Livro de Matemática

Sumário

Estruturas algébricas

Seja (A,*) um conjunto e uma operação. Dizemos que A possui uma estrutura algébrica quando definimos em A uma operação interna *.

A estrutura algébrica recebe determinadas classificações dependendo das propriedades satisfeitas pela operação *.

Propriedade Classificação
Fechamento Grupoide (magma)
Fechamento e associativa Semigrupo
Fechamento, associativa e elemento neutro Monoide
Fechamento, associatividade, elemento neutro e elemento simetrizável Grupo

Grupos

Dado um conjunto A com uma operação interna * (estrela) dizemos que * define uma estrutura de grupo em A quando satisfizer as propriedades abaixo:

*. AxA → A
(x,y) → A = x * y, ∀ x, y ∈ A ⇒ x * y ∈ A

Associativa: x * (y * z) = (x * y) * z
Elemento neutro: x * e = e * x = x
Elemento simétrico: x * x-1 = e

Se além das propriedades já citadas a operação admitir a comutatividade dizemos que o conjunto A é um grupo abeliano ou comutativo.

Veja na tabela abaixo alguns grupos importantes.

Conjunto Operação Grupo
Z + Comutativo
Q + Comutativo
(R,+), (C,+), (Q*,.), (R*,.), (C*,.)   Comutativo
(Zm,+) + Comutativo
Mmxn(Z),Mmxn(Q),Mmxn(R),Mmxn(C) + Grupo

Propriedades imediatas

a) O elemento e de A é único.
b) ∀ x ∈ A existe um único inverso.
c) Para quaisquer x, y ∈ A vale (x * y)-1 = x-1 * y-1.
d) ∀ x ∈ A vale que (x-1)-1 = x
e) Se x, y, z ∈ A e x * y = x * z ⇒ y = z (Lei do cancelamento)

Elementos regulares

Dado um conjunto A e um elemento a dizemos que a é um elemento regular de A se:

1. a * x = a * y ⇒ x = y, ∀ x, y ∈ A
2. x * a = y * a ⇒ x = y, ∀ x, y ∈ A

O conjunto dos elementos regulares de A é escrito como R * (A) = {a,b,c, …}.

Exemplos:

1) 5 é elemento regular para a adição em N, já que 5 + x = 5 + y, logo, x = y ∀ x e y ∈ N.
1) 2 é elemento regular para a multiplicação em Z, já que 2x = 2y, logo, x = y ∀ x e y ∈ Z.

Exemplos

1) Seja (C,+) um conjunto com a operação de adição usual, sendo C = {-2,-1,0,1,2}. Verifique se C é um grupo.

Para que C seja um grupo deve valer as propriedades abaixo:
*. CxC → C
(x,y) → C = x * y, ∀ x, y ∈ C ⇒ x * y ∈ C

Tomemos o elementos 1 e 2 pertencentes a C. Veja que (1,2) → C = 1 + 2 = 3 e 3 ∉ C.
Logo, a operação + não define uma estrutura de grupo em C.

2) Seja (B,.) um conjunto com a operação de multiplicação usual, sendo B = {x ∈ Z | x é impar}. Verifique se B é um grupo.

Para que B seja um grupo deve valer as propriedades abaixo:
*. BxB → B
(x,y) → B = x * y, ∀ x, y ∈ B ⇒ x * y ∈ B

O conjunto B cumpre com as propriedades: associativa e existência do elemento neutro, mas não cumpre com a existência do elemento simetrizável. Para isto, basta escolher um contra-exemplo.

Tomemos o elemento 3 ∈ B. 3 . 3-1 = 1, porém 3-1 = ⅓ e ⅓ ∉ B. Portanto, B não é um grupo.

Tábua de uma operação

Uma tábua de uma operação é um dispositivo que permite encontrar todas as combinações de uma aplicação f num conjunto E. Como exemplo vamos construir a tábua da multiplicação em E={-1,0,1}.

• -1 0 1
-1 1 0 -1
0 0 0 0
1 -1 0 1

Na célula vermelha colocamos a operação. A linha amarela é chamada de linha fundamental e a coluna amarela de coluna fundamental. Na tábua acima temos uma aplicação f: ExE → E que associa a cada par (ai,aj) o elemento ai * aj = aij.

Veja outro exemplo onde temos o conjunto D = {1,3,9,27} e x * y = mmc(x,y). Vamos montar a tábua dessa operação.

* 1 3 9 27
1 1 3 9 27
3 3 3 9 27
9 9 9 9 27
27 27 27 27 27

Propriedades das operações na tábua

Dado um conjunto F = {1, i, -1, -i} e x * y = x • y.

