Livro de Matemática
Sumário
Regra de L’Hopital
A regra de L’Hopital usa derivadas como estratégia para facilitar o cálculo de limites. Com ela é possível eliminar facilmente as indeterminações encontradas.
Considere duas funções f(x) e g(x).
| lim | f(x) | = 0 |
| x→a |
| lim | g(x) | = 0 |
| x→a |
Nesta situação ambas as funções possuem limite igual a zero quando x tende à a.
Logo, o limite de f(x)÷g(x) não conseguimos calcular de forma imediata. Necessitamos de uma ferramenta adicional para conseguirmos eliminar a indeterminação 0/0 encontrada.
| lim |
|
= |
|
||||||
| x→a |
Suponhamos que seja possível encontrar um valor L para o limite das derivadas f'(x) e g'(x). Se for possível, dizemos que L é também o limite do quociente das originais f(x) e g(x).
| lim |
|
= | L | |||
| x→a |
Exemplo 1
Encontre o limite de :
| lim |
|
|||
| x→0 |
Neste caso se apenas substituírmos os valores de x cairemos numa indeterminação.
| lim |
|
= |
|
||||||
| x→0 |
Para eliminarmos a indeterminação derivamos a função do numerador e do denominador.
| lim |
|
|||
| x→0 |
| lim |
|
|||
| x→0 |
| lim |
|
|||
| x→0 |
| lim |
|
= |
|
||||||||||
| x→0 |
Exemplo 2
Calcular o limite abaixo:
| lim |
|
|||
| x→1 |
Se fizermos as substuições de forma direta vamos nos deparar com a indeterminação 0/0.
Para contornármos a situação vamos aplicar a regra de L’Hopital derivando as duas funções: ln x e 3x – 3.
| lim |
|
|||
| x→1 |
| lim |
|
|||
| x→1 |
| lim |
|
= |
|
|||||||||
| x→1 |
Derivadas sucessivas
A ideia de derivadas sucessivas é bastante natural e não trará nenhuma dificuldade adicional.
Definição
Seja f(x) uma função derivável. Ao derivármos f(x), encontramos f'(x). Assim fica definida uma nova função f'(x). E a partir desta podemos derivar novamente, chegando em f”(x)(lê-se f-duas linhas de x). f”(x) é a derivada segunda de f(x). Também é possível escrevermos
|
Lê-se derivada segunda de f em relação a x.
Exemplo 1
Encontre a derivada de segunda ordem da função f(x) = 3x² + 8x + 1.
Função: f(x) = 3x² + 8x + 1
Derivada primeira: f'(x) = 6x + 8
Derivada segunda: f”(x) = 6
Exemplo 2
Determinar a derivada de segunda ordem da função f(x) = ³√(4 – x³).
A função f(x) = ³√(4 – x³) pode ser reescrita como f(x) = (4 – x³)1/3
Função: f(x) = (4 – x³)1/3
Derivada primeira:
f'(x) = 1/3(4 – x³)1/3 – 1(4 – x³)’
f'(x) = 1/3(4 – x³)-2/3(-3x²)’
f'(x) = -x²(4 – x³)-2/3
Derivada segunda:
f”(x) = (-x²)((4 – x³)-2/3)’ + (4 – x³)-2/3(-x²)’
f”(x) = (-x²)(-2/3(4 – x³)-2/3 – 1(4 – x³)’) + (4 – x³)-2/3(-2x)
f”(x) = (-x²)(-2/3(4 – x³)-5/3(- 3x²)’) + (4 – x³)-2/3(-2x)
f”(x) = (-x²)(2x²(4 – x³)-5/3) + (4 – x³)-2/3(-2x)
f”(x) = (-2x4)(4 – x³)-5/3 + (4 – x³)-2/3(-2x)
Exemplo 3
Determinar a derivada de ordem n = 100 da função g(x) = cosx.
g(x) = cosx
g(1)(x) = – senx
g(2)(x) = – cosx
g(3)(x) = – (-senx) = senx
g(4)(x) = cosx
Na quarta derivada retornamos ao valor da função original. A cada 4 períodos as derivadas da função cosx se repete. Logo, g(4)(x) = g(8)(x) = g(12)(x) … g(100)(x) = cosx
Exemplo 4
Determinar a n-ésima derivada de f(x) = ex/2.
