Livro de Matemática
Sumário
Definição de limite
Para entendermos o conceito de limite vamos observar o comportamento de algumas sequências numéricas:
1) Sequência dos números primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, …
Note que conforme avançamos na sequência, sempre haverá um novo número primo, ou seja, existem infinitos números primos. Então, se considerarmos L o limite da sequência, podemos dizer que L tende a infinito. O mesmo é válido para a sequência de números pares (2,4,6,8,…) ou ímpares (1,3,5,7,…).
2) Sequência de números racionais:
|
Neste caso os valores do numerador e denominador estão crescendo indefinidamente, porém a razão entre eles está se aproximando de 1. Portanto, o limite desta sequência está tendendo a 1.
Assim como dissemos anteriormente, que L tendia a certo valor, podemos dizer também que uma função f(x) tende a certo limite L ao passo que x se aproxima de um determinado valor a, ou seja, dizemos que o limite de f(x) é L, quando x tende a a, se os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de L quando os valores de x ficam cada vez mais próximos de a. E representamos isso algebricamente como:
| lim | f(x) | = L |
| x→a |
Vamos ver um exemplo.
Exemplo
Seja a função f(x) = x2 – 4x + 3. Calcule o limite da função nos seguintes casos:
a) Quando x tende a zero (x → 0).
b) Quando x tende a 2 (x → 2).
c) Quando x tende a 3 (x → 3).
d) Quando x tende a infinito (x → ∞).
e) Quando x tende a menos infinito (x → -∞).
Antes de começarmos vamos fazer uma breve análise da função. A função dada é um polinômio do segundo grau. Veja o esboço do gráfico desta função.
A função não é restrita, logo seu domínio é o conjunto dos números reais. Já o conjunto imagem é dado por
| y ∈ ℝ | y ≥ |
|
| a) | lim | (x2 – 4x + 3) | = 3 |
| x→0 |
Para encontrarmos o valor do limite para funções que não geram indeterminações apenas substituimos a variável x pelo valor para o qual x se aproxima. Neste caso como x se aproxima de zero, substituimos a variável x por zero. Logo, 02 – 4*(0) + 3 = 3. Portanto, o limite procurado é 3. Então, quando x se aproxima de 0 tanto pela direita quanto pela esquerda, f(x) se aproxima de 3.
| b) | lim | (x2 – 4x + 3) | = -1 |
| x→2 |
(2)2 – 4(2) + 3 = -1
| c) | lim | (x2 – 4x + 3) | = 0 |
| x→3 |
Veja que 3 é uma das raizes da função. Neste ponto f(x) vale zero. É razoável pensar que quando x se aproxima de 3, f(x) se aproximará de zero.
| d) | lim | (x2 – 4x + 3) | = ∞ |
| x→∞ |
Veja no gráfico abaixo que a medida que x cresce indefinidamente, f(x) também cresce indefinidamente. Logo, o limite procurado é ∞.
| e) | lim | (x2 – 4x + 3) | = ∞ |
| x→-∞ |
É fácil perceber pelo gráfico que a medida que x avança pelo lado negativo, f(x) cresce indefinidamente. Desta forma, o limite de f(x) quando x tende a -∞ é ∞.
Definição formal de limite
Seja f(x) definida num intervalo k, contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x aproxima-se de a é L, ou seja, escolhendo-se um ε>0, deverá existir um δ>0, tal que |f(x) – L|<ε sempre que 0 <|x – a|<δ.
Exemplo
Dada a função f(x) = 7x + 5, mostre que
| lim | (7x + 5) | = 19 |
| x→2 |
usando a definição.
Pela definição de limite devemos ter satisfeitas as seguintes inequações |f(x) – L|<ε e 0 <|x – a|<δ.
Então, temos que:
|7x + 5 – 19|<ε e 0 <|x – 2|<δ
|7x -14|<ε
|7(x – 2)|<ε
7|x – 2|<ε
|
|
|
|
Estamos então diante do intervalo de x. Logo, x deverá estar no intervalo
|
Propriedades dos limites
O uso da definição de limite muitas vezes torna o processo do cálculo bastante trabalhoso. Seguem abaixo as principais propriedades de limites:
| a) |
|
||||||||||||||
| b) |
|
||||||||||||||
| c) |
|
||||||||||||||
| d) |
|
||||||||||||||
| e) |
|
||||||||||||||
| f) |
|
||||||||||||||
| g) |
|
||||||||||||||
| h) |
|
||||||||||||||
| i) |
|
||||||||||||||
| j) |
|
||||||||||||||
| l) |
|
||||||||||||||
| m) |
|
Limites laterais
Já conhecemos a definição:
| lim | f(x) | = L |
| x→a |
Mas o que isso quer dizer? Para que um limite exista é necessário que os limites laterais existam e sejam iguais.
Suponhamos que o limite de f(x) quando x tende ao valor a pela esquerda seja L1.
| lim | f(x) | = L1 |
| x→a– |
Agora suponhamos que o limite de f(x) quando x tende ao valor a pela direita seja L2.
| lim | f(x) | = L2 |
| x→a+ |
Se L1 e L2 são números reais e iguais, ou seja, L1 = L2, então o limite de f(x) quando x tende ao valor a existe. Porém, se os valores dos limites laterais forem diferentes o limite não existe.
Vamos ver um exemplo. Seja a função f(x) representada pelo gráfico abaixo:
Note que os pontos (1,2) e (3,2) foram retirados ficando um buraco. Porém a função está definida nestes pontos, já que f(1) = 1 e f(3) = 3. Veja que o limite f(x) quando x tende a 1 pela esquerda ou pela direita vale 2.
| lim | f(x) | = | lim | f(x) | = 2 |
| x→1– | x→1+ |
Por outro lado veja o que acontece quando x tende a 3.
| lim | f(x) | = ∄ |
| x→3 |
Pelo gráfico é possível notar que:
| lim | f(x) | ≠ | lim | f(x) |
| x→3– | x→3+ |
Indeterminações
Estamos cientes de que dependendo da situação:
| lim | f(x) | = f(a) |
| x→a |
Porém, nem sempre obtemos um valor aceitável quando realizamos a substituição de x por a. Pode ocorrer de nos depararmos com valores indeterminados, que, nesse contexto, são os seguintes:
|
; | 0•(±∞) | ; |
|
; | ∞ – ∞ |
00; 1∞ e ∞0
Para encontrarmos de forma correta o limite procurado será necessário o uso de simplificações ou algebrismos para eliminarmos a indeterminação.
Exemplo 1
Encontre o limite das funções abaixo:
| a) | lim |
|
||
| x→2 |
| b) | lim |
|
||
| x→0 |
| c) | lim |
|
||
| x→1 |
| d) | lim |
|
||
| x→0 |
| a) | lim |
|
||
| x→2 |
| lim |
|
= |
|
||||
| x→2 |
Nos deparamos com uma indeterminação. Para eliminarmos este problema vamos analisar a função racional. O denominador e o numerador são dois polinômios. Usando o método da fatoração chegamos ao seguinte resultado:
| lim |
|
= |
|
||||
| x→2 |
O que resulta em:
| lim | x + 2 | = | 4 |
| x→2 |
| b) | lim |
|
||
| x→0 |
| lim |
|
||
| x→0 |
| lim |
|
= |
|
||||
| x→0 |
Para levantarmos a indeterminação vamos multiplicar numerador e denominador por √(x + 2) + √2, ou conjugado, obtendo:
| √(x + 2) – √2 | • | √(x + 2) + √2 |
| x | √(x + 2) + √2 |
| x + 2 – 2 | = | x |
| x(√(x + 2) + √2) | x(√(x + 2) + √2) |
| 1 |
| √(x + 2) + √2 |
Agora calculamos o limite
| lim |
|
||
| x→0 |
| lim |
|
= |
|
= |
|
||||||
| x→0 |
| c) | lim |
|
||
| x→1 |
| lim |
|
= |
|
||||
| x→1 |
A(x) = x³ – 4x² – 7x + 10 e B(x) = x² + 2x – 3 são polinômios. Estes retornaram zero quando a variável x foi substituída por 1. Pelo teorema do resto, isso quer dizer que tanto A(x) quanto B(x) são divisíveis por (x – 1). Portanto:
| lim |
|
||||||
| x→1 |
| lim |
|
||
| x→1 |
| lim |
|
= |
|
= | -3 | ||||
| x→1 |
| d) | lim |
|
||
| x→0 |
| lim |
|
= |
|
= |
|
||||||
| x→0 |
| (x + 2)² – 4 | = | x² + 4x + 4 – 4 |
| x | x |
| x² + 4x | = | x(x + 4) | = | x + 4 |
| x | x |
| lim | x + 4 | = | 4 |
| x→0 |
Limites no infinito
| lim | f(x) | = L |
| x→+∞ |
O limite de f(x) quando x → +∞ é L, quando L satisfaz a condição:
Para qualquer ε > 0, existe um δ > 0 desde que |f(x) – L| < ε sempre que x > δ.