• 1 i -1 -i
1 1 i -1 -i
i i -1 -i 1
-1 -1 -i 1 i
-i -i 1 i -1

Podemos verificar se F é um grupo observando as propriedades na tábua de operação.
A propriedade associativa já é validada quando o exercício pede que use a tábua de operação.

Existência do elemento neutro
Procuramos a linha onde repete todos os elementos da linha fundamental.

• 1 i -1 -i
1 1 i -1 -i
i i -1 -i 1
-1 -1 -i 1 i
-i -i 1 i -1

Neste exemplo o elemento neutro é o 1, já que ao operarmos qualquer elemento com 1 teremos o próprio elemento.

Subgrupos

Seja (G,*) um grupo e suponha (H,*) um subgrupo de G. Para que H seja subgrupo de G é necessário cumprir certos requisitos.

  1. ∀ x, y ∈ H, tem-se que x * y ∈ H
  2. ∀ b ∈ H, ∃ b’ ∈ H; b’ ∈ H

Portanto, para que um grupo H seja subgrupo de um grupo G é necessário que:
– Ao tomarmos dois elementos quaisquer de H e operá-los entre si o resultado ainda estará em H.
– Para todo elemento de H existe o seu simétrico.

Dado (G,*) um grupo, seja (R,*) e (S,*) subgrupos de G, logo R ∩ S é um subgrupo de G. Veja como é fácil perceber.
Dados a ∈ R e a ∈ S, visto que o elemento a pertence a ambos os conjuntos então pertencerá a R ∩ S.

Atenção
R ∪ S não é subgrupo de G.

Exemplos

1) Sabendo que (Z,+) é um grupo, considere o subconjunto H = {2n / n ∈ Z}. H também pode ser representado como 2Z. Verifique se H é subgrupo de (Z,+).

Para isso vamos verificar duas propriedades:
1. Dados dois elementos de H, u e v, sendo u = 2n e v = 2m, com n e m ∈ Z. Ao operarmos esses dois elementos entre si o resultado deverá pertencer ao subconjunto H.

u + v = 2n + 2m = 2(n + m)
fazendo n + m = q, tem-se u + v = 2q, visto que q ∈ Z, logo 2q = u + v ∈ H. (Comprovada a propriedade do fechamento)

2. Dado um elemento qualquer b ∈ H, ∃ b’ ∈ H.

se b = 2n com n ∈ Z, então b’ = -2n pela operação (+), logo b’ ∈ H.

Fica assim comprovado que H = 2Z é um subgrupo de (Z,+).

Anéis

Em álgebra, um anel é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto não vazio de elementos, juntamente com duas operações binárias, geralmente denotadas como adição e multiplicação, (A, +, .). Um anel deve satisfazer certas propriedades para ser considerado um anel.
Formalmente, um anel é um conjunto A equipado com duas operações binárias, denotadas usualmente como “+” (adição) e “⋅” (multiplicação), que satisfazem as seguintes propriedades:

  1. Fechamento sob adição: Para todo a e b em A, a + b está em A.
  2. Associatividade da adição: Para todo a, b e c em A, (a + b) + c = a + (b + c).
  3. Elemento neutro da adição: Existe um elemento 0 em A tal que a + 0 = 0 + a = a, para todo a em A.
  4. Elemento inverso aditivo: Para cada a em A, existe um elemento -a em A tal que a + (-a) = (-a) + a = 0.
  5. Comutatividade da adição: Para todo a e b em A, a + b = b + a.
  6. Fechamento sob multiplicação: Para todo a e b em A, a ⋅ b está em A.
  7. Associatividade da multiplicação: Para todo a, b e c em A, (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c).
  8. Distributividade: Para todo a, b e c em A, a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c) e (b + c) ⋅ a = (b ⋅ a) + (c ⋅ a).

Não é necessário que a multiplicação seja comutativa em um anel. No entanto, se a multiplicação também for comutativa, ou seja, a ⋅ b = b ⋅ a para todo a e b em A, então o anel é chamado de anel comutativo.
Além disso, um anel pode ter outras propriedades adicionais, como a existência de um elemento neutro da multiplicação (denotado por 1) e a ausência de divisores de zero (elementos diferentes de zero que, quando multiplicados, resultam em zero). Dependendo dessas propriedades adicionais, o anel pode ser classificado em diferentes tipos, como anel comutativo, anel unitário, anel integral, entre outros.