Função: f(x) = ex/2
Derivada primeira:
| f'(x) | = | ex/2 | ( |
|
)’ |
| f'(x) | = |
|
ex/2 |
Derivada segunda:
| f”(x) | = |
|
ex/2 | ( |
|
)’ |
| f”(x) | = |
|
ex/2 |
Se continuarmos derivando concluiremos que as derivadas sucessivas seguem à fórmula:
| f(n)(x) | = |
|
ex/2 |
Derivação implícita
Função na forma implícita
Compreender derivação implícita implica entender como uma função y = f(x) se apresenta a forma implícita.
y = f(x) está na forma explícita e F(x,y) = 0 está na forma implícita. Portanto, dizemos que uma função y = f(x) se encontra na forma implícita quando ao substituírmos y por f(x) em F(x,y) = 0, nos deparamos com uma identidade.
F(x,y) = 0 → forma implícita
Por exemplo:
a equação
| x2 | + |
|
y | – | 1 | = | 0 |
define implicitamente a função y = 2(1 – x2). Como prova, ao substituirmos y = f(x) em F(x,y) = 0 obtemos uma identidade.
| x2 | + |
|
2(1 – x2) | – | 1 | = | 0 |
Derivação de uma função na forma implícita
Vamos derivar a equação x² + y² = 9.
A obtenção da derivada da equação acima não nos impõe que a explicitemos.
(x²)’ + (y²)’ = 9′
2x + 2yy’ = 0
O termo y’ apareceu porque y é uma função de x, ou seja, y = f(x). Nessa situação precisamos aplicar a regra da cadeia, a derivada da função de dentro multiplicada pela derivada da função de fora.
Agora devemos isolar y’.
2yy’ = -2x
| y’ | = |
|
| y’ | = |
|
Exemplo 1
Sabendo que y = f(x) é definida pela equação xy² + 2y³ = x – 2y, determine y’.
(xy² + 2y³)’ = (x – 2y)’
(xy²)’ + (2y³)’ = (x)’ – (2y)’
x(y²)’ + x’.y² + 6y²y’ = 1 – 2*1*y’
x2yy’ + y² + 6y²y’ = 1 – 2y’
x2yy’ + 6y²y’ + 2y’ = 1 – y²
y'(2xy + 6y² + 2) = 1 – y²
| y’ | = |
|
Aplicações das derivadas
As aplicações do cálculo são fascinantes! Neste primeiro momento vamos observar como se comporta uma função com relação a crescimento, decrescimento, pontos de máximos e mínimos locais e/ou absolutos.
Vamos estudar a relação entre a derivada de uma função e o seu comportamento.
Crescimento e decrescimento
Vamos analisar como a função f(x) = x³ – 3x se comporta.
Etapa 1: calculamos a derivada da função. Em seguida igualamos a derivada a zero e resolvemos em função de x.
f(x) = x³ – 3x
f'(x) = 3x² – 3
3x² – 3 = 0
3x² = 3
x = ± 1
Os valores de x encontrados são os pontos críticos candidatos da função f(x) = x³ – 3x. Pelo gráfico da função fica perfeitamente determinado que o seu domínio é toda a reta real. Portanto, os pontos críticos encontrados são pontos de máximo/mínimo locais.
É importante salientar que uma curva terá retas tangentes horizontais em todos os pontos de mínimo e máximo locais(exceto nos vértices acentuados) e em todos os pontos de inflexão horizontais.
Etapa 2: fazemos o estudo do sinal da função derivada.
Note que a função derivada é positiva à esquerda e à direita das raízes; e negativa entre as raízes. A relação existente entre a função derivada e a função original é que onde a função derivada é positiva, a função original é crescente. O intervalo onde a função derivada é negativa, a função original é decrescente.
f'(x) > 0 ⇔ x < -1 ou x > 1
f'(x) < 0 ⇔ -1 < x < 1
Portanto, f(x) é crescente no intervalo (-∞,-1], descrescente no intervalo [-1,1] e crescente no intervalo [1;+∞).
Máximos e mínimos de uma função
Um ponto c pertencente ao domínio de uma função y = f(x), é dito ponto crítico de f(x) se f'(c) = 0 ou f'(c) não existir.
Ponto de máximo local: f(c) > f(x) numa vizinhança de c.
Ponto de máximo global: f(c) > f(x) em todo o domínio de f.
Ponto de mínimo local: f(c) < f(x) numa vizinhança de c.
Ponto de mínimo global: f(c) < f(x) em todo o domínio de f.
Calculemos os valores de f(x) para as abscissas -1 e 1 encontradas na primeira derivada.
f(-1) = (-1)³ – 3(-1)
f(-1) = -1 + 3 = 2
f(1) = (1)³ – 3(1)
f(1) = 1 – 3 = -2
Os pontos (-1,2) e (1,-2) são os pontos críticos de f(x). Para sabermos se estes pontos são de máximo ou de mínimo faremos o teste da segunda derivada.
f(x) = x³ – 3x
f'(x) = 3x² – 3 → derivada primeira
f”(x) = 6x
Fazendo o estudo do sinal da função f”(x) podemos concluir que f”(x) é positiva para todo x > 0 e negativa para todo x < 0.
Se f”(x) > 0, a concavidade do gráfico de f(x) é para cima, portanto um ponto de mínimo local.
Se f”(x) < 0, a concavidade do gráfico de f(x) é para baixo, portanto um ponto de máximo local.
Se f”(x) = 0, nada se pode concluir.
Para os valores críticos x = -1 e x = 1, tem-se:
f”(x) = 6x
f”(-1) = 6(-1) = -6 < 0, portanto um máximo local.
f”(1) = 6(1) = 6 > 0, portanto um mínimo local.
Derivadas parciais
Até o momento aprendemos a encontrar a derivada de funções de uma variável. A partir de agora vamos expandir esse conceito para funções de duas ou mais variáveis. Portanto, calcular a derivada de uma função do tipo z = f(x,y) requer duas etapas:
Etapa 1: derivamos em relação à variável x e mantemos a variável y fixada (tratando-a como constante).
Etapa 2: derivamos em relação à variável y e mantemos a variável x fixada (tratando-a como constante).
Por exemplo: Calcular as derivadas parciais da função f(x,y) = 2x²y + 3xy² – 4x.
|
(x,y) = | 4xy + 3y² – 4 |
Veja que a variável y foi tratada como constante.
|
(x,y) = | 2x² + 6xy |
Nesse momento a variável x foi tratata como constante.
Exemplo 1
Seja z = 2x² + 5y²x – 12x. Encontre a inclinação da reta tangente à curva C1 resultante da intersecção de z = f(x,y) com y = 1, no ponto (2,1,-6).
De acordo com o problema há uma intersecção da função z com o plano y = 1.
z = 2x² + 5y²x – 12x
z = g(x) = 2x² + 5(1)²x – 12x
z = g(x) = 2x² – 7x → C1
g'(x) = 4x – 7 ou
|
(x,y) = | 4x – 7 |
A inclinação da reta tangente à curva C1 é dada pela tgα.
| tgα = |
|
(2,1) = | 4(2) – 7 = 1 |
Logo, tgα = 1.
Integrais
O que você vai estudar:
- Aspectos iniciais
- Primitivas e integral indefinida
- Métodos de integração
– Integração por substituição
– Integração por partes
– Integração por frações parciais - Integral definida
- Integrais impróprias
- Integrais múltiplas
– Integrais duplas
– Regiões de integração
– Mudança de variável
– Integrais triplas
Aspectos iniciais
Antes de começarmos nosso estudo de integral vamos relembrar como calcular a área das figuras planas abaixo:
Para estas figuras já existem fórmulas prontas para calcular a sua área.
• Aretângulo = base * altura.
• Acírculo = πr².
• Atrapézio = [(B + b)h] / 2
Como calcular a área de uma região que não é comum? A função f(x) no gráfico abaixo está definida num intervalo [a,b]. Como calcular a área nesse intervalo? Para encontrar o valor de áreas de figuras incomuns como esta recorremos às integrais.
Vamos calcular a área da figura abaixo da função dada usando uma aproximação por retângulos. Nesta aproximação iremos particionar o intervalo [a,b] em n subintervalos. Inicialmente, faremos a aproximação da área por quatro retângulos, todos com a mesma largura.
Δx será a base de cada retângulo e a sua altura será o valor da função naquele ponto xi.
x1 = a + Δx
x2 = a + 2Δx
xn = a + nΔx
Para calcularmos a área aproximada da figura devemos somar a área de cada retângulo. Lembrando que quanto mais retângulos tivermos mais próximo da área real será o valor encontrado.
Sn = f(x1)Δx + f(x2)Δx + … + f(xn)Δx
| Sn | = |
n
∑
i = 1
|
f(xi)Δx |
| Sn = | lim |
n
∑
i = 1
|
f(xi)Δx |
| n→∞ |
Esta soma é chamada de soma de Riemann da função f(x).
Exemplo
Encontrar por aproximação a área da figura abaixo da função f(x) = -x² + 8x -7 e o eixo das abscissas.
• Aproximação por 3 retângulos:
| S3 | = |
3
∑
i = 1
|
f(xi)Δx |
S3 = f(x1)Δx + f(x2)Δx + f(x3)Δx
S3 = f(1,3)*1,8 + f(3,1)*1,8 + f(6,7)*1,8
S3 = 1,71*1,8 + 8,19*1,8 + 1,71*1,8
S3 ≅ 20,898
• Aproximação por 5 retângulos:
| S5 | = |
5
∑
i = 1
|
f(xi)Δx |
S5 = f(x1)Δx + f(x2)Δx + f(x3)Δx + f(x4)Δx + f(x5)Δx
S5 = f(1,5)*1 + f(2,5)*1 + f(3,5)*1 + f(5,5)*1 + f(6,5)*1
S5 = 2,75*1 + 6,75*1 + 8,75*1 + 6,75*1 + 2,75*1
S5 ≅ 27,75
• Aproximação por 15 retângulos:
| S15 | = |
5
∑
i = 1
|
f(xi)Δx |
S15 = f(x1)Δx + f(x2)Δx + f(x3)Δx + … + f(x15)Δx
S15 = f(1,45)*0,34 + f(1,79)*0,34 + f(2,13)*0,34 + … + f(6,21)*0,34
S15 = 2,4975*0,34 + 4,1159*0,34 + 5,5031*0,34 + … + 4,1159*0,34
S15 ≅ 34,74
A área exata da figura pode ser encontrada através da Integral Definida da função f(x). Veremos mais a frente sobre este assunto.
| ∫ | b | f(x)dx |
| a |
No momento, o que podemos saber é que a área exata da figura é de 36 u.a. E quanto mais retângulos utilizamos mais próximo chegamos desse valor.
| ∫ | 7 | (-x² + 8x – 7)dx |
| 1 |
Primitiva e integral indefinida
Dada uma função ƒ:]a,b[→ ℝ, uma primitiva de ƒ (ou antiderivada) é uma função F:]a,b[ → ℝ tal que F'(x) = f(x).
