Livro de Matemática

Sumário

Anéis

Em álgebra, um anel é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto não vazio de elementos, juntamente com duas operações binárias, geralmente denotadas como adição e multiplicação, (A, +, .). Um anel deve satisfazer certas propriedades para ser considerado um anel.
Formalmente, um anel é um conjunto A equipado com duas operações binárias, denotadas usualmente como “+” (adição) e “⋅” (multiplicação), que satisfazem as seguintes propriedades:

  1. Fechamento sob adição: Para todo a e b em A, a + b está em A.
  2. Associatividade da adição: Para todo a, b e c em A, (a + b) + c = a + (b + c).
  3. Elemento neutro da adição: Existe um elemento 0 em A tal que a + 0 = 0 + a = a, para todo a em A.
  4. Elemento inverso aditivo: Para cada a em A, existe um elemento -a em A tal que a + (-a) = (-a) + a = 0.
  5. Comutatividade da adição: Para todo a e b em A, a + b = b + a.
  6. Fechamento sob multiplicação: Para todo a e b em A, a ⋅ b está em A.
  7. Associatividade da multiplicação: Para todo a, b e c em A, (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c).
  8. Distributividade: Para todo a, b e c em A, a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c) e (b + c) ⋅ a = (b ⋅ a) + (c ⋅ a).

Não é necessário que a multiplicação seja comutativa em um anel. No entanto, se a multiplicação também for comutativa, ou seja, a ⋅ b = b ⋅ a para todo a e b em A, então o anel é chamado de anel comutativo.
Além disso, um anel pode ter outras propriedades adicionais, como a existência de um elemento neutro da multiplicação (denotado por 1) e a ausência de divisores de zero (elementos diferentes de zero que, quando multiplicados, resultam em zero). Dependendo dessas propriedades adicionais, o anel pode ser classificado em diferentes tipos, como anel comutativo, anel unitário, anel integral, entre outros.

Exemplos de anéis

  1. Os conjuntos numéricos: ℤ, ℚ, ℝ e ℂ
  2. Anel das matrizes quadradas de ordem n.
  3. Anel dos polinômios
  4. Anel de funções
  5. Anel das classes de restos módulo m, Zm.
  6. Anel produto direto. (AxB, +, .).

Subanéis

Subanel é um subconjuntos de um anel. Veja na imagem abaixo a representação dos conjuntos numéricos.
Sistema de numeração
Veja que o conjunto dos inteiros está contido no conjunto dos racionais, logo é subconjunto deste. Sendo ℤ e ℚ anéis, podemos dizer que ℤ é subanel de ℚ.

Seja (A,+,.) um anel qualquer e (B,+,.) um subconjunto não vazio de A. Para que B seja considerado um subanel de A é necessário que x – y e x.y ∈ B, ∀ x, y ∈ B.

Lógica matemática

O que você vai estudar:
    1. Definição

Introdução à lógica

O estudo da lógica é de extrema importância para o entendimento e validação do raciocínio. O emprego da lógica nos fornece rigor de pensamento e linguagem permitindo que a estrutura dos argumentos utilizados esteja bem definida. Tomemos como exemplo a linguagem científica e a linguagem cotidiana. A linguagem cotidiana tem a função de comunicação, além disso visto ser a sociedade uma estrutura dinâmica, as palavras vão adquirindo novos significados com o passar do tempo. São usadas gírias e expressões que variam dependendo da região do país. No contexto da linguagem matemática e científica, necessitamos que os termos utilizados sejam fixos, que não sofra variação com a localização nem com o tempo. Portanto, é natural que a linguagem matemática e científica se distancie um pouco da linguagem cotidiana.

Veja o exemplo do uso da conjunção “ou”. Em linguagem cotidiana a palavra “ou” tem o sentido de exclusão, já na linguagem matemática a palavra “ou” possui sentido de reunião, “soma”. O nosso foco será na lógica formal que tem seu estudo direcionado ao uso de proposições.

