Livro de Matemática
Sumário
Dispositivo de Briot-Ruffini
O processo de divisão de polinômios pelo método da chave se torna exaustivo dependendo do tipo de polinômio que se deseja dividir.
Com o objetivo de facilitar esse processo de divisão criou-se o dispositivo de Briot-Ruffini. Vamos resolver um exemplo para confirmarmos a sua simplicidade.
Desejamos obter o quociente Q(x) e o resto R(x) da divisão de P(x) = 3x³ – 5x² + x – 2 por x – 2.
| 2 | 3 | -5 | 1 | -2 |
| ↓ | 3(2) – 5 | 1(2) + 1 | 3(2) – 2 | |
| 3 | 1 | 3 | 4 |
Acompanhe o roteiro a ser seguido para a resolução desse problema.
1º) O local onde se encontra o número 2 é aonde deverá ficar a raiz do divisor.
2º) Os coeficientes do polinômio deverão ficar à direita. Note que, se o polinômio P(x) não possuísse o termo em x², o coeficiente desse termo deveria
ser informado como zero.
3º) Abaixamos o primeiro coeficiente do dividendo, nesse caso o número 3.
4º) Multiplicamos o número 3 pela raiz do divisor (2) e somamos com o próximo coeficiente (-5), colocando o resultado abaixo deste.
5º) Obtivemos 1. Agora repetimos o processo. Multiplicamos 1 pela raiz do divisor (2) e somamos ao próximo coeficiente (1), colocando o resultado abaixo deste.
6º) Obtivemos 3. Repetimos o processo novamente. Multiplicamos 3 pela raiz do divisor (2) e somamos ao próximo coeficiente (-2), colocando o resultado abaixo deste.
7º) Obtivemos 4. Visto que, não temos mais coeficientes do dividendo, a operação se encerra aqui.
O último número obtido é o resto da divisão. Os demais números são os coeficientes do quociente. Logo, na divisão de P(x) = 3x³ – 5x² + x – 2 por x – 2, encontramos Q(x) = 3x² + x + 3 e resto R(x) = 4.
O dispositivo de Briot-Ruffini só funciona para divisões onde o divisor é do tipo (ax + b).
Exemplo 1
Determine o quociente e o resto da divisão de P(x) = x6 – x4 por x – 1.
| 1 | ||
| 1 | → | 1 |
| 0 | 1(1) + 0 | 1 |
| -1 | 1(1) – 1 | 0 |
| 0 | 0(1) + 0 | 0 |
| 0 | 0(1) + 0 | 0 |
| 0 | 0(1) + 0 | 0 |
| 0 | 0(1) + 0 | 0 |
O último algarismo é sempre o resto da divisão. Logo, obtivemos Q(x) = x5 + x4 e resto R(x) = 0.
Exemplo 2
Dividindo-se o polinômio P(x) = -3x4 + 2x³ + ax² – 5x + b por x + 1 obtém-se resto igual a 2. O quociente dessa divisão é, então, dividido por x – 2 e obtém-se resto igual a -8. Qual é o valor das constantes a e b?
| -1 | -3 | 2 | a | -5 | b |
| ↓ | -3(-1) + 2 | 5(-1) + a | (-5 + a)(-1) – 5 | -a(-1) + b | |
| -3 | 5 | -5 + a | -a | 2 |
Daqui retiramos a informação de que a + b = 2.
Agora, dividimos o quociente por x – 2.
| 2 | -3 | 5 | -5 + a | -a |
| ↓ | -3(2) + 5 | -1(2) + a | (-7 + a)(2) – a | |
| -3 | -1 | -7 + a | -8 |
Dessa divisão retiramos a informação de que (-7 + a)(2) – a = -8 → -14 + 2a – a = -8 → a = 6.
Substituindo o valor de a em a + b = 2, obtemos 6 + b = 2 → b = -4.
Portanto, a = 6 e b = -4.