Exemplos de anéis

  1. Os conjuntos numéricos: ℤ, ℚ, ℝ e ℂ
  2. Anel das matrizes quadradas de ordem n.
  3. Anel dos polinômios
  4. Anel de funções
  5. Anel das classes de restos módulo m, Zm.
  6. Anel produto direto. (AxB, +, .).

Subanéis

Subanel é um subconjuntos de um anel. Veja na imagem abaixo a representação dos conjuntos numéricos.
Sistema de numeração
Veja que o conjunto dos inteiros está contido no conjunto dos racionais, logo é subconjunto deste. Sendo ℤ e ℚ anéis, podemos dizer que ℤ é subanel de ℚ.

Seja (A,+,.) um anel qualquer e (B,+,.) um subconjunto não vazio de A. Para que B seja considerado um subanel de A é necessário que x – y e x.y ∈ B, ∀ x, y ∈ B.

Lógica matemática

O que você vai estudar:
    1. Definição

Introdução à lógica

O estudo da lógica é de extrema importância para o entendimento e validação do raciocínio. O emprego da lógica nos fornece rigor de pensamento e linguagem permitindo que a estrutura dos argumentos utilizados esteja bem definida. Tomemos como exemplo a linguagem científica e a linguagem cotidiana. A linguagem cotidiana tem a função de comunicação, além disso visto ser a sociedade uma estrutura dinâmica, as palavras vão adquirindo novos significados com o passar do tempo. São usadas gírias e expressões que variam dependendo da região do país. No contexto da linguagem matemática e científica, necessitamos que os termos utilizados sejam fixos, que não sofra variação com a localização nem com o tempo. Portanto, é natural que a linguagem matemática e científica se distancie um pouco da linguagem cotidiana.

Veja o exemplo do uso da conjunção “ou”. Em linguagem cotidiana a palavra “ou” tem o sentido de exclusão, já na linguagem matemática a palavra “ou” possui sentido de reunião, “soma”. O nosso foco será na lógica formal que tem seu estudo direcionado ao uso de proposições.

Princípios da lógica clássica

Princípio da identidade
“Toda proposição é idêntica a si mesma.”

Princípio da Não contradição
“Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.”

Princípio do terceiro excluído
“Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, não existindo um terceiro valor.”

Formas de raciocíno lógico

De início necessitaremos de uma premissa, uma conclusão e uma regra segundo a qual a premissa implica a conclusão.

O que desejamos determinar? Tipo de raciocínio O que utilizamos Partida Chegada
Conclusão Dedução
(Lógica matemática) 		regra e premissa Situações gerais Situação particular
Regra Indução
(Cientistas)		 premissa e conclusão Situação particular Situação universal
Premissa Abdução
(Pessoas comuns)		 regra e conclusão    

Proposição

É um enunciado de sentido completo, ou seja, qualquer sentença declarativa (não interrogativa, nem exclamativa) que assume um e somente um dentre os valores lógicos: Verdadeiro ou Falso.

Nota:

Uma proposição pode ser um conjunto de palavras ou símbolos.
Palavras: Fortaleza é a capital do Ceará.
Símbolos: ∃ x ∈ Z, 3|x e 4|x

Uma proposição é chamada de simples quando for formada por uma única setença.
Exemplos:

a) Marcelo é programador.
b) O número 16 é múltiplo de 4.
c) Fortaleza não é a capital de Minas Gerais.

Uma proposição é composta quando for formada por duas ou mais proposições simples ligadas por meio de conectivos.
Exemplos:

a) Fernando é matemático, e Matheus seguiu a carreira de medicina.
b) Marta foi ao supermercado e Lucas ficou em casa.
c) Se Carlos é poliglota, então fala várias línguas.
d) Só haverá diminuição da violência se a educação for prioridade governamental.

Conectivos proposicionais

Vamos trabalhar com 5 conectivos sendo: e(^), ou(∨), ou… ou… (⊻), se…, então … (→), se, e somente se (↔), não(~ ou ¬).

Símbolo Classificação
^ e Conjunção
∨ ou Disjunção
⊻ ou… ou…  
→ se…, então… Condicional
↔ se, e somente se Bicondicional
~ (¬) não Negação

Conjunção

a) 4 é um número par e Roma é a capital da Itália.
b) Marta foi ao supermercado e Lucas ficou em casa.

Disjunção

a) Marcone será fuzileiro naval ou seguirá a carreira de dentista.
b) Fevereiro é o segundo mês do ano ou 4 + 5 = 7.

