Derivadas parciais

Até o momento aprendemos a encontrar a derivada de funções de uma variável. A partir de agora vamos expandir esse conceito para funções de duas ou mais variáveis. Portanto, calcular a derivada de uma função do tipo z = f(x,y) requer duas etapas:

Etapa 1: derivamos em relação à variável x e mantemos a variável y fixada (tratando-a como constante).
Etapa 2: derivamos em relação à variável y e mantemos a variável x fixada (tratando-a como constante).

Por exemplo: Calcular as derivadas parciais da função f(x,y) = 2x²y + 3xy² – 4x.

δf

δx

(x,y) =

4xy + 3y² – 4

Veja que a variável y foi tratada como constante.

δf

δy

(x,y) =

2x² + 6xy

Nesse momento a variável x foi tratata como constante.

Exemplo 1

Seja z = 2x² + 5y²x – 12x. Encontre a inclinação da reta tangente à curva C₁ resultante da intersecção de z = f(x,y) com y = 1, no ponto (2,1,-6).

De acordo com o problema há uma intersecção da função z com o plano y = 1.

z = 2x² + 5y²x – 12x
z = g(x) = 2x² + 5(1)²x – 12x
z = g(x) = 2x² – 7x → C₁

g'(x) = 4x – 7 ou

δf

δx

(x,y) =

4x – 7

A inclinação da reta tangente à curva C₁ é dada pela tgα.

tgα =

δf

δx

(2,1) =

4(2) – 7 = 1

Logo, tgα = 1.

Integrais

O que você vai estudar:

Aspectos iniciais
Primitivas e integral indefinida
Métodos de integração
– Integração por substituição
– Integração por partes
– Integração por frações parciais
Integral definida
Integrais impróprias
Integrais múltiplas
– Integrais duplas
– Regiões de integração
– Mudança de variável
– Integrais triplas

Aspectos iniciais

Antes de começarmos nosso estudo de integral vamos relembrar como calcular a área das figuras planas abaixo:

Gráfico exibindo o desenho de um retângulo — Figura A: Conjunto de pontos formando um retângulo.

Gráfico exibindo o desenho de uma circunferência — Figura B: Uma circunferência traçada no plano cartesiano.

Gráfico exibindo o desenho de um trapézio. — Figura C: Um trapézio traçado no plano cartesiano.

Para estas figuras já existem fórmulas prontas para calcular a sua área.

• A_retângulo = base * altura.
• A_círculo = πr².
• A_trapézio = [(B + b)h] / 2

Como calcular a área de uma região que não é comum? A função f(x) no gráfico abaixo está definida num intervalo [a,b]. Como calcular a área nesse intervalo? Para encontrar o valor de áreas de figuras incomuns como esta recorremos às integrais.

Gráfico exibindo a área abaixo de uma função qualquer — Figura D: Área abaixo de uma função qualquer.

Vamos calcular a área da figura abaixo da função dada usando uma aproximação por retângulos. Nesta aproximação iremos particionar o intervalo [a,b] em n subintervalos. Inicialmente, faremos a aproximação da área por quatro retângulos, todos com a mesma largura.

Figura E: Aproximação da área da função por quatro retângulos.

Figura F: Aproximação da área da função por sete retângulos.

Δx será a base de cada retângulo e a sua altura será o valor da função naquele ponto x_i.

x₁ = a + Δx
x₂ = a + 2Δx

x_n = a + nΔx

Para calcularmos a área aproximada da figura devemos somar a área de cada retângulo. Lembrando que quanto mais retângulos tivermos mais próximo da área real será o valor encontrado.

S_n = f(x₁)Δx + f(x₂)Δx + … + f(x_n)Δx

S_n

=

n

∑

i = 1

f(x_i)Δx

S_n =	lim	n ∑ i = 1	f(x_i)Δx
	n→∞

Esta soma é chamada de soma de Riemann da função f(x).

Nota

Fazer a integração de f(x) de x = a até x = b significa encontrar a área sob a curva entre a e b.

A medida que a faixa fica cada vez mais estreita, obtém-se uma estimativa cada vez melhor da área da região sombreada. — Figura G: A integral acima diz para você somar as áreas de todas as faixas retangulares estreitas entre a e b sob a curva f(x).

Exemplo

Encontrar por aproximação a área da figura abaixo da função f(x) = -x² + 8x -7 e o eixo das abscissas.

Aproximação da área por três retângulos.

Aproximação da área por cinco retângulos.

Aproximação da área por quinze retângulos.