Princípios da lógica clássica

Princípio da identidade
“Toda proposição é idêntica a si mesma.”

Princípio da Não contradição
“Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.”

Princípio do terceiro excluído
“Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, não existindo um terceiro valor.”

Formas de raciocíno lógico

De início necessitaremos de uma premissa, uma conclusão e uma regra segundo a qual a premissa implica a conclusão.

O que desejamos determinar? Tipo de raciocínio O que utilizamos Partida Chegada
Conclusão Dedução
(Lógica matemática) 		regra e premissa Situações gerais Situação particular
Regra Indução
(Cientistas)		 premissa e conclusão Situação particular Situação universal
Premissa Abdução
(Pessoas comuns)		 regra e conclusão    

Proposição

É um enunciado de sentido completo, ou seja, qualquer sentença declarativa (não interrogativa, nem exclamativa) que assume um e somente um dentre os valores lógicos: Verdadeiro ou Falso.

Nota:

Uma proposição pode ser um conjunto de palavras ou símbolos.
Palavras: Fortaleza é a capital do Ceará.
Símbolos: ∃ x ∈ Z, 3|x e 4|x

Uma proposição é chamada de simples quando for formada por uma única setença.
Exemplos:

a) Marcelo é programador.
b) O número 16 é múltiplo de 4.
c) Fortaleza não é a capital de Minas Gerais.

Uma proposição é composta quando for formada por duas ou mais proposições simples ligadas por meio de conectivos.
Exemplos:

a) Fernando é matemático, e Matheus seguiu a carreira de medicina.
b) Marta foi ao supermercado e Lucas ficou em casa.
c) Se Carlos é poliglota, então fala várias línguas.
d) Só haverá diminuição da violência se a educação for prioridade governamental.

Conectivos proposicionais

Vamos trabalhar com 5 conectivos sendo: e(^), ou(∨), ou… ou… (⊻), se…, então … (→), se, e somente se (↔), não(~ ou ¬).

Símbolo Classificação
^ e Conjunção
∨ ou Disjunção
⊻ ou… ou…  
→ se…, então… Condicional
↔ se, e somente se Bicondicional
~ (¬) não Negação

Conjunção

a) 4 é um número par e Roma é a capital da Itália.
b) Marta foi ao supermercado e Lucas ficou em casa.

Disjunção

a) Marcone será fuzileiro naval ou seguirá a carreira de dentista.
b) Fevereiro é o segundo mês do ano ou 4 + 5 = 7.

Condicional

a) Se não nos alimentarmos, morreremos.
b) Se Alberto é o filho mais velho, então Gabriel é o filho mais novo.

Bicondicional

a) Ganharás o dinheiro, se e somente se, completares o trabalho.
b) A grama está molhada se e somente se hoje choveu.

Tabela-Verdade

A tabela-verdade é um instrumento no qual figuram todas as combinações dos valores-verdade de uma proposição. Já aprendemos que uma proposição simples pode ser verdadeira ou falsa. Portanto a tabela-verdade de uma proposição simples será:

P
V
F

Note que quando há duas proposições simples p e q a tabela-verdade se torna maior. No caso de duas proposições a tabela terá 4 linhas.

    Conjunção Disjunção Disjunção (exclusiva) Condicional Bicondicional
p q p ^ q p ∨ q p ⊻ q p → q p ↔ q
V V V V F V V
V F F V V F F
F V F V V V F
F F F F F V V

Para sabermos quantas linhas terá a tabela-verdade de uma proposição composta devemos usar a fórmula 2n onde n será a quantidade de proposições simples. Portanto, uma proposição composta de 3 proposições simples terá uma tabela com 23 = 8 linhas. É fácil perceber que quanto mais proposições existirem mais complexa se tornará a tabela-verdade.

