Livro de Matemática

O conjunto dos números naturais, representados pelo símbolo N, é o mais simples de todos os conjuntos numéricos. Os elementos desse conjunto se encontram diluídos no nosso cotidiano de tal forma que nem nos damos conta deles. Veja na lista abaixo como usamos o conjunto dos números naturais no nosso dia-a-dia.

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• endereço: rua José Alves Marinho, (56) Esmeraldas;
• (3) séries de (15) repetições no supino reto.

Percebeu, como os números são ferramentas indispensáveis na nossa vida? Abaixo você pode ver a representação do conjunto dos números naturais.
ℕ = {0,1,2,3,…}
ℕ^* = {1,2,3,…}
O símbolo ℕ^* representa o conjunto dos naturais sem o elemento zero, ou seja, ℕ-{0}.
É fácil perceber que os números que referenciamos na lista acima se encontram dentro do conjunto ℕ. Além disso, a quantidade de elementos do conjunto ℕ é infinita e deixamos isso evidente por meio das reticências (…).

Note que podemos utilizar o conjunto dos naturais para contar subconjuntos dele próprio. O conjunto A acima representa o conjunto dos números naturais pares. Além disso, perceba que é possível associar a todo elemento de A um único elemento de ℕ. Dessa forma, A é obtido por meio de uma relação onde sua lei pode ser escrita como f(x) = 2x, no qual x é qualquer elemento de ℕ.

O que podemos perceber observando o conjunto B em relação ao conjunto ℕ? Note que cada elemento de B é o sucessor de um elemento em ℕ. Ou seja, a relação envolvida é S(n) = n + 1, onde n ∈ ℕ.

Ordem

Existe alguma ordem entre os elementos do conjunto ℕ?

No esquema acima, o elemento a aparece antes do elemento b. Quando isso ocorre escrevemos a < b, e utilizamos o símbolo <, para dizer que a é menor do que b. Também podemos escrever b > a, informando que b é maior do que a. Lembre-se de que a e b podem assumir qualquer valor. Por exemplo:

Propriedades da relação de ordem
Dados a, b ∈ ℕ tem-se que:
Se a ≤ b ↔ ∃ m ∈ ℕ, tal que b = a + m. Note que a < b ↔ ∃ m ∈ ℕ-{0}, tal que b = a + m.

• a ≤ a, ∀ a ∈ ℕ (prop. reflexiva)
• Se a ≤ b e b ≤ a → a = b (prop. anti-simétrica)
• Se a ≤ b e b ≤ c → a ≤ c ∀ a, b e c ∈ ℕ (prop. transitiva)
• Se a ≤ b → a + c ≤ b + c ∀ c ∈ ℕ
• Se a ≤ b → ac ≤ bc ∀ c ∈ ℕ

Dados a e b ∈ ℕ com a < b podemos formar os seguintes intervalos:
[a,b] o conjunto dos números naturais x tais que a ≤ x ≤ b.
(a,b) o conjunto dos números naturais x tais que a < x < b.
Os intervalos acima são chamados de intervalo fechado e aberto, respectivamente.
(a,b] o conjunto dos números naturais x tais que a < x ≤ b.
[a,b) o conjunto dos números naturais x tais que a ≤ x < b.
Já estes podem ser chamados de semiabertos ou semifechados.
Por exemplo:
O intervalo (2,6) = {3,4,5}, ou seja, não são incluídos os extremos, pois o intervalo é aberto.
O intervalo (4,7] = {5,6,7}. Por ser fechado à direita o elemento 7 está incluso.

Princípio da boa ordem:
Todo subconjunto não vazio de ℕ, possui um menor elemento.
Dado um subconjunto A de ℕ, ∃ m ∈ A, tal que m ≤ b, ∀ b ∈ A.
Esse elemento m é chamado mínimo de A e será indicado por m = min A. Se o subconjunto A possuir mínimo, este é único. Por exemplo, o mínimo do conjunto C = {1, 3, 5, 7, …} é 1.
Pode ocorrer também de um conjunto possuir máximo. Dado um conjunto D ⊂ ℕ, D ≠ ∅, se existir um elemento M ∈ D, tal que x ≤ M, ∀ x ∈ D, então M é chamado de máximo de D. Além disso, M é único. Por exemplo, o conjunto E = [2,8] ⊂ ℕ possui M = 8, pois todo elemento tomado de E é menor ou igual a 8. Por outro lado o conjunto {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …} não possui máximo.

Segue abaixo algumas propriedades necessárias sobre o conteúdo abordado.

• a ≤ b e b < c → a < c
• a < b → a + c < b + c
• a + c ≤ b + c → a ≤ b
• (a ≤ b e c ≤ d) → a + c ≤ b + d
• (a < b e c ≠ 0) → ac < bc
• (a < b e c ≤ d) → a + c < b + d
• c ≤ b → a(b – c) = ab – ac

A adição no conjunto dos números naturais é um processo bastante simples.