• Aproximação por 3 retângulos:

S₃

=

3

∑

i = 1

f(x_i)Δx

S₃ = f(x₁)Δx + f(x₂)Δx + f(x₃)Δx
S₃ = f(1,3)*1,8 + f(3,1)*1,8 + f(6,7)*1,8
S₃ = 1,71*1,8 + 8,19*1,8 + 1,71*1,8
S₃ ≅ 20,898

• Aproximação por 5 retângulos:

S₅

=

5

∑

i = 1

f(x_i)Δx

S₅ = f(x₁)Δx + f(x₂)Δx + f(x₃)Δx + f(x₄)Δx + f(x₅)Δx
S₅ = f(1,5)*1 + f(2,5)*1 + f(3,5)*1 + f(5,5)*1 + f(6,5)*1
S₅ = 2,75*1 + 6,75*1 + 8,75*1 + 6,75*1 + 2,75*1
S₅ ≅ 27,75

• Aproximação por 15 retângulos:

S₁₅

=

5

∑

i = 1

f(x_i)Δx

S₁₅ = f(x₁)Δx + f(x₂)Δx + f(x₃)Δx + … + f(x₁₅)Δx
S₁₅ = f(1,45)*0,34 + f(1,79)*0,34 + f(2,13)*0,34 + … + f(6,21)*0,34
S₁₅ = 2,4975*0,34 + 4,1159*0,34 + 5,5031*0,34 + … + 4,1159*0,34
S₁₅ ≅ 34,74

A área exata da figura pode ser encontrada através da Integral Definida da função f(x). Veremos mais a frente sobre este assunto.

∫	b	f(x)dx

	a

No momento, o que podemos saber é que a área exata da figura é de 36 u.a. E quanto mais retângulos utilizamos mais próximo chegamos desse valor.

∫	7	(-x² + 8x – 7)dx

	1

Primitiva e integral indefinida

Dada uma função ƒ:]a,b[→ ℝ, uma primitiva de ƒ (ou antiderivada) é uma função F:]a,b[ → ℝ tal que F'(x) = f(x).

Podemos pensar na integração como o processo inverso da derivação.

Esquema representando o processo de derivação e integração — Figura A: Esquema explicativo do processo de derivação e integração.

No capítulo anterior estudamos sobre Derivadas e aprendemos várias técnicas de manipulação de funções. Para entendermos o esquema acima vamos admitir a função F(x) = x² + 4x. Se derivarmos F(x) – (F'(x)) – chegaremos na função f(x) = 2x + 4. Portanto, se quisermos agora fazer o processo de volta devemos integrar.

∫	(2x + 4)dx	=	∫	2xdx	+	∫	4dx

∫

(2x + 4)dx

=

2

∫

xdx

+

4

∫

dx

2

x²

2

+

4

x

F(x) = x² + 4x

Nesse caso em particular encontramos exatamente a função primitiva que originou a função f(x). Mas, note que se F(x) foi qualquer uma das funções mostradas abaixo, ao derivarmos chegaríamos na mesma f(x).

F(x) = x² + 4x + 3 → F'(x) = 2x + 4

F(x) = x² + 4x + 7 → F'(x) = 2x + 4

F(x) = x² + 4x + k → F'(x) = 2x + 4

Isso ocorre porque a derivada de uma constante é igual a zero. A fórmula abaixo mostra a integral indefinida de uma função f(x).

∫	f(x)dx	=	F(x) + C

Observação:

∫		f(x)dx

Representa uma família de funções. Enquanto

∫	b	f(x)dx

	a

Representa um número.

Tabela de Integrais

Na tabela abaixo u é uma função derivável em x e C, m e a são constantes.

∫	du	=	u + C

∫

du

u

=

ln|u| + C

∫

u^m du

=

u^{m + 1}

m + 1

+

C

(m é constante ≠ -1)

∫

a^u du

=

a^u

ln a

+

C

∫	e^u du	=	e^u + C

∫	sen u du	=	-cos u + C

∫	cos u du	=	sen u + C

∫	tg u du	=	ln\|sec u\| + C

∫	cotg u du	=	ln \|sen u\| + C

∫	cosec u du	=	ln \|cosec u – cotg u\| + C

∫	sec u du	=	ln \|sec u + tg u\| + C

∫	sec² u du	=	tg u + C

∫	cosec² u du	=	-cotg u + C

∫	sec u • tg u du	=	sec u + C

∫	cosec u • cotg u du	=	-cosec u + C

∫

du

√(a² – u²)

=

arcsen

u

a

+ C

∫

du

a² + u²

=

1

a

arctg

u

a

+ C

∫

du

u√(u² – a²)

=

1

a

arcsen|

u

a

|+ C

∫	senh u du	=	cosh u + C

∫	cosh u du	=	senh u + C

∫	sech² u du	=	tgh u + C

∫	cosech² u du	=	-cotgh u + C

∫	sech u • tgh u du	=	-sech u + C

∫	cosech u • cotgh u du	=	-cosech u + C

∫

du

√(u² ± a²)

=

ln|u + √u² ± a²| + C

∫

du

a² – u²

=

1

2a

ln|

u +a

u – a

| + C

∫

du

u √a² ± u²

=

–

1

a

ln|

a + √a² ± u²

u

| + C

Integrais simples – diretas da tabela

Os exemplos abaixo podem ser resolvidos verificando a tabela de integrais neste capítulo.

