Determine x e y de modo que (4 + i)(x – 2i) = y + ¹/₂i.

---

(4 + i)(x – 2i) = y + ¹/₂i

4x – 8i + xi – 2i² = y + ¹/₂i

4x – 8i + xi + 2 = y + ¹/₂i

4x + 2 + (x – 8)i = y + ¹/₂i

A partir daqui caimos numa igualdade de números complexos.

4x + 2 = y x – 8 = 1/2

Da segunda equação temos:
x – 8 = ¹/₂ ⇒ x = ¹/₂ + 8 = ¹⁷/₂

Agora substituimos x na primeira equação.
4x + 2 = y
4(¹⁷/₂) + 2 = y
34 + 2 = y
y = 36

S = {¹⁷/₂, 36}

Divisão

Sejam dois números complexos z₁ = a + bi e z₂ = c + di, a divisão de z₁ por z₂ segue o esquema abaixo.

Lembre-se que multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador não altera o resultado da fração.

Do conjunto dos números reais temos que dado um número real a e n um inteiro positivo, a expressão aⁿ representa o produto de n fatores, todos iguais a a, ou seja:

Na expressão acima aⁿ, o número real a é chamado de base e n é chamado de expoente.

No conjunto dos números complexos não é diferente. Veja abaixo algumas potências de i:

i⁰ = 1
i¹ = i
i² = – 1
i³ = i² * i = (-1) * i = -i

Continuando o processo veja o que acontece.

i⁴ = i³ * i = (-i) * i = -i² = 1
i⁵ = i⁴ * i = 1 * i = i
i⁶ = i⁵ * i = i * i = i² = -1
i⁷ = i⁶ * i = -1 * i = -i

Note que os resultados repetem-se de 4 em 4.

Então, para calcular potências de i, basta dividir o expoente n, lembrando que n deve ser inteiro e positivo, por 4:

• Se o resto for 0, iⁿ = 1
• Se o resto for 1, iⁿ = i
• Se o resto for 2, iⁿ = -1
• Se o resto for 3, iⁿ = -i

Veja o motivo:

n = 4q + r (0 ≤ r ≤ 3)

iⁿ = i^{4q + r}
iⁿ = i^4q * i^r
iⁿ = (i⁴)^q * i^r
iⁿ = 1^q * i^r
iⁿ = 1 * i^r
iⁿ = i^r

A figura acima representa o tão conhecido plano cartesiano que tudo indica ter sido uma contribuição de René Descartes. Descartes foi capaz de fundir a álgebra e a geometria criando fórmulas e números com os quais era possível alternar entre as duas. O gráfico acima representa um plano bidimensional onde cada ponto pode ser descrito por dois números, ou um par ordenado, um que dá a posição horizontal e o segundo que dá a posição vertical. Na figura o ponto P(a,b) é representado pelos números reais a (indicando a posição horizontal no eixo das abscissas) e b (indicando a posição vertical no eixo das ordenadas).

Veja no gráfico abaixo como é incrível poder entender o que Descartes propôs.

No gráfico perceba o ponto P(a,b) movendo-se e descrevendo uma trajetória com formato circular. A medida que o ponto vai se movendo ao longo do círculo, as suas coordenadas mudam. Além disso é possível criar uma equação que identifica os valores variáveis destes números em qualquer ponto da figura.

No caso dos números complexos a ideia foi associar ao número complexo z = a + bi o ponto P(a,b) do plano cartesiano xOy, onde, por convenção marcamos a parte real de z no eixo horizontal e a parte imaginária de z no eixo vertical.

O ponto P(a,b) é chamado de afixo ou imagem geométrica de z.

Por meio da figura abaixo seremos capazes de identificar e definir os conceitos de módulo e argumento de um número complexo.

Dado um número complexo genérico z = a + bi, podemos representá-lo num plano cartesiano conforme figura acima. A parte real de z está indicada no eixo horizontal e a parte imaginária no eixo vertical. A distância do ponto P(a,b) até a origem e indicada pela letra ρ (letra grega que se lê: “rô”) é o módulo do número complexo.

Note que ρ é obtido aplicando o teorema de Pitágoras onde ρ² = a² + b².

A medida do ângulo θ formado por ρ com o eixo real é o argumento do número complexo z. O ângulo θ deve satisfazer a condição 0 ≤ θ < 2π.

Observe que:

Os números ρ e θ são as coordenadas polares do ponto P(a,b) do plano e determinam a posição do ponto no plano.

Nota:

Multiplicar um Número Complexo por i é o mesmo que rotacioná-lo em 90º no sentido anti-horário. Portanto, dado z = a + bi ao fazermos (a + bi) * i teremos (a + bi) * i = -b + ai

Dado um número complexo z = a + bi, vimos que o argumento θ satifaz as seguintes condições:

A forma trigonométrica ou polar é apenas uma consequência dos conceitos anteriores. Quando substituimos a e b por ρ*cosθ e ρ*senθ, respectivamente, obtemos a forma trigonométrica.

z = a + bi
z = ρ*cosθ + ρ*senθ i
z = ρ(cosθ + i*senθ)

Multiplicação de números complexos na forma trigonométrica

Dados dois números complexos z₁ = ρ₁(cosθ + i*senθ) e z₂ = ρ₂(cosβ + i*senβ), a multiplicação z₁ * z₂ = ρ₁*ρ₂[cos(θ + β) + isen(θ + β)].

Divisão de números complexos na forma trigonométrica

Dados dois números complexos z₁ = ρ₁(cosθ + i*senθ) e z₂ = ρ₂(cosβ + i*senβ), a divisão será:

Potenciação de números complexos na forma trigonométrica

Dado um número complexo z = ρ(cosθ + i*senθ), ao elevarmos z ao expoente n teremos zⁿ = ρⁿ(cos(nθ)+isen(nθ)).

A fórmula acima é devida ao matemático francês Abraham de Moivre e é chamada de Fórmula de Moivre.

Radiciação de números complexos na forma trigonométrica

Dado um número complexo z = ρ(cosθ + i*senθ) e o número natural n (n ≥ 2), então poderemos encontrar n raízes enésimas de z. Estas raízes serão da forma:

K = 0,1,2, …, n-1

Por exemplo: