Livro de Matemática

Grau de um polinômio

O grau de um polinômio é o valor máximo que o expoente n assume. Logo:
– A(x) = x³ – x² + x – 1 possui grau 3 e escrevemos gr(A) = 3, ou seja, o valor máximo de n foi 3.
– B(x) = 3ix⁵ possui grau 5 e escrevemos gr(B) = 5.

Valor numérico

Para entendermos esse conceito vamos recorrer ao polinômio genérico P(x) = a_nxⁿ + a_{n – 1}x^{n – 1} + …+ a₁x + a₀. Agora vamos substituir o x por α, ficando assim P(α) = a_nαⁿ + a_{n – 1}α^{n – 1} + …+ a₁α + a₀. Então, podemos concluir que o valor numérico de um polinômio é o valor obtido quando se substitui a variável x por outro valor qualquer e se efetua as operações indicadas pela expressão.

Veja como é fácil encontrar o valor numérico de p(x) = x² – x + 1 quando substituimos x por 2. p(2) = 2² – 2 + 1 ⇒ p(2) = 3. Portanto:
– 3 é o valor numérico de p(x) para x = 2.
– Este valor 3 é a imagem de 2 pela função polinomial p(x).
– Se p(α) = 0, o número α é dito raiz ou zero de p(x).

Dado um polinômio genérico P(x) = a_nxⁿ + a_{n – 1}x^{n – 1} + a_{n – 2}x^{n – 2} + … + a₂x² + a₁x + a₀, diz-se que P(x) é identicamente nulo, se todos os seus coeficientes forem nulos. Desta forma P(x) ≡ 0 (lê-se P(x) é idêntico a zero).

Sejam os polinômios A(x) = a_nxⁿ + a_{n – 1}x^{n – 1} + a_{n – 2}x^{n – 2} + … + a₂x² + a₁x + a₀ e B(x) = b_nxⁿ + b_{n – 1}x^{n – 1} + b_{n – 2}x^{n – 2} + … + b₂x² + b₁x + b₀. A(x) será igual ou idêntico a B(x), ou seja, A(x) ≡ B(x) se todos os coeficientes de A(x) forem iguais aos coeficientes de B(x). Veja o esquema abaixo:

A(x) ≡ B(x)
a_nxⁿ + a_{n – 1}x^{n – 1} + a_{n – 2}x^{n – 2} + … + a₂x² + a₁x + a₀ ≡ b_nxⁿ + b_{n – 1}x^{n – 1} + b_{n – 2}x^{n – 2} + … + b₂x² + b₁x + b₀

A(x) – B(x) ≡ 0

(a_n – b_n)xⁿ + (a_{n – 1} – b_{n – 1})x^{n – 1} + (a_{n – 2} – b_{n – 2})x^{n – 2} + … + (a₂ – b₂)x² + (a₁ – b₁)x + (a₀ – b₀) ≡ 0. Logo:

a_n = b_n
a_{n – 1} = b_{n – 1}
a_{n – 2} = b_{n – 2}
a₂ = b₂
a₁ = b₁
a₀ = b₀

Exemplo 1

(EEM-SP) Determine os valores de p e q na identidade: 2x + 13 ≡ p(x + 2) – q(1 – x).

---

Se 2x + 13 ≡ p(x + 2) – q(1 – x), então os coeficientes do polinômio da esquerda são iguais aos coeficientes do polinômio da direita. Vamos reescrever a expressão.

2x + 13 ≡ px + 2p – q + qx
2x + 13 ≡ px + qx + 2p – q
2x + 13 ≡ (p + q)x + 2p – q

A partir daqui montamos um sistema para facilitar os cálculos.

p + q = 2 2p – q = 13

Somando as duas equações a variável q irá se anular. Logo:
3p = 15 ⇒ p = 5
substituindo o valor de p na equação p + q = 2 temos:
5 + q = 2 ⇒ q = -3

Solução: p = 5 e q = -3

Exemplo 2

Sabendo que

A x + 1

+

B x – 2

≡

– x + 8 x² – x – 2

, calulcar A e B.

---

Na expressão acima note que x² – x – 2 = (x + 1)(x – 2), desta forma podemos reescrever a expressão como:

A x + 1

+

B x – 2

≡

– x + 8 (x + 1)(x – 2)

A(x – 2) x + 1

+

B(x + 1) x – 2

≡

– x + 8 (x + 1)(x – 2)

A(x – 2) + B(x + 1) ≡ – x + 8
Ax – 2A + Bx + B ≡ – x + 8
Ax + Bx – 2A + B ≡ – x + 8
(A + B)x – 2A + B ≡ – x + 8

Visto que, (A + B)x – 2A + B é idêntico a – x + 8, podemos montar o sistema abaixo:

A + B = -1 – 2A + B = 8

Multiplicando a primeira equação por (-1) temos:

– A – B = 1 – 2A + B = 8

E somando-se as duas equações temos:
– 3A = 9 ⇒ A = -3

Substituindo o valor de A na equação A + B = -1 temos:
-3 + B = -1 ⇒ B = 2

Logo, A = – 3 e B = 2.