Exemplo 1

Resolva:

∫		(x^-3 + x³)dx

∫	x^-3dx	+	∫	x³dx

Vamos utilizar a regra:

∫

xⁿ dx

=

x^{n + 1}

n + 1

+

C

x^{-3 + 1}

-3 + 1

+

x^{3 + 1}

3 + 1

+

C

x^-2

-2

+

x⁴

4

+

C

–

1

2x²

+

x⁴

4

+

C

Exemplo 2

Resolva:

∫		(5sec²x + 3senx)dx

Vamos utilizar duas propriedades da tabela:

I)	∫	sec² x dx	=	tg x + C

II)	∫	sen x dx	=	-cos x + C

∫	5sec²x dx	+	∫	3senx dx

5	∫	sec²x dx	+	3	∫	senx dx

5tgx – 3cosx + C

Exemplo 3

Resolva:

∫

1

x

–

x

+

cossec²x

dx

Neste exemplo necessitaremos de três propriedades da tabela de integrais.

I)

∫

dx

x

=

ln|x| + C

II)

∫

xⁿ dx

=

x^{n + 1}

n + 1

+

C

III)	∫	cosecx² x dx	=	-cotg x + C

∫

1

x

–

x

+

cossec²x

dx

ln|x|

–

x²

2

–

cotg x

+

C

Exemplo 4

Resolva:

∫

5

√(9 – x²)

dx

Vamos utilizar a regra abaixo:

∫

dx

√(a² – x²)

=

arcsen

x

a

+ C

∫

5

√(3² – x²)

dx

5

∫

dx

√(3² – x²)

∫

5dx

√(3² – x²)

=

5arcsen

x

3

+ C

Exemplo 5

Resolva:

∫		(-3 + 2^x)dx

Para esse exercício vamos utilizar as duas regras abaixo:

I)	∫	dx	=	x + C

II)

∫

a^x dx

=

a^x

ln a

+

C

∫	-3dx	+	∫	2^xdx

–

3x

+

2^x

ln 2

+

C

Nota:

Quer saber se o resultado da integral deu certo? É só derivar o resultado obtido. Se você obtiver a função integrando está tudo certo.

Integrais simples – Diretas da tabela (II)

Os exemplos dessa seção são um pouco mais elaborados e exigem mais do seu raciocínio para resolvê-los. Em alguns momentos será necessário escrevermos as funções de uma outra forma com a finalidade de facilitar a resolução.

Exemplo 1

∫		√x dx

Vamos reescrever a integral como:

∫		x^½ dx

Agora aplicamos a regra

∫

xⁿ dx

=

x^{n + 1}

n + 1

+

C

∫

x^½ dx

=

x^{½ + 1}

½ + 1

+

C

∫

x^½ dx

=

x^3/2

3/2

+

C

∫

x^½ dx

=

2x^3/2

3

+

C

Exemplo 2

∫		(3 + x)² dx

Para resolvermos esta integral vamos inicialmente, desenvolvermos o termo (3 + x)².
(3 + x)² = (x + 3)² = x² + 2*x*3 + 3² = x² + 6x + 9. Colocamos o termo desenvolvido na integral.

∫		x² + 6x + 9 dx

x³

3

+

6

x²

2

+

9x

+

C

x³

3

+

3x²

+

9x

+

C

Exemplo 3

∫

5x – 9x⁵

x²

dx

Vamos reescrever a integral.

∫

5x

x²

–

9x⁵

x²

dx

∫

5

x

–

9x³

dx

∫

5

x

dx

–

∫

9x³dx

5

∫

1

x

dx

–

9

∫

x³dx

5ln|x|

–

9

x⁴

4

+

C

Exemplo 4

∫

³√

5

x²

+

cox

dx

Vamos reescrever a integral.