| lim | f(x) | = L |
| x→-∞ |
O limite de f(x) quando x → +∞ é L, quando L satisfaz a condição:
Para qualquer ε > 0, existe um δ < 0 desde que |f(x) – L| < ε sempre que x < δ.
Exemplo 1
Determinar o limite:
| lim |
|
||
| x→+∞ |
Vamos reescrever o limite acima como uma divisão de duas funções.
| lim |
|
||
| x→+∞ |
O limite de h(x) = 2x + 7 quando x tende a infinito é +∞.
| lim | 2x + 7 | = | +∞ |
| x→+∞ |
O mesmo acontece para a função g(x) = x – 3.
| lim | x – 3 | = | +∞ |
| x→+∞ |
Portanto, no limite original encontraríamos uma indeterminação.
| lim |
|
= |
|
||||
| x→+∞ |
Note que o termo que “rege” o numerador da função é o de maior grau, ou seja, 2x, e o termo que “rege” o denominador da função é o de maior grau, ou seja, x. Podemos assim reescrever o limite.
| lim |
|
= | 2 | ||
| x→+∞ |
Exemplo 2
Determinar o limite:
| lim |
|
||
| x→ – ∞ |
Podemos reescrever o limite como:
| lim |
|
||
| x→ – ∞ |
| lim |
|
||
| x→ – ∞ |
|
lim |
|
= |
|
* | 0 | = 0 | ||||||
| x→ – ∞ |
Exemplo 3
Determinar o limite:
| lim |
|
||
| x→ + ∞ |
Para resolvermos esse limite precisaremos simplificar a expressão. Vamos dividir o numerador e o denominador por x.
| lim |
|
||
| x→ + ∞ |
O x aparece elevado ao quadrado dentro da raiz, porque x = √x².
| lim |
|
||
| x→ + ∞ |
O termo
|
e |
|
tendem a zero quando x tende a infinito.
| lim |
|
= |
|
= √2 | ||||
| x→ + ∞ |
Derivadas
O que você vai estudar:
- Conceito de derivada
- Tabela de derivadas
- Derivadas de funções simples de uma variável
- Regra da cadeia
- Derivadas de funções compostas de uma variável
- Regra de L’hopital
- Crescimento e decrescimento de funções
- Pontos de máximo e pontos de mínimo
- Concavidades
- Aplicações das derivadas
- Derivadas parciais
Conceito de derivada
O conceito de derivada é bastante discutido no ensino superior. E o mais empolgante neste assunto é a sua infinidade de aplicações. Em termos simples, a derivada é uma razão, como, por exemplo, quilômetros por hora, litros por minuto ou lucro por item.
|
, |
|
, |
|
Generalizando, podemos dizer que derivada é uma razão do tipo:
| derivada | = |
|
| derivada | = |
|
= |
|
Quando efetuamos esse tipo de operação obtemos como resultado o coeficiente angular da reta, ou valor de m na função f(x) = mx + n.
Perceba que na função mostrada no gráfico acima, a derivada, ou o coeficiente angular da reta é sempre o mesmo em qualquer ponto da função. Mas, não podemos afirmar o mesmo quando a função apresentada é uma curva. Quando a função for uma curva, a derivada assumirá diferentes valores para diferentes pontos. Em alguns pontos ela terá valor positivo, noutros negativo ou nulo e em determinados pontos a derivada sequer existirá.