Dado um número a qualquer natural, vamos deslocá-lo b posições para a direita, dessa forma, obtemos o número a + b. A essa operação (deslocar a, b posições para a direita) damos o nome de adição, o número a + b é chamado de soma de a e b, enquanto os números a e b são chamados de parcelas.
Por exemplo, dados a = 4 e b = 2, vamos deslocar a de duas posições para a direita, obtendo a sequência

Propriedades da adição em ℕ

• a + (b + c) = (a + b) + c, ∀ a, b, c ∈ ℕ (associativa)
• a.(b + c) = ab + ac (distributiva)
• a + b = b + a, ∀ a, b ∈ ℕ (comutativa)
• a + 0 = 0 + a = a, ∀ a ∈ ℕ (existência do elemento neutro)
• b + a = c + a → b = c (lei do cancelamento)

Mesmo que a subtração não esteja definida no conjunto ℕ ainda podemos utilizá-la seguindo alguns critérios.
Dados dois números naturais a e b tais que a ≤ b, o número de saltos para a direita partindo de a para atingir b será representado por b – a e recebe o nome de diferença entre b e a. Por exemplo, dados a = 4 e b = 9, é preciso deslocar 4 para a direita de 5 posições para alcançar 9, logo 9 – 4 = 5.
Por fim, pela definição de b – a, tem-se que

O número b – a é também o quanto devemos deslocar b para a esquerda para alcançar a. É interessante perceber que o número b – a nos informa a quantidade de números que são maiores ou iguais a a e menores ou iguais a b.

Note que entre 5 e 17 existem 12 números maiores ou iguais a 5 e menores ou iguais a 17, ou seja, o intervalo fechado [5,17] possui (17 – 5) + 1 elementos. Generalizando, podemos dizer que o intervalo [a,b] possui (b – a)+1 elementos. Fique atento ao seguinte: 17 – 5 = 12, ou seja, são necessários 12 saltos a partir de 5 para atingir 17.

Observe a tarefa abaixo:

O que percebemos nessa sequência de operações é:

1º – para uma quantidade muito alta de parcelas a escrita se torna trabalhosa.
2º – existe uma forma mais compacta de escrever esta soma?
3º – o símbolo 3 aparece 5 vezes.

Portanto, podemos escrever a mesma operação acima como 5 x 3 = 15. Em segundo plano, o que está ocorrendo é uma sucessão de somas. É como se a operação de multiplicação empacotasse as sucessivas operações de adição.

a x b =

0, se a = 0 b, se a = 1 b + b + b + … + b, se a > 1 a parcelas

No esquema acima, o símbolo a indica quantas vezes devemos somar o símbolo b. a x b é uma forma mais elegante (enxuta) de se escrever b + b + b + b + … + b, a vezes.

Propriedades da multiplicação em ℕ:

• a(bc) = (ab)c, ∀ a, b, c ∈ ℕ (Associativa)
• ab = ba, ∀ a, b ∈ ℕ (Comutativa)
• a * e = e * a = a, ∀ a ∈ ℕ (e = 1 é o elemento neutro da multiplicação)
• ab = 0 → a = 0 ou b = 0 (lei do anulamento do produto)
• ac = bc com c ≠ 0 → a = b (lei do cancelamento da multiplicação)
• ab = 1 → a = 1 e b = 1
• a(b + c) = ab + ac, ∀ a, b, c ∈ ℕ (A multiplicação é distributiva em relação a adição)

A operação de divisão é realizada sempre que desejamos dividir uma quantidade em partes iguais.
O esquema abaixo demonstra a estrutura de uma divisão de um número D por d.

Legenda:
D = Dividendo
d = divisor
q = quociente
r = resto

Quando o resto da divisão entre dois números é zero (r = 0), isso significa que D é divisível por d ou que d divide D (d | D). Veja os exemplos abaixo:

Na divisão de 378 por 7, o resto encontrado foi 0, comprovando que 378 é divisível por 7. Além disso, podemos dizer que 7 divide 378.

Perceba agora que, ao dividirmos 15 por 4, encontramos 3 como quociente e 3 como resto.
Portanto, conseguimos formar 3 grupos com 4 elementos e sobram 3 elementos sem agrupar.

Se realizamos esse cálculo (15 ÷ 4) numa calculadora, o resultado mostrado no visor será 3,75. E como já sabemos, esse número não é natural, logo a operação de divisão não está definida no conjunto ℕ. Além disso, a divisão não é comutativa, nem associativa. Note que 6 ÷ 3 ≠ 3 ÷ 6, da mesma forma 20 ÷ (2 ÷ 2) ≠ (20 ÷ 2) ÷ 2.