∫

5^1/3

(x²)^1/3

+

cox

dx

∫

5^1/3

x^2/3

dx

+

∫

cosx dx

∫	5^1/3 * x^-2/3	dx	+	∫	cosx dx

³√5	∫	x^-2/3	dx	+	∫	cosx dx

³√5

x^{-2/3 + 1}

-2/3 + 1

+

sen x

+

C

³√5

x^1/3

1/3

+

sen x

+

C

3³√5

³√x

+

sen x

+

C

Exemplo 5

∫

√x(

x

–

5

x

)dx

Devemos escrever a integral acima de forma que encontremos na tabela de integrais uma regra para resolvê-la.

∫	x½(x – 5x^-1)	dx

∫	x^3/2 – 5x^-1/2	dx

∫	x^3/2	dx	–	∫	5x^-1/2	dx

∫	x^3/2	dx	–	5	∫	x^-1/2	dx

x^{3/2 + 1}

3/2 + 1

–

5

x^{-1/2 + 1}

-1/2 + 1

+

C

x^5/2

5/2

–

5

x^1/2

1/2

+

C

2x^5/2

5

–

10

x^1/2

+

C

Exemplo 6

∫

x – 4

π

dx

∫

x

π

–

4

π

dx

∫

1

π

x

–

4

π

dx

∫

1

π

x

dx

–

∫

4

π

dx

1

π

∫

x

dx

–

4

π

∫

dx

1

π

x²

2

–

4

π

x

+

C

x²

2π

–

4x

π

+

C

Métodos de integração

Há casos em que não é possível resolvermos uma integral imediatamente, simplesmente verificando na tabela de integrais. É necessário fazermos algumas manipulações. A primeira técnica que veremos é conhecida como Integração por Substituição.

Integração por substituição

Exemplo 1

Resolva:

∫		√(2x + 1)dx

Vamos reescrever a integral.

∫		(2x + 1)^½dx

Note que se o expoente fosse 2 bastaria desenvolver o termo (2x + 1). Portanto, iremos realizar uma mudança de variável.

u(x) = 2x + 1
Agora vamos derivar u(x).

du

dx

=

(2x)’ + (1)’

du

dx

=

2

du = 2dx

dx

=

du

2

Fazemos a substituição na integral.

∫		(2x + 1)^½dx

Esta é a integral na variável x.

∫

(u)^½

du

2

Esta é a integral na variável u. Resolvendo em u, teremos:

1

2

∫

(u)^½

du

1

2

u^{½ + 1}

½ + 1

+

C

1

2

u^3/2

3/2

+

C

1

2

u^3/2

2

3

+

C

u^3/2

3

+

C

Devemos retornar para a variável x. Visto que u(x) = 2x + 1, tem-se:

(2x + 1)^3/2

3

+

C

Exemplo 2

Resolva:

∫

3x²

1 + x³

dx

Fazendo u = 1 + x³, logo du = 3x²dx

∫

du

u

Consultando a tabela de integrais encontraremos a regra

∫

dx

x

=

ln|x| + C

∫

du

u

=

ln|u| + C

Retornando para a variável x tem-se:

∫

3x²

1 + x³

dx

=

ln|1 + x³| + C

Exemplo 3

Resolva:

∫

5x³

(2x⁴ – 1)⁷

dx

5

∫

x³dx

(2x⁴ – 1)⁷

u = 2x⁴ – 1
du = 8x³dx

x³dx

=

du

8

5

∫

du

8

(u)⁷

5

∫

du

8(u)⁷

5

8

∫

du

(u)⁷

5

8

∫

u^-7du

5

8

u^{-7 + 1}

-7 + 1

+

C

5

8

u^-6

-6

+

C

-5

48u⁶

+

C

Retornando para a variável x tem-se:

-5

48(2x⁴ – 1)⁶

+

C

Exemplo 4

Resolva:

∫

8x

√(3x² + 5)

dx

8

∫

x

√(3x² + 5)

dx

u = 3x² + 5
du = 6xdx

xdx

=

du

6

8

∫

du

6

(u)½

dx

8

∫

du

6(u)½

8

6

∫

du

(u)½

4

3

∫

u^-1/2 du

4

3

u^{-1/2 + 1}

-1/2 + 1

+

C

4

3

u½

½

+

C

8

3

u½

+

C

8

3

(3x² + 5)½

+

C

Exemplo 5

Resolva:

∫		xcos x² dx

Exemplo 6

Resolva:

∫		sen(7x + π)dx

Exemplo 7

Resolva:

∫		sen(e^-2x + x³)dx

Exemplo 8

Resolva:

∫

dx

x² + 4x + 11

Integração por partes

Este método de integração é útil quando se deseja integrar o produto de duas funções.
Sejam as funções f(x) e g(x). Vamos seguir o raciocínio abaixo a fim de deduzirmos o método de integração por partes.

