Observe as tarefas abaixo:
Tarefa 1: 5 x 5 x 5 x 5 = 625
Tarefa 2: 4 x 4 x 4 = 64
Isso nos faz lembrar de algo que já fizemos, certo? Você deve se lembrar que a sucessão de somas 3 + 3 + 3 + 3 = 12 pode ser escrita de forma abreviada 4 x 3 = 12. Pelo mesmo motivo, as tarefas acima podem ser escritas de forma abreviada. Esse recurso é muito útil, principalmente, quando envolve uma grande quantidade de fatores.
Tarefa 1: 54 = 625
Tarefa 2: 4³ = 64
an = | ![]() |
|
Legenda:
a = base
n = expoente
n indica quantas vezes se deve repetir a base.
As potências gozam de algumas propriedades importantes, são elas:
|
= | am – n |
(CE* : a ≠ 0 e m ≥ n)
* Condição de Existência
|
|
(CE: b ≠ 0)
As propriedades com fundo vermelho não estão definidas no conjunto ℕ, já que o resultado não é um número natural.
É possível também escrever a potência de uma soma.
(a + b)n
Este conteúdo pode ser visto aqui.
Muitos processos em matemática envolvem a “ida →” e a “← volta”.
Tarefa: 2 x 2 x 2 = 8, 2³ = 8.
Partimos de 2³ e chegamos em 8. Como fazer o percurso contrário? Para isso devemos pensar em qual o número que elevando a 3 resulta em 8. Sabemos que este número vale 2.
A radiciação é a operação que resolve problemas como esse. Podemos dizer que a radiciação é a operação inversa da potenciação. Vamos generalizar:
Dados b, n ∈ ℕ, com n ≥ 1, chama-se raiz enésima de b o número a tal que an = b.
a x a x a x … x a = an = b
Neste contexto ficamos bastante limitados ao falar sobre as propriedades da radiciação, porque muitos dos resultados estarão fora do escopo de ℕ.
Você saberia dizer sem efetuar a divisão, se o número 69.534 é divisível por 9? Ou se o número 106.517 é divisível por 4? Sem a ajuda de um mecanismo automatizado, a verificação da divisibilidade de um número natural por outro, quando feita pela divisão, é morosa e demorada. Entretanto, para alguns números, existem regras práticas que nos permitem verificar, rapidamente e sem efetuar a divisão, se um número natural é ou não é divisível por outro número natural. Essas regras recebem o nome de critérios de divisibilidade.
Abaixo está listada, como uma receita, os critérios de divisibilidade que podem ser verificados um a um pelo leitor.
1º – efetuamos a soma dos algarismos alternados do número 3.927, assim: 3 + 2 = 5 e 9 + 7 = 16.
2º – Agora encontramos a diferença entre os dois resultados, 16 – 5 = 11.
Visto que o valor encontrado é um número divisível por 11, então 3.927 é divisível por 11.
De forma genérica consideremos a, b, c, d ∈ Z, são verdadeiras a seguintes afirmações:
A palavra múltiplo está ligada à operação de multiplicação. Veja o esquema abaixo para encontrar os múltiplos naturais do número 4.
ℕ = { | 0, | 1, | 2, | 3, | 4, | 5, | … | } |
M(4) = { | 0, | 4, | 8, | 12, | 16, | 20, | … | } |
Portanto, um número natural a é múltiplo de um número natural b, com b ≠ 0, quando a for divisível por b ou b for divisor de a.
Logo, M(b) é chamado de conjunto dos múltiplos de b.
ℕ = { | 0, | 1, | 2, | 3, | 4, | … | } |
M(b) = { | b x 0, | b x 1, | b x 2, | b x 3, | b x 4, | … | } |
Ser múltiplo de é o mesmo que ser divisível por.
O número 448 é múltiplo de 4, ou seja, 448 é divisível por 4.
Se quisermos saber quais são os divisores do número 50, primeiro devemos pensar quais os números que dividem 50 e deixa resto zero? Seguindo os critérios de divisibilidade, podemos inferir que o número 50 por terminar em zero, é divisível por 2 (pois é par), por 5 (por terminar em 0) e por 10 (por terminar em 0). Além disso, o número 50 também pode ser divisível por 1 e pelo próprio 50. Ainda tem mais, quando dividimos 50 por 2 encontramos 25, logo 25 x 2 = 50. Portanto, 25 também é um divisor de 50. Finalmente, podemos escrever todos dos divisores de 50 assim:
D(50) = {1, 2, 5, 10, 25, 50}
Os divisores de um número sempre começam com 1 e terminam no próprio número.
D(a) = {1, x, y, …, a}
Em Química se estuda o que são substâncias simples e compostas, enquanto as substâncias simples não se decompõem originando outras quando submetidas a agentes físicos, as substâncias compostas, por ação de um agente físico, sofrem reação de decomposição, originando duas ou mais substâncias.
Por exemplo:
• Cloreto de prata →(agente físico: luz) → prata + cloro
• Carbonato de cálcio →(agente físico: aquecimento) → óxido de cálcio + dióxido de carbono
Essa analogia se encaixa perfeitamente quando o assunto são os números primos. No universo dos números, encontramos aqueles que são compostos e aqueles que são “simples”. Usando números simples podemos construir números compostos.