Quando um polinômio é um cubo perfeito
Um polinômio é considerado um cubo perfeito se for da forma (ax + b)³, onde a e b são constantes reais ou complexas. Isso é conhecido como a fórmula do cubo perfeito.
Para verificar se um polinômio é um cubo perfeito, você pode expandi-lo usando a fórmula de cubo perfeito e verificar se ele se simplifica para a forma (ax + b)³. A expansão de (ax + b)³ é dada por:
Portanto, se o polinômio dado tiver a forma acima, ele é um cubo perfeito.
Exercícios Polinômios
Exercícios de introdução para fixar o conceito teórico.
-
(UNIFOR-CE) Se os polinômios A(x) = x³ + (a – b)x² + (a – b – 2)x + 4 e B(x) = x³ + 2ax² + (3a – b) são idênticos, então encontre os valores de a e b.
Resposta: a = 1 e b = -1
-
(UFMG) Seja P(x) = ax² + bx + c um polinômio de 2º grau em x.
a) Calcule P(x + 1).
b) Calcule P(x – 1).
c) Determine P(x), sabendo que P(x) + x²P(x + 1) – P(x – 1) = 2x4 + 7x³ + 4x² + 4x + 1.Resposta:
a)ax² + (2a + b)x + a + b + c
b) ax² + (b – 2a)x + a – b + c
c) 2x² + 3x – 1 -
(UFMG) Sejam A e B números reais que satisfaçam a igualdade:
1 (x + 2)(2x + 1) = A x + 2 + B 2x + 1 Para todo valor de x que não anula nenhum dos denominadores. Encontre o resultado da soma A + B.
Resposta: 1/3 -
(FEI-SP) Ache p e k tais que ax² + bx + c = a((x + p)² + k).
Resposta: p = b / 2a e k = (4ac – b²)/(4a²)
-
(FEI-SP) Um polinômio P(x) é divisível por x + 1 e dividido por x² + 1 dá quociente x² – 4 e resto R(x). Se R(2) = 9. Determine P(x).
Resposta: P(x) = x4 – 3x² + x + 3
-
(UFMG) Encontre os valores de A, B e C, para os quais
1 x(x² + 1) = A x + B x + 1 + C x – 1 onde todo x ∈ ℝ – {-1, 0, 1}.
Resposta: A = -1, B = 1/2 e C = 1/2
Polinômio de 2º Grau
Função quadrática
Um polinômio de segundo grau tem a seguinte estrutura ax² + bx + c. No ensino médio esse polinômio recebe uma atenção especial no estudo de funções. Nesse campo ele recebe o nome de função quadrática, ou f(x) = ax² + bx + c.
Observe o gráfico das duas funções abaixo:
| Pontos Importantes | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| a | b | c | xv | yv | concavidade |
| 1 | -2 | -3 | 1 | -4 | para cima |
| Pontos Importantes | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| a | b | c | xv | yv | concavidade |
| -1 | 2 | 3 | 1 | 4 | para baixo |
Nos gráficos acima alguns pontos merecem atenção. Note, por exemplo, os pontos (-1,0) e (3,0). Esses pontos determinam as raízes ou zeros da função, ou seja, são os pontos onde a função se anula. Em pontos como estes, a curva do gráfico sempre “corta” o eixo das abscissas. Os pontos (1,-4) e (1,4) são as coordenadas do vértice da curva. No gráfico da função f(x) = x² -2x – 3 o ponto (1,-4) representa o vértice dessa curva, note que aí tem-se um ponto de mínimo. O número 1 é chamado de x do vértice e o número -4 de y do vértice.
É importante notar também o comportamento da curva do gráfico nas duas funções. Na função f(x) = x² -2x – 3 a curva é uma parábola com a concavidade voltada para cima, visto que o valor do coeficiente a é positivo. Já no gráfico da função f(x) = – x² + 2x + 3 o coeficiente -1, menor que zero, gera uma parábola com a concavidade para baixo.