Linguagem natural e simbólica

Em Matemática, procuramos sempre abstrair o problema afim de criarmos uma estrutura que se aplique a qualquer situação. No escopo da lógica faremos o mesmo. Vamos atribuir a cada sentença declarativa uma letra minúscula do alfabeto.
Exemplos:

p: Rodrigo é forte.
q: Jeremias é sedentário.
r: Cleber é rico.

Agora usando os conectivos aprendidos, vamos escrever em linguagem simbólica as seguintes proposições compostas.

a) Rodrigo é forte e Jeremias é sedentário.

p ^ q

b) Cleber é rico ou Jeremias não é sedentário.

r ∨ ~q

c) Se Jeremias é sedentário, então Cleber é rico.

q → r

d) Ou Rodrigo não é forte, ou Cleber não é rico.

~p ⊻ ~r

e) Rodrigo é forte se e somente se Cleber não é rico.

p ↔ ~r

Proposições equivalentes

Duas proposições são equivalentes quando suas tabelas-verdade forem iguais.
Exemplo:

p ⇔ ~~p

Atenção: ⇔ é diferente de ↔.
P ~P ~~P
V F V
F V F

Vamos verificar se a proposição p → p ^ q ⇔ p → q :

p q p ^ q p → (p ^ q) p → q
V V V V V
V F F F F
F V F V V
F F F V V

Portanto comprovamos que p → p ^ q ⇔ p → q, pois as colunas de p → p ^ q e p → q são iguais.

Tautologia, contradição e contingência

Durante o estudo das proposições compostas, vamos nos deparar com situações em que as proposições serão sempre verdadeiras ou sempre falsas independentemente do valor lógico das proposições simples que as compõe.

Tautologia

Quando uma proposição composta é sempre verdadeira, temos uma tautologia.
Exemplo:

a) Veja que a proposição p ∨ ~p é uma tautologia.

p ~p p ∨ ~p
V F V
F V V

b) Veja que a proposição (p ^ ~p)→(q ∨ p) é uma tautologia.

p q ~p p ^ ~p q v p (p ^ ~p)→(q ∨ p)
V V F F V V
V F F F V V
F V V F V V
F F V F F V

Contradição

Quando uma proposição composta é sempre falsa, temos uma contradição.
Exemplos:

a) A proposição p ^ ~p é uma contradição.

p ~p p ^ ~p
V F F
F V F

b) A proposição (p ∨ ~q) ↔ (~p ^ q) é uma contradição.

p q ~p ~q p v ~q ~p ^ q (p ∨ ~q) ↔ (~p ^ q)
V V F F V F F
V F F V V F F
F V V F F V F
F F V V V F F

Contingência

Tem-se uma contingência quando o valor lógico de uma proposição composta pode ser verdadeiro ou falso dependendo do valor lógico de suas proposições simples. Portanto, quando não for nem uma tautologia, nem uma contradição, estaremos diante de uma contingência.

Exemplos:

a) A proposição (p ∨ q)→(p ^ q) é uma contingência.

p q p v q p ^ q (p ∨ q)→(p ^ q)
V V V V V
V F V F F
F V V F F
F F F F V

Implicação lógica

Dadas uma proposição P(p,q,r…) e Q(p,q,r…) onde {p,q,r…} são proposições simples, dizemos que P ⇒ Q se todas as vezes que P for verdadeiro Q também for verdadeiro.

Veja na tabela abaixo as principais regras de implicação lógica.

p ⇒ p ∨ q Adição
p ^ q ⇒ p Simplificação
p ^ q ⇒ q
(p ∨ q) ^ ~p ⇒ q Silogismo disjuntivo
(p ∨ q) ^ ~q ⇒ p
(p → q) ^ p ⇒ q Modus Ponens
(p → q) ^ ~q ⇒ ~p Modus Tollens
(p → q) ^ (q → r) ⇒ p → r Silogismo hipotético
p ^ ~p → f Princípio da inconsistência

Vamos provar algumas das implicações lógicas acima.

