Livro de Matemática
Sumário
Equações diferenciais
O que você vai estudar:
- Introdução
- Soluções de equações diferenciais
- Introdução
- Introdução
Introdução
O que é uma equação
É importante termos bem definidos na mente alguns conceitos matemáticos antes de iniciarmos o assunto sobre equações diferenciais.
Uma equação é toda e qualquer expressão matemática composta de uma expressão algébrica e uma igualdade.
Por exemplo:
I) 3x + 1 = x + 7
II) 2y² – 3y + 7 = 0
Note que uma equação é semelhante a uma balança que deve sempre estar em equilíbrio, ou seja, a quantidade no lado esquerdo deve ser igual à quantidade do lado direito.
Equações diferenciais
Uma equação diferencial é uma equação que contem derivadas. Para resolver este tipo de problema é imprescindível os conhecimentos de derivadas, integrais e seus métodos de integração.
1. y’ – 2y = x + 2
2. y”’ – 2y” = √(x – 2) + 2
3. f'(x) = 3cosx + 5x
4. f”(x) = -2f'(x) + 3f(x) – senx
| 4. |
|
+ | y |
|
= | u |
| 5. |
|
+ | y |
|
= | 0 |
As equações diferenciais podem ser classificadas quanto ao tipo em ordinárias e parciais. As equações acima de 1 até 4 são do tipo ordinárias, pois possuem apenas uma variável independente. As equações 5 e 6 são do tipo parciais, já que apresentam duas variáveis independentes.
As equações diferenciais também podem ser classificadas quanto a ordem. Essa classificação leva em conta o grau da maior derivada presente na equação diferencial.
1. f'(x) + 2f(x) = 2ex
2. f”'(x) + x(f'(x))² = 0
| 3. |
|
+ | 5( |
|
)³ | – | 4y | = | ex |
A equação em (1) é de ordem 1, em (2) de ordem 3 e a equação em (3) é de ordem 2.
As equações diferenciais também podem ser classificadas quanto a sua linearidade. Uma equação diferencial linear obedece a seguinte forma:
| an(x) |
|
+ | an-1(x) |
|
+…+ | a1(x) |
|
+ | a0(x)y | = | g(x) |
| an(x) |
|
+ | an-1(x) |
|
+…+ |
| a1(x) |
|
+ | a0(x)y | = | g(x) |
Vejamos alguns exemplos:
1. (1-x)y” – 4xy’ + 5y = cosx
Equação diferencial linear de ordem 2
| 2. | x |
|
– | 2( |
|
)4 | + | y | = | 0 |
Equação diferencial não linear, pois possui uma derivada elevada à quarta potência.
3. y.y’ + 2y = 1 + x²
Equação diferencial não linear, pois possui um coeficiente dependente de y e não de x em y.y’.
4. x³y(4) – x²y” + 4xy’ – 3y = 0
Equação diferencial linear de ordem 4.
| 4. |
|
+ | 9y | = | sen y |
Equação diferencial não linear, pois sen y depende de y e não de x.
| 5. |
|
= |
|
Equação diferencial não linear, pois o segundo membro possui um coeficiente dependente de r e não de t.
Soluções de equações diferenciais
As soluções das equações diferenciais podem se apresentar de diversas formas. A solução de uma equação diferencial será sempre uma função f(x,y). Além disso, uma função f(x,y) será solução de uma equação diferencial quando ao ser substituída na equação diferencial, reduz a equação a uma identidade.
Por exemplo:
(1) y’’ – y’ = 2 – 2x
Essa equação diferencial diz que a segunda derivada de uma função (menos) a primeira derivada desta mesma função resulta em 2 – 2x. Que função é essa?
Note que derivando duas vezes obteve-se 2 e derivando uma vez obteve-se 2x. Para descobrirmos a função original, utilizamos a integração.
| ∫∫ | 2dx | – | ∫ | 2xdx | |
| ∫ | 2xdx | – | 2 |
|
+ | C | |||
| 2 |
|
+ | C1 | – | 2 |
|
+ | C2 |
Portanto, a função original é y = x² + C, sendo C uma constante arbitrária.
(2) yy’ + x = 0 tem como solução a função implícita x² + y² = C.