[f(x)•g(x)]’ = f(x)•g'(x) + g(x)•f'(x)
f(x)•g'(x) = [f(x)•g(x)]’ – g(x)•f'(x)

Integrando ambos os lados da igualdade obtém-se: ∫f(x)•g'(x)dx = ∫[f(x)•g(x)]’dx – ∫g(x)•f'(x)dx
∫f(x)•g'(x)dx = f(x)•g(x) – ∫g(x)•f'(x)dx

Para facilitar a visualização chamamos f(x) de u e g(x) de v.

∫	udv	=	uv	–	∫	vdu

Para facilitar o entendimento vamos aplicar essa fórmula em alguns exemplos.

Exemplo 1

Encontre:

∫		xe^x dx

A escolha de u e v deve ser feita de modo a facilitar a resolução da integral.

u = x → du = (x)’dx → du = dx
dv = e^x dx

v	=	∫	dv

v	=	∫	e^x dx	=	e^x + C

Agora aplicamos o que encontramos na fórmula.

∫	udv	=	uv	–	∫	vdu

∫	xe^xdx	=	xe^x	–	∫	e^xdx

∫	xe^xdx	=	xe^x	–	e^x	+	C

∫	xe^xdx	=	e^x(x – 1) + C

Exemplo 2

Encontre:

∫		(5x – 3)cosx dx

u = (5x – 3)
du = (5x – 3)’dx → du = 5dx

dv = cosx dx

v	=	∫	dv

v	=	∫	cosx dx

v	=	∫	cosx dx	=	sen x + C

∫	udv	=	uv	–	∫	vdu

∫	(5x – 3)coxdx	=	(5x – 3)senx	–	∫	(senx)5dx

∫	(5x – 3)coxdx	=	(5x – 3)senx	–	5	∫	senxdx

∫	(5x – 3)coxdx	=	(5x – 3)senx	–	5	(-cosx) + C

∫	(5x – 3)coxdx	=	(5x – 3)senx	+	5	cosx + C

Exemplo 3

Encontre:

∫		ln x dx

u = lnx

du

dx

=

1

x

du

=

1

x

dx

dv = dx

v	=	∫	dv

v	=	∫	dx	=	x + C

∫	udv	=	uv	–	∫	vdu

∫

lnxdx

=

(lnx)x

–

∫

x

1

x

dx

∫	lnxdx	=	xlnx	–	∫	dx

∫	lnxdx	=	xlnx	–	x + C

Exemplo 4

Encontre:

∫		x ln 2x dx

Exemplo 5

Encontre:

∫		√x lnx dx

Integral definida

A grande motivação para o desenvolvimento da Integral definida foi o cálculo de áreas, porém esse conceito se aplica a diversas situações.
A notação de Integral definida é dada por:

∫

b

f(x)dx

=

lim	n ∑ i = 1	f(C_i)Δx_i
Δx_i→0

a

Note que a e b se refere ao intervalo onde a função f(x) está definida. a e b são chamados de limites de integração; a é o limite inferior e b o limite superior.

Se o resultado da integral existir, podemos afirmar que a função f(x) é integrável no intervalo [a,b].

Propriedades:

•P1 a > b

∫	b	f(x)dx	=	–	∫	a	f(x)dx

	a					b

se a integral à direita existir.

• P2 a = b e f(a) existe.

∫	a	f(x)dx	=	0

	a

• P3

∫	b	Kf(x)dx	=	K	∫	b	f(x)dx

	a					a

• P4

∫	b	[f(x) + g(x)]dx	=	∫	b	f(x)dx	+	∫	b	g(x)dx

	a				a				a

Teorema fundamental do cálculo

Seja f um função contínua em [a,b] e se F é uma primitiva de f neste intervalo, então:

∫	b	f(x)dx	=	F(b) – F(a)

	a

Exemplo 1

Resolva:

∫	4	x²dx

	1

∫	4	x²dx	=	F(4) – F(1)

	1

Onde F(x) é a primitiva de f(x) = x².

∫

4

x²dx

=

x³

3

4

=

4³

3

–

1³

3

=

21

1

Livro de Matemática

Sumário

Exemplo 1

O que você vai estudar:

Exemplo

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3

Exemplo 4

Exemplo 5

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3

Exemplo 4

Exemplo 5

Exemplo 6

Integração por substituição

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3

Exemplo 4

Exemplo 5

Exemplo 6

Exemplo 7

Exemplo 8

Integração por partes

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3

Exemplo 4

Exemplo 5

Propriedades:

Exemplo 1