A soma, a diferença e a multiplicação de funções polinomiais é realizada verificando os coeficientes dos termos semelhantes. Vejamos alguns exemplos.

Vamos retormar o conceito da divisão de dois números quaisquer. Vamos dividir o número genérico D por d.

No esquema acima D é o dividendo, d é o divisor, q é o quociente e r o resto. Veja como fica o esquema da divisão do número 14 por 5.

Note que 14 = 2 * 5 + 4.

Podemos utilizar esta mesma estrutura para a divisão de polinômios. Dado um polinômio A(x) e outro B(x) ≠ 0, a divisão de A(x) por B(x) resultará em dois outros polinômios sendo um Q(x) e outro R(x). Veja o esquema abaixo:

A(x) é o dividendo, B(x) é o divisor, Q(x) é o quociente e R(x) é o resto. O polinômio R(x) sempre terá o grau menor do que B(x) ou poderá ser identicamente nulo.

Vale lembrar que A(x) = B(x) * Q(x) + R(x).

Veja o que acontece quando dividimos 12 por 2.

12 = 2 * 6 + 0 ou 12 = 2 * 6

Quando o processo de divisão resulta em resto igual a zero dizemos que a divisão é exata e que o dividendo é divisível pelo divisor. Então, se dividirmos um polinômio A(x) por B(x) e obtivermos resto igual a zero, podemos afirmar que A(x) é divisível por B(x).

Método da chave

O método da chave consiste em dividir dois polinômios quaisquer usando a estrutura de divisão abaixo:

Vamos dividir A(x) = x⁴ – 1 por B(x) = x + 1.

No final do processo obteremos um valor para Q(x) e outro para R(x).

1º passo: Dispomos os polinômios conforme esquema abaixo:

O polinômio do dividendo é de grau 4 e possui os demais coeficientes nulos. Precisamos informar isso quando usarmos o método da chave.

2º passo: Iniciamos o processo de divisão.

3º passo: Ainda é possível prosseguir com a divisão, já que o grau do polinômio resultante é maior do que o grau do polinômio divisor.

4º passo: Dividimos mais uma vez.

5º passo: Para finalizar.

Por fim obtivemos Q(x) = x³ – x² + x – 1 e R(x) = 0. Logo, x⁴ – 1 é divisível por x + 1.

Teorema do resto

Este teorema permite encontrar o resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio do tipo ax + b.
Por exemplo: Calculemos o resto da divisão de A(x) = x³ + 7x² – 2x + 1 por B(x) = x + 3.

1º passo: extraímos a raiz do divisor B(x).

B(x) = x + 3
x + 3 = 0
x = -3 → raiz de B(x).

2º passo: calculamos o valor numérico de A(x) para x igual a -3.

A(x) = x³ + 7x² – 2x + 1
A(-3) = (-3)³ + 7(-3)² – 2(-3) + 1
A(-3) = – 27 + 63 + 6 + 1
A(-3) = 43

Perceba que não precisamos utilizar o método da chave para isso, já que se mostra bastante trabalhoso.

Mostramos abaixo como obter o resto da divisão de um polinômio genérico A(x) por um binômio genérico B(x) = ax + b.

1° passo: extrair a raiz de B(x).

B(x) = ax + b
ax + b = 0
ax = -b
x = -b/a

2º passo: visto que o polinômio A(x) é genérico não é possível determinarmos o seu grau aqui. Portanto, vamos utilizar a regra de divisão de polinômios.

Como desejamos encontrar R(x), vamos chamá-lo de r.

A(x) = B(x) • Q(x) + r
A(x) = (ax + b) • Q(x) + r

Para um polinômio genérico P(x) temos:

Teorema de D’Alembert

O teorema de D’Alembert é uma consequência do teorema do resto. Ele diz que um polinômio P(x) é divisível pelo binômio (ax + b) se, e somente se, P(-b/a) = 0.

Já é sabido que se o resto de uma divisão de polinômios for zero, um deles é divisível pelo outro.