Fazendo a diferenciação implícita obtem-se:
x² + y² = C
(x²)’ + (y²)’ = (C)’
2x + 2yy’ = 0
2(x + yy’) = 0
x + yy’ = 0
yy’ + x = 0
Você percebeu? A solução em (1) foi y = x² + C e em (2) x² + y² = C. A solução de uma equação diferencial pode ser expressa explicitamente ou implicitamente bem como pode ser classificada em geral, particular ou singular.
y = x² + C é solução geral da equação diferencial y’’ – y’ = 2 – 2x. Isso quer dizer que y = x² + C faz parte de uma família de funções onde a constante arbitrária C pode assumir qualquer valor. Dada uma condição inicial onde y(0) = 4, obtem-se:
y(0) = 0² + C
4 = 0 + C
C = 4
Logo, obtemos y = x² + 4. Esta solução é chamada solução particular, visto ser a única que obedece a condição de passar pelo ponto (0,4).
Uma solução singular não possui relação alguma com a solução geral nem com a solução particular bem como não apresenta constantes arbitrárias. São poucas as equações que possuem esse tipo de solução.
Equações diferenciais de primeira ordem de variáveis separáveis
Seja a equação diferencial
|
(x) | = | F(x;y) |
Onde F(x;y) é uma função que depende da variável x e da própria função y.
No caso das equações de variáveis separáveis pode ocorrer as seguintes situações:
1° caso: As variáveis já se encontram separadas e portanto aplicamos os procedimentos de integração.
P(x)dx = Q(y)dy
| ∫ | P(x)dx | = | ∫ | Q(y)dy |
2° caso: As variáveis se encontram misturadas sendo necessário aplicar procedimentos algébricos para separá-las e em seguida as técnicas de integração.
P(x;y)dx + Q(x;y)dy = 0 → recebemos a equação nesse formato
P(x)dx = Q(y)dy → aplicamos procedimentos algébricos e chegamos neste formato
| ∫ | P(x)dx | = | ∫ | Q(y)dy |
Integramos ambos os lados e encontramos a solução.
Exemplo 1
Resolva a equação diferencial (x + 5)dx – (2 – y)dy = 0.
(x + 5)dx – (2 – y)dy = 0
(x + 5)dx = (2 – y)dy
P(x)dx = Q(y)dy
Veja que nesse caso, as variáveis já se encontram separadas. Portanto, já podemos integrar dos dois lados.
| ∫ | (x + 5)dx | = | ∫ | (2 – y)dy |
|
+ | 5x + C1 | = | 2y | – |
|
+ C2 |
x² + 10x + 2C1 = 4y – y² + 2C2
x² + y² + 10x – 4y = C, onde C = 2C1 – 2C2
Exemplo 2
Resolva a equação diferencial xcos(y) dy = (x + 1)sen(y) dx.
xcos(y) dy = (x + 1)sen(y) dx
Devemos separar as variáveis colocando o que tem x com dx e o que tem y com dy.
|
dy | = |
|
dx |
P(x)dx = Q(y)dy
A partir de agora integramos ambos os lados.
| ∫ |
|
dy | = | ∫ |
|
dx |
| ∫ | cotg(y) | dy | = | ∫ |
|
+ |
|
dx |
| ∫ | cotg(y) | dy | = | ∫ | 1 | + |
|
dx |
ln|sen(y)| = x + ln|x| + C
eln|sen(y)| = ex + ln|x| + C
eln|sen(y)| = ex*eln|x|*eC
sen(y) = exxeC
sen(y) = xexC, onde C = eC.
Equações homogêneas
Uma equação diferencial do tipo M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 é dita homogênea de grau m toda vez que as funções M e N forem homogêneas de mesmo grau m, sendo m um número real.
Uma função f(x,y,z) homogênea obedece a igualdade abaixo:
f(kx,ky,kz) = kmf(x,y,z)
Onde m, é o grau de homogeneidade da função.
Exemplo 1
Verificar o grau de homogeneidade da função f(x,y,z) = 2x² – 5xy + yz.