Raízes ou zeros da função quadrática
Para encontrar as raízes de um polinômio do 2º grau utilizamos a fórmula de Baskara.
| x = |
|
Por meio dessa fórmula é possível encontrar duas raízes que chamaremos de x’ e x”. No entanto, o aspecto da curva e os valores das raízes podem sofrer alterações dependendo do valor do discriminante (Δ).
Nesse caso a função tem duas raízes reais e distintas.
Nesse caso a função tem duas raízes reais e iguais.
Nesse caso a função não possui raízes reais.
Limites
O que você vai estudar:
- Definição
- Propriedades dos limites
- Limites laterais
- Indeterminações
- Assíntotas
- Limites infinitos
- Continuidade
- Limites fundamentais
Definição de limite
Para entendermos o conceito de limite vamos observar o comportamento de algumas sequências numéricas:
1) Sequência dos números primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, …
Note que conforme avançamos na sequência, sempre haverá um novo número primo, ou seja, existem infinitos números primos. Então, se considerarmos L o limite da sequência, podemos dizer que L tende a infinito. O mesmo é válido para a sequência de números pares (2,4,6,8,…) ou ímpares (1,3,5,7,…).
2) Sequência de números racionais:
|
Neste caso os valores do numerador e denominador estão crescendo indefinidamente, porém a razão entre eles está se aproximando de 1. Portanto, o limite desta sequência está tendendo a 1.
Assim como dissemos anteriormente, que L tendia a certo valor, podemos dizer também que uma função f(x) tende a certo limite L ao passo que x se aproxima de um determinado valor a, ou seja, dizemos que o limite de f(x) é L, quando x tende a a, se os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de L quando os valores de x ficam cada vez mais próximos de a. E representamos isso algebricamente como:
| lim | f(x) | = L |
| x→a |
Vamos ver um exemplo.
Exemplo
Seja a função f(x) = x2 – 4x + 3. Calcule o limite da função nos seguintes casos:
a) Quando x tende a zero (x → 0).
b) Quando x tende a 2 (x → 2).
c) Quando x tende a 3 (x → 3).
d) Quando x tende a infinito (x → ∞).
e) Quando x tende a menos infinito (x → -∞).
Antes de começarmos vamos fazer uma breve análise da função. A função dada é um polinômio do segundo grau. Veja o esboço do gráfico desta função.
A função não é restrita, logo seu domínio é o conjunto dos números reais. Já o conjunto imagem é dado por
| y ∈ ℝ | y ≥ |
|
| a) | lim | (x2 – 4x + 3) | = 3 |
| x→0 |
Para encontrarmos o valor do limite para funções que não geram indeterminações apenas substituimos a variável x pelo valor para o qual x se aproxima. Neste caso como x se aproxima de zero, substituimos a variável x por zero. Logo, 02 – 4*(0) + 3 = 3. Portanto, o limite procurado é 3. Então, quando x se aproxima de 0 tanto pela direita quanto pela esquerda, f(x) se aproxima de 3.
| b) | lim | (x2 – 4x + 3) | = -1 |
| x→2 |
(2)2 – 4(2) + 3 = -1
| c) | lim | (x2 – 4x + 3) | = 0 |
| x→3 |
Veja que 3 é uma das raizes da função. Neste ponto f(x) vale zero. É razoável pensar que quando x se aproxima de 3, f(x) se aproximará de zero.
| d) | lim | (x2 – 4x + 3) | = ∞ |
| x→∞ |
Veja no gráfico abaixo que a medida que x cresce indefinidamente, f(x) também cresce indefinidamente. Logo, o limite procurado é ∞.
| e) | lim | (x2 – 4x + 3) | = ∞ |
| x→-∞ |
É fácil perceber pelo gráfico que a medida que x avança pelo lado negativo, f(x) cresce indefinidamente. Desta forma, o limite de f(x) quando x tende a -∞ é ∞.