1) Adição

p: Vou ao shopping.
q: Vou ao clube.

p ⇒ p ∨ q
No caso acima, P(q) e Q(p,q), então podemos concluir que P ⇒ Q? Vamos construir a tabela-verdade.

p q p v q
V V V
V F V
F V V
F F F

Note que toda vez que p é verdadeiro p v q também é, logo p ⇒ p v q.

2) Simplificação

p: Vou ao shopping.
q: Vou ao clube.

p ^ q ⇒ p
No caso acima, P(p,q) e Q(p), então podemos concluir que P ⇒ Q? Vamos construir a tabela-verdade.

p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F

Equivalência lógica

Dadas duas proposições compostas P(p,q,r…) e Q(r,s,t…), dizemos que P é equivalente a Q, podemos também escrever assim: P ⇔ Q, quando suas tabelas-verdade forem rigorosamente iguais.
Como exemplo tem-se que p → q ⇔ ~ p ∨ q.

p q ~p p → q ~p ∨ q
∨ ∨ F ∨ ∨
∨ F F F F
F ∨ ∨ ∨ ∨
F F ∨ ∨ ∨

Equivalências lógicas mais comuns

Comutativa p ^ q ⇔ q ^ p
Comutativa p ∨ q ⇔ q ∨ p
Associativa (p ^ q) ^ r ⇔ p ^ (q ^ r)
Associativa (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
Idempotente p ^ p ⇔ p
Idempotente p ∨ p ⇔ p
Absorção p ^ (p ∨ q) ⇔ p
Absorção p ∨ (p ^ q) ⇔ p
Lei de Morgan ~(p ∨ q) ⇔ ~ p ^ ~ q
Lei de Morgan ~(p ^ q) ⇔ ~ p ∨ ~ q
Def implicação p → q ⇔ ~p ∨ q
Negação ~(p → q) ⇔ p ^ ~q
Def implicação p → q ⇔ ~(p ^ ~q)
Def bicondicional p ↔ q ⇔ (p → q) ^ (q → p)
Negação ~(p ↔ q) ⇔ (p ^ ~q) ∨ (q ^ ~p)
Def bicondicional p ↔ q ⇔ (~p ∨ q) ^ (~q ∨ p)

Exemplo: ~(p ^ q) ⇔ ~p ∨ ~q (Lei de De Morgan)
Não é verdade que gosto de vinho e gosto de chocolate. ⇔ Não gosto de vinho ou não gosto de chocolate.

p q ~p ~q p ^ q ~(p ^ q) ~p ∨~ q
∨ ∨ F F ∨ F F
∨ F F ∨ F ∨ ∨
F ∨ ∨ F F ∨ ∨
F F ∨ ∨ F ∨ ∨

Propriedades das equivalências lógicas

  1. Se P(p,q,r…) e Q(r,s,t,…) são ambas tautológicas, então P e Q são equivalentes.
  2. Se P(p,q,r…) e Q(r,s,t,…) são ambas contradições, então P e Q são equivalentes.
  3. p ⇔ p (reflexiva)
  4. Se p ⇔ q então q ⇔ p (simétrica)
  5. Se p ⇔ q e q ⇔ r então p ⇔ r (transitiva)

Proposições associadas a uma condicional

p → q
Proposição recíproca q → p
Proposição contrária ~p → ~q
Proposição contrapositiva ~q → ~p

Qual dessas três proposições na tabela é equivalente à proposição p → q?

Vamos fazer a tabela-verdade de cada uma delas e assim verificaremos quais são equivalentes a p → q.

p q p → q q → p ~p ~q ~p → ~q ~q → ~p
∨ ∨ ∨ ∨ F F ∨ ∨
∨ F F ∨ F ∨ ∨ F
F ∨ ∨ F ∨ F F ∨
F F ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨

Aritmética

O que você vai estudar:
  1. Origens dos números
  2. Sistemas de numeração
  3. Os números naturais

Os números naturais

O conjunto dos números naturais, representados pelo símbolo N, é o mais simples de todos os conjuntos numéricos. Os elementos desse conjunto se encontram diluídos no nosso cotidiano de tal forma que nem nos damos conta deles. Veja na lista abaixo como usamos o conjunto dos números naturais no nosso dia-a-dia.