Condicional

a) Se não nos alimentarmos, morreremos.
b) Se Alberto é o filho mais velho, então Gabriel é o filho mais novo.

Bicondicional

a) Ganharás o dinheiro, se e somente se, completares o trabalho.
b) A grama está molhada se e somente se hoje choveu.

Tabela-Verdade

A tabela-verdade é um instrumento no qual figuram todas as combinações dos valores-verdade de uma proposição. Já aprendemos que uma proposição simples pode ser verdadeira ou falsa. Portanto a tabela-verdade de uma proposição simples será:

P
V
F

Note que quando há duas proposições simples p e q a tabela-verdade se torna maior. No caso de duas proposições a tabela terá 4 linhas.

    Conjunção Disjunção Disjunção (exclusiva) Condicional Bicondicional
p q p ^ q p ∨ q p ⊻ q p → q p ↔ q
V V V V F V V
V F F V V F F
F V F V V V F
F F F F F V V

Para sabermos quantas linhas terá a tabela-verdade de uma proposição composta devemos usar a fórmula 2n onde n será a quantidade de proposições simples. Portanto, uma proposição composta de 3 proposições simples terá uma tabela com 23 = 8 linhas. É fácil perceber que quanto mais proposições existirem mais complexa se tornará a tabela-verdade.

Linguagem natural e simbólica

Em Matemática, procuramos sempre abstrair o problema afim de criarmos uma estrutura que se aplique a qualquer situação. No escopo da lógica faremos o mesmo. Vamos atribuir a cada sentença declarativa uma letra minúscula do alfabeto.
Exemplos:

p: Rodrigo é forte.
q: Jeremias é sedentário.
r: Cleber é rico.

Agora usando os conectivos aprendidos, vamos escrever em linguagem simbólica as seguintes proposições compostas.

a) Rodrigo é forte e Jeremias é sedentário.

p ^ q

b) Cleber é rico ou Jeremias não é sedentário.

r ∨ ~q

c) Se Jeremias é sedentário, então Cleber é rico.

q → r

d) Ou Rodrigo não é forte, ou Cleber não é rico.

~p ⊻ ~r

e) Rodrigo é forte se e somente se Cleber não é rico.

p ↔ ~r

Proposições equivalentes

Duas proposições são equivalentes quando suas tabelas-verdade forem iguais.
Exemplo:

p ⇔ ~~p

Atenção: ⇔ é diferente de ↔.
P ~P ~~P
V F V
F V F

Vamos verificar se a proposição p → p ^ q ⇔ p → q :

p q p ^ q p → (p ^ q) p → q
V V V V V
V F F F F
F V F V V
F F F V V

Portanto comprovamos que p → p ^ q ⇔ p → q, pois as colunas de p → p ^ q e p → q são iguais.

Tautologia, contradição e contingência

Durante o estudo das proposições compostas, vamos nos deparar com situações em que as proposições serão sempre verdadeiras ou sempre falsas independentemente do valor lógico das proposições simples que as compõe.

Tautologia

Quando uma proposição composta é sempre verdadeira, temos uma tautologia.
Exemplo:

a) Veja que a proposição p ∨ ~p é uma tautologia.

p ~p p ∨ ~p
V F V
F V V

b) Veja que a proposição (p ^ ~p)→(q ∨ p) é uma tautologia.

p q ~p p ^ ~p q v p (p ^ ~p)→(q ∨ p)
V V F F V V
V F F F V V
F V V F V V
F F V F F V

Contradição

Quando uma proposição composta é sempre falsa, temos uma contradição.
Exemplos:

a) A proposição p ^ ~p é uma contradição.

p ~p p ^ ~p
V F F
F V F

b) A proposição (p ∨ ~q) ↔ (~p ^ q) é uma contradição.

p q ~p ~q p v ~q ~p ^ q (p ∨ ~q) ↔ (~p ^ q)
V V F F V F F
V F F V V F F
F V V F F V F
F F V V V F F

Contingência

Tem-se uma contingência quando o valor lógico de uma proposição composta pode ser verdadeiro ou falso dependendo do valor lógico de suas proposições simples. Portanto, quando não for nem uma tautologia, nem uma contradição, estaremos diante de uma contingência.

Exemplos:

a) A proposição (p ∨ q)→(p ^ q) é uma contingência.

p q p v q p ^ q (p ∨ q)→(p ^ q)
V V V V V
V F V F F
F V V F F
F F F F V

Implicação lógica

Dadas uma proposição P(p,q,r…) e Q(p,q,r…) onde {p,q,r…} são proposições simples, dizemos que P ⇒ Q se todas as vezes que P for verdadeiro Q também for verdadeiro.