Definição formal de limite
Seja f(x) definida num intervalo k, contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x aproxima-se de a é L, ou seja, escolhendo-se um ε>0, deverá existir um δ>0, tal que |f(x) – L|<ε sempre que 0 <|x – a|<δ.
Exemplo
Dada a função f(x) = 7x + 5, mostre que
| lim | (7x + 5) | = 19 |
| x→2 |
usando a definição.
Pela definição de limite devemos ter satisfeitas as seguintes inequações |f(x) – L|<ε e 0 <|x – a|<δ.
Então, temos que:
|7x + 5 – 19|<ε e 0 <|x – 2|<δ
|7x -14|<ε
|7(x – 2)|<ε
7|x – 2|<ε
|
|
|
|
Estamos então diante do intervalo de x. Logo, x deverá estar no intervalo
|
Propriedades dos limites
O uso da definição de limite muitas vezes torna o processo do cálculo bastante trabalhoso. Seguem abaixo as principais propriedades de limites:
| a) |
|
||||||||||||||
| b) |
|
||||||||||||||
| c) |
|
||||||||||||||
| d) |
|
||||||||||||||
| e) |
|
||||||||||||||
| f) |
|
||||||||||||||
| g) |
|
||||||||||||||
| h) |
|
||||||||||||||
| i) |
|
||||||||||||||
| j) |
|
||||||||||||||
| l) |
|
||||||||||||||
| m) |
|
Limites laterais
Já conhecemos a definição:
| lim | f(x) | = L |
| x→a |
Mas o que isso quer dizer? Para que um limite exista é necessário que os limites laterais existam e sejam iguais.
Suponhamos que o limite de f(x) quando x tende ao valor a pela esquerda seja L1.
| lim | f(x) | = L1 |
| x→a– |
Agora suponhamos que o limite de f(x) quando x tende ao valor a pela direita seja L2.
| lim | f(x) | = L2 |
| x→a+ |
Se L1 e L2 são números reais e iguais, ou seja, L1 = L2, então o limite de f(x) quando x tende ao valor a existe. Porém, se os valores dos limites laterais forem diferentes o limite não existe.
Vamos ver um exemplo. Seja a função f(x) representada pelo gráfico abaixo:
Note que os pontos (1,2) e (3,2) foram retirados ficando um buraco. Porém a função está definida nestes pontos, já que f(1) = 1 e f(3) = 3. Veja que o limite f(x) quando x tende a 1 pela esquerda ou pela direita vale 2.
| lim | f(x) | = | lim | f(x) | = 2 |
| x→1– | x→1+ |
Por outro lado veja o que acontece quando x tende a 3.
| lim | f(x) | = ∄ |
| x→3 |
Pelo gráfico é possível notar que:
| lim | f(x) | ≠ | lim | f(x) |
| x→3– | x→3+ |
Indeterminações
Estamos cientes de que dependendo da situação:
| lim | f(x) | = f(a) |
| x→a |
Porém, nem sempre obtemos um valor aceitável quando realizamos a substituição de x por a. Pode ocorrer de nos depararmos com valores indeterminados, que, nesse contexto, são os seguintes:
|
; | 0•(±∞) | ; |
|
; | ∞ – ∞ |
00; 1∞ e ∞0
Para encontrarmos de forma correta o limite procurado será necessário o uso de simplificações ou algebrismos para eliminarmos a indeterminação.