Podemos pensar na integração como o processo inverso da derivação.
No capítulo anterior estudamos sobre Derivadas e aprendemos várias técnicas de manipulação de funções. Para entendermos o esquema acima vamos admitir a função F(x) = x² + 4x. Se derivarmos F(x) – (F'(x)) – chegaremos na função f(x) = 2x + 4. Portanto, se quisermos agora fazer o processo de volta devemos integrar.
| ∫ | (2x + 4)dx | = | ∫ | 2xdx | + | ∫ | 4dx | |||
| ∫ | (2x + 4)dx | = | 2 | ∫ | xdx | + | 4 | ∫ | dx | |||
| 2 |
|
+ | 4 | x |
F(x) = x² + 4x
Nesse caso em particular encontramos exatamente a função primitiva que originou a função f(x). Mas, note que se F(x) foi qualquer uma das funções mostradas abaixo, ao derivarmos chegaríamos na mesma f(x).
F(x) = x² + 4x + 3 → F'(x) = 2x + 4
F(x) = x² + 4x + 7 → F'(x) = 2x + 4
F(x) = x² + 4x + k → F'(x) = 2x + 4
Isso ocorre porque a derivada de uma constante é igual a zero. A fórmula abaixo mostra a integral indefinida de uma função f(x).
| ∫ | f(x)dx | = | F(x) + C | |
Tabela de Integrais
Na tabela abaixo u é uma função derivável em x e C, m e a são constantes.
|
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|||||||||||||||||
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|||||||||||||||||
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|
(m é constante ≠ -1) |
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|||||||||||||||||
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|||||||||||||||||
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|||||||||||||||||
|
|
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|||||||||||||||||
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Integrais simples – diretas da tabela
Os exemplos abaixo podem ser resolvidos verificando a tabela de integrais neste capítulo.
Exemplo 1
Resolva:
| ∫ | (x-3 + x³)dx | |
| ∫ | x-3dx | + | ∫ | x³dx | ||
Vamos utilizar a regra:
| ∫ | xn dx | = |
|
+ | C | |||
|
+ |
|
+ | C |
|
+ |
|
+ | C |
| – |
|
+ |
|
+ | C |
Exemplo 2
Resolva:
| ∫ | (5sec²x + 3senx)dx | |
Vamos utilizar duas propriedades da tabela:
| I) | ∫ | sec² x dx | = | tg x + C | |
| II) | ∫ | sen x dx | = | -cos x + C | |
| ∫ | 5sec²x dx | + | ∫ | 3senx dx | ||
| 5 | ∫ | sec²x dx | + | 3 | ∫ | senx dx | ||
5tgx – 3cosx + C
Exemplo 3
Resolva:
| ∫ |
|
– | x | + | cossec²x | dx | |||
Neste exemplo necessitaremos de três propriedades da tabela de integrais.
| I) | ∫ |
|
= | ln|x| + C | |||
| II) | ∫ | xn dx | = |
|
+ | C | |||
| III) | ∫ | cosecx² x dx | = | -cotg x + C | |
| ∫ |
|
– | x | + | cossec²x | dx | |||
| ln|x| | – |
|
– | cotg x | + | C |
Exemplo 4
Resolva:
| ∫ |
|
dx | |||
Vamos utilizar a regra abaixo:
| ∫ |
|
= | arcsen |
|
+ C | |||||
| ∫ |
|
dx | |||
| 5 | ∫ |
|
|||
| ∫ |
|
= | 5arcsen |
|
+ C | |||||
Exemplo 5
Resolva:
| ∫ | (-3 + 2x)dx | |
Para esse exercício vamos utilizar as duas regras abaixo:
| I) | ∫ | dx | = | x + C | |
| II) | ∫ | ax dx | = |
|
+ | C | |||
| ∫ | -3dx | + | ∫ | 2xdx | ||
| – | 3x | + |
|
+ | C |