Vamos substituir x por kx, y por ky e z por kz.
f(kx,ky,kz) = 2k²x² – 5kxky + kykz
f(kx,ky,kz) = 2k²x² – 5k²xy + k²yz
f(kx,ky,kz) = k²(2x² – 5xy + yz)
f(kx,ky,kz) = k²f(x,y,z)
Portanto, a função acima é homogênea de grau 2.
Exemplo 2
A função f(x,y) = πx³ – ey² é homogênea?
Vamos substituir x por kx e y por ky.
f(kx,ky) = πk³x³ – ek²y²
f(kx,ky) = k²(kπx³ – ey²)
Veja que não foi possível remover o k da função. Portanto, a função não é homogênea.
Exemplo 1
Verificar se a equação diferencial (x² + y²)dx + (x² – xy)dy = 0 é homogênea.
Veja que a equação (x² + y²)dx + (x² – xy)dy = 0 é composta por duas funções:
M(x,y) = (x² + y²)dx
N(x,y) = (x² – xy)dy
Se as funções M e N forem homogêneas e de mesmo grau, então a equação diferencial será homogênea.
M(x,y) = (x² + y²)dx
M(kx,ky) = (k²x² + k²y²)dx
M(kx,ky) = k²(x² + y²)dx
M é homogênea de grau 2.
N(x,y) = (x² – xy)dy
N(kx,ky) = (k²x² – kxky)dy
N(kx,ky) = (k²x² – k²xy)dy
N(kx,ky) = k²(x² – xy)dy
N é homogênea de grau 2.
Portanto, a equação (x² + y²)dx + (x² – xy)dy = 0 é homogênea de grau 2.
Exemplo 2
Resolva a equação (x² – y²)dx – 2xydy = 0.
Passo 1: verifique se a equação é efetivamente homogênea.
(x² – y²)dx – 2xydy = 0.
M(x,y) = (x² – y²)dx é homogênea de grau 2.
N(x,y) = -2xydy é homogênea de grau 2.
Portanto, (x² – y²)dx – 2xydy = 0 é homogênea de grau 2.
Passo 2: Faça a substituição de variáveis.
y = ux
dy = udx + xdu
(x² – y²)dx – 2xydy = 0
(x² – u²x²)dx – 2xux(udx + xdu) = 0
x²(1 – u²)dx – 2ux²(udx + xdu) = 0
x²(1 – u²)dx – 2u²x²dx – 2ux³du = 0
x²(1 – u² – 2u²)dx – 2ux³du = 0
x²(1 – 3u²)dx = 2ux³du
|
dx | = |
|
| ∫ |
|
= | ∫ |
|
Passo 3: Efetue todas as simplificações possíveis. Você deverá obter uma equação de variáveis separáveis em u e x.
A integral abaixo pode ser resolvida pelo método de substituição simples, onde k = (1 – 3u²) → dk = -6u du.
| ∫ |
|
ln|x| + 1⁄ 3 ln|1 – 3u²| = ln C
ln|x| + 1⁄ 3 ln|1 – 3u²| = C1
Aplicando as propriedades dos logaritmos, tem-se:
x(1 – 3u²)1 ⁄ 3 = C1
Elevando ambos os lados ao cubo, tem-se:
x³(1 – 3u²) = C
Passo 4: Fazer a substituição u = y ⁄ x.
x³(1 – 3u²) = C
| x³( | 1 – 3 |
|
) | = | C |
x³ – 3xy² = C
Portanto, x³ – 3xy² = C é solução geral da equação (x² – y²)dx – 2xydy = 0.
Equações exatas
Dada uma função F(x,y). Fazendo F(x,y) = C, onde C é uma constante qualquer, ou seja, C ∈ ℝ. Note que, F(x,y) está na forma implícita. Derivando F(x,y) = C, tem-se:
|
+ |
|
|
= | 0 |
Em seguida fazemos:
|
= | M(x,y) |
|
= | N(x,y) |
Assim teremos:
| M(x,y) | + | N(x,y) |
|
= | 0 |
Multiplicando ambos os lados por dx, tem-se:
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
A equação M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 será exata se:
|
= |
|
Caso isso ocorra existe uma função u(x,y) onde:
 |
|
Para resolver o sistema, escolhemos uma das equações e integramos. O resultado deve ser incluído na segunda equação. Fazendo essa inclusão encontraremos a função u(x,y). Finalmente, a solução geral da equação é encontrada por u(x,y) = C.