  • você possui (6) produtos adicionados ao seu carrinho de compras;
  • endereço: rua José Alves Marinho, (56) Esmeraldas;
  • (3) séries de (15) repetições no supino reto.

Percebeu, como os números são ferramentas indispensáveis na nossa vida? Abaixo você pode ver a representação do conjunto dos números naturais.
ℕ = {0,1,2,3,…}
ℕ* = {1,2,3,…}
O símbolo ℕ* representa o conjunto dos naturais sem o elemento zero, ou seja, ℕ-{0}.
É fácil perceber que os números que referenciamos na lista acima se encontram dentro do conjunto ℕ. Além disso, a quantidade de elementos do conjunto ℕ é infinita e deixamos isso evidente por meio das reticências (…).

ℕ = { 1, 2, 3, 4, … }
A = { 2, 4, 6, 8, … }

Note que podemos utilizar o conjunto dos naturais para contar subconjuntos dele próprio. O conjunto A acima representa o conjunto dos números naturais pares. Além disso, perceba que é possível associar a todo elemento de A um único elemento de ℕ. Dessa forma, A é obtido por meio de uma relação onde sua lei pode ser escrita como f(x) = 2x, no qual x é qualquer elemento de ℕ.

ℕ = { 1, 2, 3, 4, … }
B = { 2, 3, 4, 5, … }

O que podemos perceber observando o conjunto B em relação ao conjunto ℕ? Note que cada elemento de B é o sucessor de um elemento em ℕ. Ou seja, a relação envolvida é S(n) = n + 1, onde n ∈ ℕ.

Ordem

Existe alguma ordem entre os elementos do conjunto ℕ?

… → a → … → b → …

No esquema acima, o elemento a aparece antes do elemento b. Quando isso ocorre escrevemos a < b, e utilizamos o símbolo <, para dizer que a é menor do que b. Também podemos escrever b > a, informando que b é maior do que a. Lembre-se de que a e b podem assumir qualquer valor. Por exemplo:

1 < 3 15 < 18 30 > 10

Propriedades da relação de ordem
Dados a, b ∈ ℕ tem-se que:
Se a ≤ b ↔ ∃ m ∈ ℕ, tal que b = a + m. Note que a < b ↔ ∃ m ∈ ℕ-{0}, tal que b = a + m.

  • a ≤ a, ∀ a ∈ ℕ (prop. reflexiva)
  • Se a ≤ b e b ≤ a → a = b (prop. anti-simétrica)
  • Se a ≤ b e b ≤ c → a ≤ c ∀ a, b e c ∈ ℕ (prop. transitiva)
  • Se a ≤ b → a + c ≤ b + c ∀ c ∈ ℕ
  • Se a ≤ b → ac ≤ bc ∀ c ∈ ℕ
Lei da tricotomia

Para qualquer a, b ∈ ℕ, temos que uma, e apenas uma, das relações abaixo acontecem:

a < b, a = b ou a > b

Dados a e b ∈ ℕ com a < b podemos formar os seguintes intervalos:
[a,b] o conjunto dos números naturais x tais que a ≤ x ≤ b.
(a,b) o conjunto dos números naturais x tais que a < x < b.
Os intervalos acima são chamados de intervalo fechado e aberto, respectivamente.
(a,b] o conjunto dos números naturais x tais que a < x ≤ b.
[a,b) o conjunto dos números naturais x tais que a ≤ x < b.
Já estes podem ser chamados de semiabertos ou semifechados.
Por exemplo:
O intervalo (2,6) = {3,4,5}, ou seja, não são incluídos os extremos, pois o intervalo é aberto.
O intervalo (4,7] = {5,6,7}. Por ser fechado à direita o elemento 7 está incluso.