Exemplo 1
Encontre o limite das funções abaixo:
| a) | lim |
|
||
| x→2 |
| b) | lim |
|
||
| x→0 |
| c) | lim |
|
||
| x→1 |
| d) | lim |
|
||
| x→0 |
| a) | lim |
|
||
| x→2 |
| lim |
|
= |
|
||||
| x→2 |
Nos deparamos com uma indeterminação. Para eliminarmos este problema vamos analisar a função racional. O denominador e o numerador são dois polinômios. Usando o método da fatoração chegamos ao seguinte resultado:
| lim |
|
= |
|
||||
| x→2 |
O que resulta em:
| lim | x + 2 | = | 4 |
| x→2 |
| b) | lim |
|
||
| x→0 |
| lim |
|
||
| x→0 |
| lim |
|
= |
|
||||
| x→0 |
Para levantarmos a indeterminação vamos multiplicar numerador e denominador por √(x + 2) + √2, ou conjugado, obtendo:
| √(x + 2) – √2 | • | √(x + 2) + √2 |
| x | √(x + 2) + √2 |
| x + 2 – 2 | = | x |
| x(√(x + 2) + √2) | x(√(x + 2) + √2) |
| 1 |
| √(x + 2) + √2 |
Agora calculamos o limite
| lim |
|
||
| x→0 |
| lim |
|
= |
|
= |
|
||||||
| x→0 |
| c) | lim |
|
||
| x→1 |
| lim |
|
= |
|
||||
| x→1 |
A(x) = x³ – 4x² – 7x + 10 e B(x) = x² + 2x – 3 são polinômios. Estes retornaram zero quando a variável x foi substituída por 1. Pelo teorema do resto, isso quer dizer que tanto A(x) quanto B(x) são divisíveis por (x – 1). Portanto:
| lim |
|
||||||
| x→1 |
| lim |
|
||
| x→1 |
| lim |
|
= |
|
= | -3 | ||||
| x→1 |
| d) | lim |
|
||
| x→0 |
| lim |
|
= |
|
= |
|
||||||
| x→0 |
| (x + 2)² – 4 | = | x² + 4x + 4 – 4 |
| x | x |
| x² + 4x | = | x(x + 4) | = | x + 4 |
| x | x |
| lim | x + 4 | = | 4 |
| x→0 |
Limites no infinito
| lim | f(x) | = L |
| x→+∞ |
O limite de f(x) quando x → +∞ é L, quando L satisfaz a condição:
Para qualquer ε > 0, existe um δ > 0 desde que |f(x) – L| < ε sempre que x > δ.
| lim | f(x) | = L |
| x→-∞ |
O limite de f(x) quando x → +∞ é L, quando L satisfaz a condição:
Para qualquer ε > 0, existe um δ < 0 desde que |f(x) – L| < ε sempre que x < δ.
Exemplo 1
Determinar o limite:
| lim |
|
||
| x→+∞ |
Vamos reescrever o limite acima como uma divisão de duas funções.
| lim |
|
||
| x→+∞ |
O limite de h(x) = 2x + 7 quando x tende a infinito é +∞.
| lim | 2x + 7 | = | +∞ |
| x→+∞ |
O mesmo acontece para a função g(x) = x – 3.
| lim | x – 3 | = | +∞ |
| x→+∞ |
Portanto, no limite original encontraríamos uma indeterminação.
| lim |
|
= |
|
||||
| x→+∞ |
Note que o termo que “rege” o numerador da função é o de maior grau, ou seja, 2x, e o termo que “rege” o denominador da função é o de maior grau, ou seja, x. Podemos assim reescrever o limite.
| lim |
|
= | 2 | ||
| x→+∞ |
Exemplo 2
Determinar o limite:
| lim |
|
||
| x→ – ∞ |
Podemos reescrever o limite como:
| lim |
|
||
| x→ – ∞ |
| lim |
|
||
| x→ – ∞ |
|
lim |
|
= |
|
* | 0 | = 0 | ||||||
| x→ – ∞ |
Exemplo 3
Determinar o limite:
| lim |
|
||
| x→ + ∞ |
Para resolvermos esse limite precisaremos simplificar a expressão. Vamos dividir o numerador e o denominador por x.
| lim |
|
||
| x→ + ∞ |
O x aparece elevado ao quadrado dentro da raiz, porque x = √x².
| lim |
|
||
| x→ + ∞ |
O termo
|
e |
|
tendem a zero quando x tende a infinito.
| lim |
|
= |
|
= √2 | ||||
| x→ + ∞ |