Portanto, a derivada da função no gráfico acima vale:
| m | = |
|
= | 1 |
O valor encontrado coincide com o valor de m na função f(x) = x + 2. Nesta função o coeficiente angular vale 1, onde m = coeficiente angular.
Veja na imagem abaixo como a curva f(x) = – x² + x + 6 apresenta derivadas diferentes para pontos distintos.
Vamos então encontrar o valor da derivada no ponto P da função f(x) = – x² + x + 6. Esta curva é uma parábola com concavidade voltada para baixo.
Encontrar a derivada significa encontrar a inclinação da reta no ponto solicitado.
Nossa intenção é encontrar o valor da derivada no ponto P. Portanto, vamos fixar este ponto. Agora escolhemos na curva o ponto Q, móvel. Deste momento em diante temos uma reta secante à curva e dois pontos destacados nessa reta. Da geometria analítica temos que a inclinação de uma reta pode ser calculada como:
| m | = |
|
ou
| tgθ | = |
|
Portanto, supondo o ponto P fixo, imagine que o ponto Q se move em direção ao ponto P. A medida que Q se move em direção a P a reta secante passa a se transformar em uma reta tangente. Veja na figura G.
Logo, quando o ponto Q tende para o ponto P, x2 tende para x1.
É possível formalizar algebricamente o que observamos na figura G conforme abaixo:
| lim |
|
= | lim |
|
||||
| Q→P | x2 → x1 |
Fazendo Δx = x2 – x1 e isolando x2 temos: x2 = x1 + Δx. Portanto, podemos reescrever o limite como:
| m(x1) | = | lim |
|
||
| Δx → 0 |
Sendo m(x1) a inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto P.
Exemplo 1
Determinar a reta tangente à curva y = x² + x – 1 no ponto P(1,1).
Pela definição podemos encontrar a inclinação da reta tangente à curva através da fórmula:
| m(x1) | = | lim |
|
||
| Δx → 0 |
Em que x1 = 1. Devemos encontrar os valores de f(1) e f(1 + Δx).
f(x) = x² + x – 1
f(1) = 1² + 1 – 1
f(1) = 1
f(1 + Δx) = (1 + Δx)² + 1 + Δx – 1
f(1 + Δx) = 1 + 2Δx + (Δx)² + 1 + Δx – 1
f(1 + Δx) = 1 + 3Δx + (Δx)²
Em seguida, aplicamos os valores encontrados na fórmula do limite.
| m(1) | = | lim |
|
||
| Δx → 0 |
| m(1) | = | lim |
|
||
| Δx → 0 |
| m(1) | = | lim |
|
||
| Δx → 0 |
| m(1) | = | lim |
|
||
| Δx → 0 |
| m(1) | = | lim |
|
|
| Δx → 0 |
| m(1) | = | lim |
|
|||
| Δx → 0 |
Portanto, a inclinação da reta à curva no ponto solicitado é igual a 3.
Exemplo 2
Encontrar a equação da reta tangente à curva y = √x no ponto x = 4.
A geometria analítica nos fornece a fórmula y – f(x1) = m(x – x1) para encontrar a equação da reta.
Visto que m é a inclinação da reta, vamos encontrá-lo através da fórmula do limite.
| m(x1) | = | lim |
|
||
| Δx → 0 |
| m(4) | = | lim |
|
||
| Δx → 0 |
f(x) = √x
f(4) = √4
f(4) = 2
f(4 + Δx) = √(4 + Δx)
| m(4) | = | lim |
|
||
| Δx → 0 |
| m(4) | = | lim |
|
||
| Δx → 0 |
Vamos multiplicar o numerador e o denominador √(4 + Δx) + 2.