Veja na tabela abaixo as principais regras de implicação lógica.

p ⇒ p ∨ q Adição
p ^ q ⇒ p Simplificação
p ^ q ⇒ q
(p ∨ q) ^ ~p ⇒ q Silogismo disjuntivo
(p ∨ q) ^ ~q ⇒ p
(p → q) ^ p ⇒ q Modus Ponens
(p → q) ^ ~q ⇒ ~p Modus Tollens
(p → q) ^ (q → r) ⇒ p → r Silogismo hipotético
p ^ ~p → f Princípio da inconsistência

Vamos provar algumas das implicações lógicas acima.

1) Adição

p: Vou ao shopping.
q: Vou ao clube.

p ⇒ p ∨ q
No caso acima, P(q) e Q(p,q), então podemos concluir que P ⇒ Q? Vamos construir a tabela-verdade.

p q p v q
V V V
V F V
F V V
F F F

Note que toda vez que p é verdadeiro p v q também é, logo p ⇒ p v q.

2) Simplificação

p: Vou ao shopping.
q: Vou ao clube.

p ^ q ⇒ p
No caso acima, P(p,q) e Q(p), então podemos concluir que P ⇒ Q? Vamos construir a tabela-verdade.

p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F

Equivalência lógica

Dadas duas proposições compostas P(p,q,r…) e Q(r,s,t…), dizemos que P é equivalente a Q, podemos também escrever assim: P ⇔ Q, quando suas tabelas-verdade forem rigorosamente iguais.
Como exemplo tem-se que p → q ⇔ ~ p ∨ q.

p q ~p p → q ~p ∨ q
∨ ∨ F ∨ ∨
∨ F F F F
F ∨ ∨ ∨ ∨
F F ∨ ∨ ∨

Equivalências lógicas mais comuns

Comutativa p ^ q ⇔ q ^ p
Comutativa p ∨ q ⇔ q ∨ p
Associativa (p ^ q) ^ r ⇔ p ^ (q ^ r)
Associativa (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
Idempotente p ^ p ⇔ p
Idempotente p ∨ p ⇔ p
Absorção p ^ (p ∨ q) ⇔ p
Absorção p ∨ (p ^ q) ⇔ p
Lei de Morgan ~(p ∨ q) ⇔ ~ p ^ ~ q
Lei de Morgan ~(p ^ q) ⇔ ~ p ∨ ~ q
Def implicação p → q ⇔ ~p ∨ q
Negação ~(p → q) ⇔ p ^ ~q
Def implicação p → q ⇔ ~(p ^ ~q)
Def bicondicional p ↔ q ⇔ (p → q) ^ (q → p)
Negação ~(p ↔ q) ⇔ (p ^ ~q) ∨ (q ^ ~p)
Def bicondicional p ↔ q ⇔ (~p ∨ q) ^ (~q ∨ p)

Exemplo: ~(p ^ q) ⇔ ~p ∨ ~q (Lei de De Morgan)
Não é verdade que gosto de vinho e gosto de chocolate. ⇔ Não gosto de vinho ou não gosto de chocolate.

p q ~p ~q p ^ q ~(p ^ q) ~p ∨~ q
∨ ∨ F F ∨ F F
∨ F F ∨ F ∨ ∨
F ∨ ∨ F F ∨ ∨
F F ∨ ∨ F ∨ ∨

Propriedades das equivalências lógicas

  1. Se P(p,q,r…) e Q(r,s,t,…) são ambas tautológicas, então P e Q são equivalentes.
  2. Se P(p,q,r…) e Q(r,s,t,…) são ambas contradições, então P e Q são equivalentes.
  3. p ⇔ p (reflexiva)
  4. Se p ⇔ q então q ⇔ p (simétrica)
  5. Se p ⇔ q e q ⇔ r então p ⇔ r (transitiva)

Proposições associadas a uma condicional

p → q
Proposição recíproca q → p
Proposição contrária ~p → ~q
Proposição contrapositiva ~q → ~p

Qual dessas três proposições na tabela é equivalente à proposição p → q?

Vamos fazer a tabela-verdade de cada uma delas e assim verificaremos quais são equivalentes a p → q.

p q p → q q → p ~p ~q ~p → ~q ~q → ~p
∨ ∨ ∨ ∨ F F ∨ ∨
∨ F F ∨ F ∨ ∨ F
F ∨ ∨ F ∨ F F ∨
F F ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨
1 2 3 4 … 20