Livro de Matemática

Combinação linear é o termo usado para descrever quando um vetor é resultado da combinação de outros n vetores.

Exemplo:

8 = 1(2) + 2(3)
O número 8 pode ser escrito como combinação linear de (2) e (3), onde 1 e 2 são escalares.

20 = 3(2) + 2(7)
O número 20 pode ser escrito como combinação linear de (2) e (7), onde 3 e 2 são escalares.

Aplicando isso a vetores tem-se a seguinte definição.

Dizemos que w num espaço vetorial V é uma combinação linear dos vetores v₁, v₂, …, v_n se w puder se escrito na forma:

w = a₁v₁ + a₂v₂ + … + a_nv_n

em que, a₁, a₂, …, a_n são escalares.

Exemplo 1

Verifique se o vetor (7,10) é combinação linear dos vetores (1,4) e (5,2).

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Para que o vetor (7,10) seja combinação linear dos vetores (1,4) e (5,2) é necessário que (7,10) = a(1,4) + b(5,2). Precisamos encontrar valores para os escalares a e b. Quando não conseguimos encontrar valores para eles, a combinação linear não é possível.

(7,10) = a(1,4) + b(5,2)
(7,10) = (a,4a) + (5b,2b)
(7,10) = (a + 5b,4a + 2b)

Chegamos no sistema abaixo:

a + 5b = 7 4a + 2b = 10

Multiplicamos a primeira equação do sistema por (-4).

-4a + -20b = -28 4a + 2b = 10

Em seguida somamos a duas equações.

-4a + 4a + (-20b) + 2b = -28 + 10
-18b = -18
b = 1

Encontramos o valor da variável b. Agora substituímos o valor de b em uma das equações dos sistema e encontraremos o valor da variável a.

a + 5b = 7
a + 5(1) = 7
a = 7 – 5
a = 2

Portanto, o vetor (7,10) = 2(1,4) + 1(5,2).

Exemplo 2

Considere os polinômios p(x) = 2x² + 3x + 5, q(x) = x² + 1, r(x) = 2x e s(x) = 5x² – 4x + 11. Mostre que s(x) é combinação linear de p(x), q(x) e r(x).

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Para que s(x) seja combinação linear de p(x), q(x) e r(x) é possível que s(x) seja escrito como:

s(x) = ap(x) + bq(x) + cr(x)

5x² – 4x + 11 = a(2x² + 3x + 5) + b(x² + 1) + c(2x)
5x² – 4x + 11 = (2ax² + 3ax + 5a) + (bx² + b) + (2cx)
5x² – 4x + 11 = 2ax² + bx² + 3ax + 2cx + 5a + b
5x² – 4x + 11 = (2a + b)x² + (3a + 2c)x + 5a + b

2a + b = 5 3a + 2c = -4 5a + b = 11

Podemos resolver este sistema por escalonamento ou pela regra de Cramer.

Vamos resolver pela regra de Cramer.
Montamos a matriz dos coeficientes e calculamos o seu determinante.

A =

2 1 0 3 0 2 5 1 0

= 6

Aa =

5 1 0 -4 0 2 11 1 0

= 12

Ab =

2 5 0 3 -4 2 5 11 0

= 6

Ac =

2 1 5 3 0 -4 5 1 11

= -30

De posse dos determinantes podemos encontrar os valores de a, b e c.

a =

Da DA

=

12 6

= 2

b =

Db DA

=

6 6

= 1

c =

Dc DA

=

-30 6

= -5

Portanto, a = 2, b = 1 e c = -5. s(x) = 2(2x² + 3x + 5) + (x² + 1) – 5(2x), ou seja, s(x) = 2p(x) + q(x) – 5r(x).

Dependência e independência linear

Diz-se que um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um dos vetores no conjunto pode ser representado como uma combinação linear dos outros. Matematicamente, seja V um espaço vetorial e {v₁,v₂,v₃, …, v_n} um conjunto de vetores em V. Esse conjunto é linearmente dependente se existirem escalares α₁, α₂, …, α_n, não todos nulos,
tais que a seguinte equação é satisfeita:

Aqui, 0 representa o vetor nulo.

Por outro lado, um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que iguala o vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são nulos. Matematicamente, seja V um espaço vetorial e {v₁,v₂,v₃, …, v_n} um conjunto de vetores em V. Esse conjunto é linearmente independente se a seguinte implicação for verdadeira:

Isso significa que a única maneira de obter a combinação linear nula é atribuindo zero a todos os coeficientes. Em outras palavras, nenhum vetor no conjunto pode ser expresso como uma combinação linear dos outros.

Seja V um espaço vetorial e {v₁,v₂, …, v_n} vetores em V. É possível gerar um subconjunto W se todo vetor de W for uma combinação linear α₁v₁ + α₂v₂ + … + α_nv_n dos vetores de V. Dizemos que W é gerado por [v₁,v₂, …, v_n].
Veja como exemplo o espaço vetorial R³ e os vetores {(1,0,0),(0,1,0)}. Fazendo todas as combinações lineares desses vetores (x,y,0) = x(1,0,0) + y(0,1,0), chegamos a conclusão de que o subespaço gerado pelos vetores {(1,0,0),(0,1,0)} é o plano xy ou R², logo R² = [(1,0,0),(0,1,0)], ou seja, o subespaço vetorial R² é gerado por {(1,0,0),(0,1,0)}.

Em Álgebra Linear, o conceito de base é fundamental para compreender a estrutura de espaços vetoriais. Uma base é um conjunto de vetores que, de certa forma, “gera” todos os outros vetores no espaço. Seja V um espaço vetorial e B um subconjunto de V. O conjunto B é considerado uma base se três condições forem satisfeitas:
1 – O vetores de B são linearmente independentes.
2 – Os vetores de B geram o espaço vetorial V, ou seja, qualquer vetor de V pode ser expresso como combinação linear de B.
3 – Possuir um conjunto mínimo gerador.

Portanto, seja V um espaço vetorial e B um subconjunto de V linearmente independente e que gera V. B é considerado Base de V se qualquer elemento v de V puder se escrito como combinação linear dos elementos de B, ou seja, B = {v₁, v₂, v₃, …, v_n} e v ∈ V, logo v = α₁v₁ + α₂v₂ + α₃v₃ + … + α_nv_n sendo os escalares α₁, α₂, α₃, …, α_n as coordenadas de v na base B.

Exemplos de bases:

{(1,0),(0,1)} base de R². Essa base é de dimensão 2, pois possui 2 vetores.
{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} base de R³. Essa base é de dimensão 3, pois possui 3 vetores.
{1, x, x², x³, …, xⁿ} base dos polinômios de grau n

Base das matrizes M_2×2.