√(4 + Δx) + 2 é o conjugado de √(4 + Δx) – 2.
| m(4) | = | lim |
|
|||||
| Δx → 0 |
| m(4) | = | lim |
|
||
| Δx → 0 |
| m(4) | = | lim |
|
||
| Δx → 0 |
| m(4) | = | lim |
|
||
| Δx → 0 |
| m(4) | = | lim |
|
|||||
| Δx → 0 |
Agora que encontramos o valor de m, podemos substituí-lo na fórmula y – f(x1) = m(x – x1).
| y | – | f(4) | = |
|
(x – 4) |
| y | – | 2 | = |
|
(x – 4) |
| y | = |
|
(x – 4) | + | 2 |
| y | = |
|
+ | 1 |
Portanto, a equação da reta procurada é:
| y | = |
|
+ | 1 |
A derivada de uma função num ponto
A derivada de uma função f(x) no ponto a, denotada por f'(a) é definida pelo limite
| f'(a) | = | lim |
|
||
| Δx → 0 |
Também podemos escrever
| f'(a) | = | lim |
|
||
| b → a |
Como visto, este limite nos dá a inclinação da reta tangente à curva f(x) no ponto (a,f(a)). Logo, geometricamente, o que tem-se é a inclinação da curva f(x) no ponto a. Dizemos que uma função é derivável quando existe a derivada em todos os pontos do seu domínio.
Tabela de derivadas
Seja f(x) uma função derivável. Além disso, seja n uma constante. Seguem abaixo as principais fórmulas de derivação.
|
|
y = k ⇒ y’ = 0 | ||||||
|
|
y = xn ⇒ y’ = n * xn – 1 | ||||||
|
|
y = ex ⇒ y’ = ex | ||||||
|
|
y = senx ⇒ y’ = cosx | ||||||
|
|
y = cosx ⇒ y’ = -senx | ||||||
|
|
y = tgx ⇒ y’ = sec²x | ||||||
|
|
y = cotgx ⇒ y’ = -cossec²x | ||||||
|
|
y = secx ⇒ y’ = secx.tgx | ||||||
|
|
y = cossecx ⇒ y’ = -cossecx.cotgx | ||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
||||||
|
|
y = ax ⇒ y’ = ax.ln(a) | ||||||
|
|
|
Sejam u(x) e v(x) funções deriváveis. Além disso, sejam a e n constantes. Seguem abaixo as principais fórmulas de derivação.
|
|
y = a ⇒ y’ = 0 | |||||||
|
|
y = x ⇒ y’ = 1 | |||||||
|
|
y = a * u ⇒ y’ = a * u’ | |||||||
|
|
y = u + v ⇒ y’ = u’ + v’ | |||||||
|
|
y = u * v ⇒ y’ = u * v’ + v * u’ | |||||||
|
|
|
|||||||
|
|
y = un, (n ≠ 0) ⇒ y’ = n * un – 1 * u’ | |||||||
|
|
y = au ⇒ y’ = au * ln(a) * u’ | |||||||
|
|
y = eu ⇒ y’ = eu * u’ | |||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||
|
|
y = sen(u) ⇒ y’ = cos(u) * u’ | |||||||
|
|
y = cos(u) ⇒ y’ = -sen(u) * u’ | |||||||
|
|
y = tg(u) ⇒ y’ = sec²(u) * u’ | |||||||
|
|
y = cotg(u) ⇒ y’ = -cossec²(u) * u’ | |||||||
|
|
y = sec(u) ⇒ y’ = sec(u)*tg(u) * u’ | |||||||
|
|
y = cossec(u) ⇒ y’ = -cossec(u)*cotg(u) * u’ |
Derivadas de funções simples de uma variável
O cálculo de derivadas pelo processo de limites se torna bastante trabalhoso e demorado. Por isso, criou-se técnicas ágeis para facilitar os cálculos. Você pode recorrer à Tabela de derivadas e utilizar a regra mais adequada ao seu problema.
Exemplo 1
Encontre a derivada da função f(x) = x5.
Regra utilizada:
f(x) = xn
f'(x) = n * xn – 1
f(x) = x5
f'(x) = 5 * x5- 1
f'(x) = 5x4
Exemplo 2
Encontre a derivada da função f(x) = x5/6.