Exemplo 1
Resolva a equação 2xydx + (x² – 1)dy = 0.
2xydx + (x² – 1)dy = 0
M(x,y) = 2xy dx
N(x,y) = (x² – 1)dy
|
= |
|
|
= | 2x |
|
= | 2x |
| Portanto, |
|
= |
|
. |
Logo, existe u(x,y), onde:
|
|
| u(x,y) | = | ∫ | 2xy dx |
u(x,y) = x²y + g(y)
Agora incluimos este resultado na segunda equação do sistema.
|
= | N |
|
x²y + g(y) | = | x² – 1 |
x² + g’(y) = x² – 1
g’(y) = -1
Para saber quem é g(y) integramos g’(y).
| ∫ | -1 dy | = | -y + C |
Portanto, g(y) = -y + C.
Retomando u(x,y) = x²y + g(y), tem-se:
u(x,y) = x²y – y + C
Funções vetoriais – definição
Note pelo gráfico que o vetor r→ = xi→ + yj→ + zk→. Da mesma forma, podemos associar o vetor r→ a f→ e
– xi→ = f1(t) i→
– yj→ = f2(t) j→
– zk→ = f3(t) k→
Portanto, podemos escrever f→ como:
f→(t) = f1(t) i→ + f2(t) j→ + f3(t) k→, sendo i→, j→ e k→ vetores unitários.
Álgebra linear
O que você vai estudar:
- Espaços vetoriais
- Transformações lineares
- Ortogonalidade e projeções
- Autovalores e autovetores
- Produto interno
- Diagonalização e formas quadráticas
- Teorema espectral
- Métodos numéricos
Espaços vetoriais
Para iniciar nosso estudo de Álgebra linear é importante ter como pré-requisito os conhecimentos de matrizes, determinantes e sistemas lineares.
Um espaço vetorial é um conjunto V de vetores sujeitos a duas regras específicas:
• Adição: para quaisquer u e v pertencentes a V, a soma u + v também é um vetor pertencente a V.
• Multiplicação por escalar: para qualquer vetor u pertencente a V e qualquer número real α, o produto αu é um vetor pertencente a V.
Além disso, para um conjunto ser considerado um espaço vetorial é necessário que ele cumpra com oito axiomas, sendo quatro referentes a operação de adição e quatro referentes a operação de multiplicação por escalar.
Propriedades da adição
1. Propriedade pertencimento: se u e v são elementos de V, então u + v é elemento de V.
2. Propriedade comutativa: u + v = v + u
3. Propriedade associativa: u + (v + w) = (u + v) + w
4. Propriedade existência do elemento neutro: u + 0 = 0 + u = u
5. Propriedade existência do elemento oposto: -u + u = u + (-u) = 0
Propriedades da multiplicação por escalar
6. Propriedade pertencimento: Seja α um escalar qualquer e u um elemento de V, então αu é um elemento de V.
7. Propriedade distributiva: α(u + v) = αu + αv
8. Propriedade distributiva 2: (α + β)u = αu + βu
9. Propriedade associativa: α(βu) = (αβ)u
10. Propriedade existência do elemento neutro: 1 * u = u
Os espaços ℝ², ℝ³ e ℝn são espaços vetoriais, ou seja, cumprem com todos os axiomas acima.
Exemplo 1
Seja V o conjunto de números reais positivos e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por:
u + v = uv [A adição vetorial é a multiplicação numérica]
αu = uα [A multiplicação vetorial é a exponenciação numérica]
Verifique se V é um espaço vetorial.
Para verificar se um conjunto é um espaço vetorial é fundamental que o conjunto cumpra com todos os oito axiomas mostrados acima.
Axiomas da adição
1. Propriedade pertencimento: se u e v são elementos de V, então u + v é elemento de V.
se u ∈ V e v ∈ V, então u + v = uv ∈ V
V é o conjunto dos números reais positivos.
u ∈ ℝ e v ∈ ℝ, logo u + v = uv ∈ ℝ.