A(x) = B(x) • Q(x) + 0
A(x) = B(x) • Q(x)

Exemplo 1

Determine as soluções da equação Q(x) = 0, em que Q(x) é o quociente da divisão do polinômio P(x) = x⁴ – 10x³ + 24x² + 10x – 24 por x² – 6x + 5.

---

Para encontrarmos o valor de Q(x) vamos utilizar o método da chave.

x4 – 10x³ + 24x² + 10x – 24	x² – 6x + 5
– x4 + 6x³ – 5x²	x² – 4x – 5
-4x³ + 19x² + 10x – 24
4x³ – 24x² + 20x
-5x² + 30x -24
5x² – 30x + 25
1

Q(x) = x² – 4x – 5. Como Q(x) = 0, fazemos:

x² – 4x – 5 = 0

x

=

– b ± √Δ 2a

x

=

– b ± √b² – 4ac 2a

x

=

– (-4) ± √(-4)² – 4(1)(-5) 2(1)

x

=

4 ± √36 2

x’

=

4 + √36 2

=

4 + 6 2

= 5

x”

=

4 – √36 2

=

4 – 6 2

= -1

S = {-1,5}

Exemplo 2

(PUC-SP)Qual é o número real que se deve adicionar a P(x) = x³ – 2x² + x para se obter um polinômio divisível por x – 3?

---

Devemos adicionar um número k ao polinômio x³ – 2x² + x para que seja divisível por x – 3. Então,

P(x) = x³ – 2x² + x + k

Se P(x) é divisível por x – 3, então P(3) = 0.

P(3) = 3³ – 2(3)² + 3 + k

3³ – 2(3)² + 3 + k = 0

27 – 18 + 3 + k = 0

k = -12

Exemplo 3

(ITA-SP)Determine os valores de a e b, tais que os polinômios x³ – 2ax² + (3a + b)x – 3b e x³ – (a + 2b)x + 2a sejam divisíveis por x + 1.

---

A(x) = x³ – 2ax² + (3a + b)x – 3b

B(x) = x³ – (a + 2b)x + 2a

Se A(x) e B(x) são divisíveis por x + 1, então A(-1) e B(-1) é igual a zero.

A(-1) = (-1)³ – 2a(-1)² + (3a + b)(-1) – 3b
-1 – 2a – 3a – b – 3b = 0
-1 – 5a – 4b = 0
5a + 4b = -1 → (I)

B(-1) = (-1)³ – (a + 2b)(-1) + 2a
-1 + a + 2b + 2a = 0
3a + 2b = 1 → (II)

Montamos um sistema com (I) e (II)

5a + 4b = -1 3a + 2b = 1

Multiplicamos a segunda equação por (-2).

5a + 4b = -1 -6a – 4b = -2

-a = -3
a = 3

Substituímos o valor de a na equação 3a + 2b = 1.

3a + 2b = 1
3(3) + 2b = 1.
9 + 2b = 1
2b = -8
b = -4

Portanto, os valores de a e b são 3 e -4, respectivamente.

Exemplo 4

Um polinômio P(x), dividido por x, deixa resto 2; dividido por x + 2, deixa resto -5 e, dividido por x – 2, deixa resto 25. Qual é o resto da divisão de P(x) por x(x+2)(x-2)?

---

Vamos anotar os dados:

P(x) ÷ x → resto = 2

P(x) ÷ (x + 2) → resto = -5

P(x) ÷ (x – 2) → resto = 25

P(x) ÷ [x(x+2)(x-2)] → resto = ?

Dadas as afirmações acima, então podemos afirmar que:

P(0) = 2 | P(-2) = -5 | P(2) = 25

Sendo o novo divisor x(x+2)(x-2) um polinômio de 3º grau o resto será no máximo do 2º grau, logo:

R(x) = ax² + bx + c

Então, podemos escrever:

P(x) = x(x+2)(x-2)Q(x) + ax² + bx + c

P(0) = 0(0+2)(0-2)Q(0) + a(0)² + b(0) + c
P(0) = c → c = 2

P(-2) = -2(-2+2)(-2-2)Q(-2) + a(-2)² + b(-2) + c
P(-2) = 4a – 2b + c
P(-2) = 4a – 2b + 2 → 4a – 2b + 2 = -5

4a – 2b = -7 → (I)

P(2) = 2(2+2)(2-2)Q(2) + a(2)² + b(2) + c
P(2) = 4a + 2b + c
P(2) = 4a + 2b + 2 → 4a + 2b + 2 = 25

4a + 2b = 23 → (II)

Montamos um sistema com (I) e (II)

4a – 2b = -7 4a + 2b = 23

8a = 16 → a = 2

Substituímos o valor de a na equação 4a – 2b = -7.