Observe as tarefas abaixo:

Tarefa 1: 5 x 5 x 5 x 5 = 625
Tarefa 2: 4 x 4 x 4 = 64

Isso nos faz lembrar de algo que já fizemos, certo? Você deve se lembrar que a sucessão de somas 3 + 3 + 3 + 3 = 12 pode ser escrita de forma abreviada 4 x 3 = 12. Pelo mesmo motivo, as tarefas acima podem ser escritas de forma abreviada. Esse recurso é muito útil, principalmente, quando envolve uma grande quantidade de fatores.

Tarefa 1: 5⁴ = 625
Tarefa 2: 4³ = 64

an =

1, se n = 0 a, se n = 1 a x a x a x … x a, se n > 1 n fatores

Legenda:
a = base
n = expoente
n indica quantas vezes se deve repetir a base.

Propriedades

As potências gozam de algumas propriedades importantes, são elas:

• a^m . aⁿ = a^{m + n}
• (a . b)ⁿ = aⁿ . bⁿ
• (a^m)ⁿ = a^m.n

• am an

  =

  am – n

  (CE* : a ≠ 0 e m ≥ n)
  * Condição de Existência

• a b	n = an   bn

  (CE: b ≠ 0)

As propriedades com fundo vermelho não estão definidas no conjunto ℕ, já que o resultado não é um número natural.

É possível também escrever a potência de uma soma.

(a + b)ⁿ

Este conteúdo pode ser visto aqui.

Muitos processos em matemática envolvem a “ida →” e a “← volta”.

Tarefa: 2 x 2 x 2 = 8, 2³ = 8.

Partimos de 2³ e chegamos em 8. Como fazer o percurso contrário? Para isso devemos pensar em qual o número que elevando a 3 resulta em 8. Sabemos que este número vale 2.
A radiciação é a operação que resolve problemas como esse. Podemos dizer que a radiciação é a operação inversa da potenciação. Vamos generalizar:

Dados b, n ∈ ℕ, com n ≥ 1, chama-se raiz enésima de b o número a tal que aⁿ = b.

a x a x a x … x a = aⁿ = b

Neste contexto ficamos bastante limitados ao falar sobre as propriedades da radiciação, porque muitos dos resultados estarão fora do escopo de ℕ.

Você saberia dizer sem efetuar a divisão, se o número 69.534 é divisível por 9? Ou se o número 106.517 é divisível por 4? Sem a ajuda de um mecanismo automatizado, a verificação da divisibilidade de um número natural por outro, quando feita pela divisão, é morosa e demorada. Entretanto, para alguns números, existem regras práticas que nos permitem verificar, rapidamente e sem efetuar a divisão, se um número natural é ou não é divisível por outro número natural. Essas regras recebem o nome de critérios de divisibilidade.

Abaixo está listada, como uma receita, os critérios de divisibilidade que podem ser verificados um a um pelo leitor.

• Divisibilidade por 2: um número é divisível por 2 se este for par.
• Divisibilidade por 3: um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos resultar num número divisível por 3. 62.124 é divisível por 3, pois 6 + 2 + 1 + 2 + 4 = 15 e 15 é divisível por 3.
• Divisibilidade por 4: um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita é divisível por 4.
• Divisibilidade por 5: um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.
• Divisibilidade por 6: um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3, simultaneamente.
• Divisibilidade por 7: um número é divisível por 7 quando a diferença entre o dobro do último algarismo do número e os demais algarismos restantes dá um número divisível por 7.
• Divisibilidade por 8: um número é divisível por 8 quando termina em 000 ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita é divisível por 8.
• Divisibilidade por 9: um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é um número divisível por 9.
• Divisibilidade por 10: um número é divisível por 10 quando termina em 0.
• Divisibilidade por 11: o processo para descobrir se um número é divisível por 11 é mais detalhado. Para saber se o número 3.927 é divisível por 11:

  1º – efetuamos a soma dos algarismos alternados do número 3.927, assim: 3 + 2 = 5 e 9 + 7 = 16.
  2º – Agora encontramos a diferença entre os dois resultados, 16 – 5 = 11.

  Visto que o valor encontrado é um número divisível por 11, então 3.927 é divisível por 11.

De forma genérica consideremos a, b, c, d ∈ Z, são verdadeiras a seguintes afirmações:

1. 1|a, 1 divide qualquer inteiro.
2. a|a
3. Se a|b e b|c, então a|c.
4. Se a|b e c|d, então ac|bd.
5. Se a|b, então b/a | b
6. Se a|b, então a|mb ∀ m ∈ Z. Se a divide b, então a divide qualquer múltiplo de b.
7. Se a|b e a|c, então a|(mb + nc) ∀ m, n ∈ Z.
8. Se a|b e a|(b + c), então a|c.