2. Propriedade comutativa: u + v = v + u
u + v = v + u → 2 + 3 = 3 + 2
uv = vu → 2 • 3 = 3 • 2
3. Propriedade associativa: u + (v + w) = (u + v) + w
u + (v + w) = (u + v) + w
u + vw = uv + w → 2 + 3 • 4 = 2 • 3 + 4
uvw = uvw → 2 • 3 • 4 = 2 • 3 • 4
4. Propriedade existência do elemento neutro: u + 0 = 0 + u = u
u + 0 = 0 + u = u
u • 0 = 0 • u = u
u + 1 = u • 1 = u → O elemento neutro aqui é o 1, ou seja, 0 = 1.
5. Propriedade existência do elemento oposto: -u + u = u + (-u) = 0
-u + u = u + (-u) = 0 → 0 = 1
-u + u = u + (-u) = 1
| u | + |
|
= | u |
|
= | 1 |
Axiomas da multiplicação por escalar
6. Propriedade pertencimento: Seja α um escalar qualquer e u um elemento de V, então αu é um elemento de V.
αu = uα
u ∈ V e α ∈ V, logo uα ∈ V
7. Propriedade distributiva: α(u + v) = αu + αv
α(u + v) = αu + αv
αuv = uα + vα
(uv)α = uα • vα
8. Propriedade distributiva 2: (α + β)u = αu + βu
(α + β)u = αu + βu
u(α + β) = uα + uβ
u(α + β) = u(α + β)
9. Propriedade associativa: α(βu) = (αβ)u
α(βu) = (αβ)u
α(uβ) = uαβ
(uβ)α = uαβ
10. Propriedade existência do elemento neutro: 1 * u = u
1 • u = u
u1 = u
Todos os axiomas foram satisfeitos, portanto V é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por escalar.
Exemplo 2
Seja W o conjunto de todos os pares de números reais da forma (x,y) em que x ≥ 0, com as operações padrão de &Rof;². Verifique se W é um espaço vetorial.
Dependendo de como o conjunto se apresenta, não precisamos provar todas as propriedades. Basta mostrar um contra exemplo.
W é o conjunto de todos os pares de números reais da forma (x,y) em que x ≥ 0, ou seja, o primeiro elemento do par é sempre positivo. Isso vai contra uma das propriedades dos espaços vetoriais.
u = (x,y) ∈ W e α ∈ &Rof;, portanto αu ∈ W. Porém se α for negativo teremos -α(x,y) = (-αx, -αy). Visto que, o primeiro elemento do par deve ser sempre positivo, encontramos aqui um contra exemplo, portanto o conjunto W não é um espaço vetorial.
Exemplo 3
Seja V o conjunto de todas as matrizes 2×2 da forma
|
com as operações matriciais padrão de adição e multiplicação por escalar. Verifique se V é um espaço vetorial.
Exemplo 4
Verifique se W, o conjunto de todos os pares de números reais da forma (1,x) com as operações
(1,y) + (1,y’) = (1,y + y’) e α(1,y) = (1,αy)
é um espaço vetorial.
Subespaços vetoriais
Na figura acima V é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por escalar. W1 e W2 são subconjuntos de V. Mas é fácil perceber que W1 é subespaço vetorial de V e W2 não é. W1 é subespaço vetorial de V, porque sendo u e v ∈ W1, u + v ∈ W1. Da mesma forma, sendo α ∈ ℝ e v ∈ W1, αv ∈ W1. Desta forma, W1 é fechado na adição e multiplicação por escalar.
W2 não é subespaço vetorial de V pelo simples fato de a soma e a multiplicação por escalar produzir vetores fora de W2.
Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W não vazio, será um subespaço vetorial de V se:
a) Dados quaisquer u e v ∈ W, u + v ∈ W.
b) Dado qualquer α ∈ ℝ e qualquer u ∈ W, αu ∈ W.
Visto ser W um subconjunto de V, não se faz necessário provar todos os 10 axiomas para espaço vetorial, já que alguns são herdados de V. É necessário provar apenas os axiomas 1 e 6.
Axioma 1: Dados quaisquer u e v ∈ V, u + v ∈ V.
Axioma 6: Dado qualquer α ∈ ℝ e qualquer u ∈ V, αu ∈ V.