4(2) – 2b = -7
8 – 2b = -7
15 = 2b
b = 15/2

Portanto,

R(x) =

2x²

+

15 2

x

+ 2

O processo de divisão de polinômios pelo método da chave se torna exaustivo dependendo do tipo de polinômio que se deseja dividir.
Com o objetivo de facilitar esse processo de divisão criou-se o dispositivo de Briot-Ruffini. Vamos resolver um exemplo para confirmarmos a sua simplicidade.
Desejamos obter o quociente Q(x) e o resto R(x) da divisão de P(x) = 3x³ – 5x² + x – 2 por x – 2.

Acompanhe o roteiro a ser seguido para a resolução desse problema.

1º) O local onde se encontra o número 2 é aonde deverá ficar a raiz do divisor.

2º) Os coeficientes do polinômio deverão ficar à direita. Note que, se o polinômio P(x) não possuísse o termo em x², o coeficiente desse termo deveria
ser informado como zero.

3º) Abaixamos o primeiro coeficiente do dividendo, nesse caso o número 3.

4º) Multiplicamos o número 3 pela raiz do divisor (2) e somamos com o próximo coeficiente (-5), colocando o resultado abaixo deste.

5º) Obtivemos 1. Agora repetimos o processo. Multiplicamos 1 pela raiz do divisor (2) e somamos ao próximo coeficiente (1), colocando o resultado abaixo deste.

6º) Obtivemos 3. Repetimos o processo novamente. Multiplicamos 3 pela raiz do divisor (2) e somamos ao próximo coeficiente (-2), colocando o resultado abaixo deste.

7º) Obtivemos 4. Visto que, não temos mais coeficientes do dividendo, a operação se encerra aqui.

O último número obtido é o resto da divisão. Os demais números são os coeficientes do quociente. Logo, na divisão de P(x) = 3x³ – 5x² + x – 2 por x – 2, encontramos Q(x) = 3x² + x + 3 e resto R(x) = 4.
O dispositivo de Briot-Ruffini só funciona para divisões onde o divisor é do tipo (ax + b).

Um polinômio é considerado um cubo perfeito se for da forma (ax + b)³, onde a e b são constantes reais ou complexas. Isso é conhecido como a fórmula do cubo perfeito.

Para verificar se um polinômio é um cubo perfeito, você pode expandi-lo usando a fórmula de cubo perfeito e verificar se ele se simplifica para a forma (ax + b)³. A expansão de (ax + b)³ é dada por:

Portanto, se o polinômio dado tiver a forma acima, ele é um cubo perfeito.

Função quadrática

Um polinômio de segundo grau tem a seguinte estrutura ax² + bx + c. No ensino médio esse polinômio recebe uma atenção especial no estudo de funções. Nesse campo ele recebe o nome de função quadrática, ou f(x) = ax² + bx + c.
Observe o gráfico das duas funções abaixo:

f(x) = x² -2x – 3

Pontos Importantes
a	b	c	xv	yv	concavidade
1	-2	-3	1	-4	para cima

f(x) = – x² + 2x + 3

Pontos Importantes
a	b	c	xv	yv	concavidade
-1	2	3	1	4	para baixo

Nos gráficos acima alguns pontos merecem atenção. Note, por exemplo, os pontos (-1,0) e (3,0). Esses pontos determinam as raízes ou zeros da função, ou seja, são os pontos onde a função se anula. Em pontos como estes, a curva do gráfico sempre “corta” o eixo das abscissas. Os pontos (1,-4) e (1,4) são as coordenadas do vértice da curva. No gráfico da função f(x) = x² -2x – 3 o ponto (1,-4) representa o vértice dessa curva, note que aí tem-se um ponto de mínimo. O número 1 é chamado de x do vértice e o número -4 de y do vértice.

É importante notar também o comportamento da curva do gráfico nas duas funções. Na função f(x) = x² -2x – 3 a curva é uma parábola com a concavidade voltada para cima, visto que o valor do coeficiente a é positivo. Já no gráfico da função f(x) = – x² + 2x + 3 o coeficiente -1, menor que zero, gera uma parábola com a concavidade para baixo.

Raízes ou zeros da função quadrática

Para encontrar as raízes de um polinômio do 2º grau utilizamos a fórmula de Baskara.

Por meio dessa fórmula é possível encontrar duas raízes que chamaremos de x’ e x”. No entanto, o aspecto da curva e os valores das raízes podem sofrer alterações dependendo do valor do discriminante (Δ).

Nesse caso a função tem duas raízes reais e distintas.

Nesse caso a função tem duas raízes reais e iguais.

Nesse caso a função não possui raízes reais.