Múltiplos naturais de um número

A palavra múltiplo está ligada à operação de multiplicação. Veja o esquema abaixo para encontrar os múltiplos naturais do número 4.

Portanto, um número natural a é múltiplo de um número natural b, com b ≠ 0, quando a for divisível por b ou b for divisor de a.

Logo, M(b) é chamado de conjunto dos múltiplos de b.

Ser múltiplo de é o mesmo que ser divisível por.

O número 448 é múltiplo de 4, ou seja, 448 é divisível por 4.

Divisores

Se quisermos saber quais são os divisores do número 50, primeiro devemos pensar quais os números que dividem 50 e deixa resto zero? Seguindo os critérios de divisibilidade, podemos inferir que o número 50 por terminar em zero, é divisível por 2 (pois é par), por 5 (por terminar em 0) e por 10 (por terminar em 0). Além disso, o número 50 também pode ser divisível por 1 e pelo próprio 50. Ainda tem mais, quando dividimos 50 por 2 encontramos 25, logo 25 x 2 = 50. Portanto, 25 também é um divisor de 50. Finalmente, podemos escrever todos dos divisores de 50 assim:

D(50) = {1, 2, 5, 10, 25, 50}

Os divisores de um número sempre começam com 1 e terminam no próprio número.

D(a) = {1, x, y, …, a}

Em Química se estuda o que são substâncias simples e compostas, enquanto as substâncias simples não se decompõem originando outras quando submetidas a agentes físicos, as substâncias compostas, por ação de um agente físico, sofrem reação de decomposição, originando duas ou mais substâncias.

Por exemplo:

• Cloreto de prata →(agente físico: luz) → prata + cloro
• Carbonato de cálcio →(agente físico: aquecimento) → óxido de cálcio + dióxido de carbono

Essa analogia se encaixa perfeitamente quando o assunto são os números primos. No universo dos números, encontramos aqueles que são compostos e aqueles que são “simples”. Usando números simples podemos construir números compostos.

Os números primos são os blocos de construção de todos os outros números. Estes números enigmáticos guardam um segredo que até hoje nenhum matemático foi capaz de descobrir. O fato de não haver uma fórmula mágica que nos conduza de um primo ao próximo deixa qualquer um, que se debruce sobre esse tema, intrigado.

Tome por exemplo, o número 210. Este número é claramente divisível por 5. Portanto, podemos escrever 210 = 5 x 42. O número 5 é indivisível, 42 não é. Podemos escrever 42 = 3 x 14. Novamente temos o número 3 que é indivisível, mas 14 não é. Continuando podemos escrever 14 = 2 x 7. E finalmente, temos que 210 = 2 x 3 x 5 x 7. Os blocos construtivos do número 210 são 2, 3, 5 e 7, além disso, essa escrita é única. Nenhum outro número pode ser escrito dessa forma senão o 210. É como um DNA.

Como saber se um número é primo ou não?

Um número é dito primo se seus únicos divisores forem 1 e ele próprio.

Veja na tabela acima que os números que possuem apenas dois divisores, sendo 1 e o próprio número, são considerados números primos. Matemáticos de todas as épocas buscaram incansávelmente, uma lei que mostrasse todos os números primos. No entanto, o que se conseguiu foram artifícios que encontram primos numa faixa de intervalos.

Crivo de Eratóstenes

O crivo de Eratóstenes é um dispositivo que permite encontrar números primos num certo intervalo. Na tabela abaixo destacamos os números primos no intervalo [1,250].

Para encontrar os números primos procedemos assim:

• O primeiro número da tabela é o número 2 e este é primeiro primo. Em seguida riscamos todos os números que são múltiplos de 2. Serão todos os números pares.
• O próximo número não riscado é o 3. Este número também é primo. Em seguida riscamos todos aqueles números que são múltiplos de 3.
• O próximo número não riscado é o 5 que também é um número primo. Conforme fizemos com os números anteriores, riscamos todos os números que são múltiplos de 5.
• O primeiro número maior do que 5 e que não foi riscado é o 7, que é primo, portanto riscamos os demais múltiplos de 7 na tabela.
• Ao término desse processo, os números que não foram riscados são todos primos.

Veja como a disposição dos números primos não é regular. Note que a diferença de dois primos consecutivos, com exceção de 2 e 3, é de no mínimo 2.

Quando dois primos consecutivos diferem de 2, eles são chamados de primos gêmeos.

Consultando a tabela do crivo de Eratóstenes acima, podemos destacar os pares de primos gêmeos.

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19),(29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73),
(101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193),
(197, 199), (227, 229), (239, 241).