Regra utilizada:
f(x) = xn
f'(x) = n * xn – 1
f(x) = x5/6
f'(x) = 5/6 * x5/6 – 1
f'(x) = 5/6 * x– 1/6
| f'(x) | = |
|
| f'(x) | = |
|
= |
|
Exemplo 3
Encontre a derivada da função:
| f(x) | = |
|
Regra utilizada:
f(x) = xn
f'(x) = n * xn – 1
A função do problema pode ser reescrita como f(x) = x-5
f(x) = x-5
f'(x) = -5* x-5 – 1
f'(x) = -5* x-6
| f'(x) | = |
|
Exemplo 4
Encontre a derivada da função f(x) = √x.
Regra utilizada:
f(x) = xn
f'(x) = n * xn – 1
A função do problema pode ser reescrita como f(x) = x1/2
f(x) = x1/2
f'(x) = 1/2 * x1/2 – 1
f'(x) = 1/2 * x– 1/2
| f'(x) | = |
|
= |
|
Exemplo 5
Encontre a derivada da função h(x) = 4x³ – x² + 3x – 2.
h(x) = 4x³ – x² + 3x – 2
h'(x) = 4 * 3x² – 2x + 3 – 0
h'(x) = 12x² – 2x + 3
Exemplo 6
Encontre a derivada da função f(x) = (3x² + x)(4 – x4).
A função f(x) = (3x² + x)(4 – x4) é uma multiplicação de duas funções h(x) = (3x² + x) e g(x) = (4 – x4).
f(x) = h(x)g(x)
f'(x) = h(x)g'(x) + h'(x)g(x)
f'(x) = (3x² + x)(4 – x4)’ + (3x² + x)'(4 – x4)
f'(x) = (3x² + x)(-4x³) + (6x + 1)(4 – x4)
f'(x) = -4x³(3x² + x) + (24x – 6x5 + 4 – x4)
f'(x) = – 12x5 – 4x4 + 24x – 6x5 + 4 – x4
f'(x) = – 18x5 – 5x4 + 24x + 4
Exemplo 7
Encontre a derivada da função:
| f(x) | = |
|
A função f(x) é a divisão de duas funções h(x) e g(x).
| f(x) | = |
|
| f'(x) | = |
|
| f'(x) | = |
|
| f'(x) | = |
|
| f'(x) | = |
|
| f'(x) | = |
|
Exemplo 8
Encontre a derivada da função f(x) = 5tgx + 3senx.
Na função f(x) = 5tgx + 3senx temos as constantes 5 e 3 que multiplicam as funções tgx e senx, respectivamente.
A derivada da função tgx é sec²x e a derivada da função senx é cosx. Logo, f'(x) = 5sec²x + 3cosx.
Exemplo 9
Encontre a derivada da função:
| f(x) | = |
|
– | 2 lnx | + | 5 arccosx |
A função pode ser reescrita como:
f(x) = 3x-1 – 2lnx + 5arccosx
f'(x) = -3x-2 – 2(1/x) + 5(-1/(√(1 – x²)))
| f'(x) | = |
|
– |
|
– |
|
Exemplo 10
Encontre a derivada da função f(x) = 3x + arctgx.
Regras utilizadas:
h(x) = ax
h'(x) = axlna
g(x) = arctgx
| g'(x) | = |
|
| f'(x) | = | 3xln3 | + |
|
Derivadas de funções trigonométricas
Encontrar a derivada de uma função trigonométrica não é um trabalho muito simples. Por isso, vamos recuperar alguns conceitos iniciais com a finalidade de facilitar esse processo. Consideremos o círculo de raio unitário abaixo.
Na figura o segmento BC = senx e o segmento OC = cosx. Note que quando x tende a zero, senx tende a zero e cosx tende a 1.
Em termos de limites podemos dizer que:
| lim | senx | = 0 |
| x → 0 |
| lim | cosx | = 1 |
| x → 0 |
Note também que o arco AB é maior do que o segmento BC. Você deve ter aprendido em séries anteriores que a relação entre o ângulo x e o arco AB é:
| x | = |
|
Como no círculo trigonométrico o raio vale 1, o ângulo x é numericamente igual ao arco AB. Daí tem-se:
0 < BC < AB
Visto que, senx = BC, tem-se:
0 < senx < x