Princípio da boa ordem:
Todo subconjunto não vazio de ℕ, possui um menor elemento.
Dado um subconjunto A de ℕ, ∃ m ∈ A, tal que m ≤ b, ∀ b ∈ A.
Esse elemento m é chamado mínimo de A e será indicado por m = min A. Se o subconjunto A possuir mínimo, este é único. Por exemplo, o mínimo do conjunto C = {1, 3, 5, 7, …} é 1.
Pode ocorrer também de um conjunto possuir máximo. Dado um conjunto D ⊂ ℕ, D ≠ ∅, se existir um elemento M ∈ D, tal que x ≤ M, ∀ x ∈ D, então M é chamado de máximo de D. Além disso, M é único. Por exemplo, o conjunto E = [2,8] ⊂ ℕ possui M = 8, pois todo elemento tomado de E é menor ou igual a 8. Por outro lado o conjunto {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …} não possui máximo.

Segue abaixo algumas propriedades necessárias sobre o conteúdo abordado.

  • a ≤ b e b < c → a < c
  • a < b → a + c < b + c
  • a + c ≤ b + c → a ≤ b
  • (a ≤ b e c ≤ d) → a + c ≤ b + d
  • (a < b e c ≠ 0) → ac < bc
  • (a < b e c ≤ d) → a + c < b + d
  • c ≤ b → a(b – c) = ab – ac

Adição em N

A adição no conjunto dos números naturais é um processo bastante simples.

… → a → a + 1 → a + 2 → … → a + b

Dado um número a qualquer natural, vamos deslocá-lo b posições para a direita, dessa forma, obtemos o número a + b. A essa operação (deslocar a, b posições para a direita) damos o nome de adição, o número a + b é chamado de soma de a e b, enquanto os números a e b são chamados de parcelas.
Por exemplo, dados a = 4 e b = 2, vamos deslocar a de duas posições para a direita, obtendo a sequência

4,   4 + 1 = 5,   5 + 1 = 6

Propriedades da adição em ℕ

  • a + (b + c) = (a + b) + c, ∀ a, b, c ∈ ℕ (associativa)
  • a.(b + c) = ab + ac (distributiva)
  • a + b = b + a, ∀ a, b ∈ ℕ (comutativa)
  • a + 0 = 0 + a = a, ∀ a ∈ ℕ (existência do elemento neutro)
  • b + a = c + a → b = c (lei do cancelamento)
Observação:

O conjunto ℕ é fechado com relação a operação de adição, ou seja, a soma de quaisquer dois números naturais será um número natural. Porém, esse conjunto não é fechado em relação a subtração, já que 4 – 9 = -5, e o número -5 não pertence ao conjunto ℕ.

Mesmo que a subtração não esteja definida no conjunto ℕ ainda podemos utilizá-la seguindo alguns critérios.
Dados dois números naturais a e b tais que a ≤ b, o número de saltos para a direita partindo de a para atingir b será representado por b – a e recebe o nome de diferença entre b e a. Por exemplo, dados a = 4 e b = 9, é preciso deslocar 4 para a direita de 5 posições para alcançar 9, logo 9 – 4 = 5.
Por fim, pela definição de b – a, tem-se que

a + (b – a) = b

O número b – a é também o quanto devemos deslocar b para a esquerda para alcançar a. É interessante perceber que o número b – a nos informa a quantidade de números que são maiores ou iguais a a e menores ou iguais a b.

a + 0,   a + 1,   a + 2, … a + (b – a) = b
             
5   6   7 … 5 + (17 – 5) = 17

Note que entre 5 e 17 existem 12 números maiores ou iguais a 5 e menores ou iguais a 17, ou seja, o intervalo fechado [5,17] possui (17 – 5) + 1 elementos. Generalizando, podemos dizer que o intervalo [a,b] possui (b – a)+1 elementos. Fique atento ao seguinte: 17 – 5 = 12, ou seja, são necessários 12 saltos a partir de 5 para atingir 17.

1 2 3 4 5 … 20