Os números primos são os blocos de construção de todos os outros números. Estes números enigmáticos guardam um segredo que até hoje nenhum matemático foi capaz de descobrir. O fato de não haver uma fórmula mágica que nos conduza de um primo ao próximo deixa qualquer um, que se debruce sobre esse tema, intrigado.
Tome por exemplo, o número 210. Este número é claramente divisível por 5. Portanto, podemos escrever 210 = 5 x 42. O número 5 é indivisível, 42 não é. Podemos escrever 42 = 3 x 14. Novamente temos o número 3 que é indivisível, mas 14 não é. Continuando podemos escrever 14 = 2 x 7. E finalmente, temos que 210 = 2 x 3 x 5 x 7. Os blocos construtivos do número 210 são 2, 3, 5 e 7, além disso, essa escrita é única. Nenhum outro número pode ser escrito dessa forma senão o 210. É como um DNA.
Como saber se um número é primo ou não?
Um número é dito primo se seus únicos divisores forem 1 e ele próprio.
Número | Divisores |
---|---|
0 | 1,2,3,4,… |
1 | 1 |
2 | 1,2 |
3 | 1,3 |
4 | 1,2,4 |
5 | 1,5 |
6 | 1,2,3,6 |
7 | 1,7 |
8 | 1,2,4,8 |
9 | 1,3,9 |
Número | Divisores |
---|---|
10 | 1,2,5,10 |
11 | 1,11 |
12 | 1,2,3,4,6,12 |
13 | 1,13 |
14 | 1,2,7,14 |
15 | 1,3,5,15 |
16 | 1,2,4,8,16 |
17 | 1,17 |
18 | 1,2,3,6,9,18 |
19 | 1,19 |
Veja na tabela acima que os números que possuem apenas dois divisores, sendo 1 e o próprio número, são considerados números primos. Matemáticos de todas as épocas buscaram incansávelmente, uma lei que mostrasse todos os números primos. No entanto, o que se conseguiu foram artifícios que encontram primos numa faixa de intervalos.
O crivo de Eratóstenes é um dispositivo que permite encontrar números primos num certo intervalo. Na tabela abaixo destacamos os números primos no intervalo [1,250].
Para encontrar os números primos procedemos assim:
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 |
24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 |
35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 |
46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 |
57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 |
68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 |
79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 |
90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 |
101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 |
112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 |
123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 |
134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 |
145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 |
156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 |
167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 |
178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 |
189 | 190 | 191 | 192 | 193 | 194 | 195 | 196 | 197 | 198 | 199 |
200 | 201 | 202 | 203 | 204 | 205 | 206 | 207 | 208 | 210 | 211 |
212 | 213 | 214 | 215 | 216 | 217 | 218 | 219 | 220 | 221 | 222 |
223 | 224 | 225 | 226 | 227 | 228 | 229 | 230 | 231 | 232 | 233 |
234 | 235 | 236 | 237 | 238 | 239 | 240 | 241 | 242 | 243 | 244 |
245 | 246 | 247 | 248 | 249 | 250 |
Veja como a disposição dos números primos não é regular. Note que a diferença de dois primos consecutivos, com exceção de 2 e 3, é de no mínimo 2.
Primos | Saltos | Qtd Números |
---|---|---|
2-3 | 1 | 0 |
3-5 | 2 | 1 (4) |
5-7 | 2 | 1 (6) |
7-11 | 4 | 3 (8, 9, 10) |
11-13 | 2 | 1 (12) |
13-17 | 4 | 3 (14, 15, 16) |
17-19 | 2 | 1 (18) |
19-23 | 4 | 3 (20, 21, 22) |
23-29 | 6 | 5 (24, 25, 26, 27, 28) |
29-31 | 2 | 1 (30) |
Quando dois primos consecutivos diferem de 2, eles são chamados de primos gêmeos.
Consultando a tabela do crivo de Eratóstenes acima, podemos destacar os pares de primos gêmeos.
(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19),(29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73),
(101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193),
(197, 199), (227, 229), (239, 241).
Todo número natural não primo, maior que 1, pode ser escrito na forma de uma multiplicação onde todos os fatores são números primos. Veja o número 72 escrito na forma fatorada.
72 | 2 |
36 | 2 |
18 | 2 |
9 | 3 |
3 | 3 |
1 | |
Portanto:
72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 2³ x 3²
A esse processo de escrever um número em fatores primos damos o nome de decomposição em fatores primos, que consiste em:
Dado a ∈ ℤ, chamamos de N(a) o número de divisores positivos de a.
Tal definição inclui entre os divisores de a os valores 1 e |a|. No caso de a ser primo, teremos N(a) = 2.
Para o caso de um número composto temos:
a | = | p | n1 | . | p | n2 | . | … | . | p | nr |
1 | 2 | r |
Logo, N(a) = (n1 + 1) . (n2 + 1) . … . (nk + 1).
Fatorando 12 encontramos 12 = 2² . 3¹.
N(12) = (2 + 1) . (1 + 1) = 3 . 2 = 6
Logo, 12 possui 6 divisores.
3.900 = 2² . 3¹ . 5² . 13¹
N(3.900) = (2 + 1) . (1 + 1) . (2 + 1) . (1 + 1) = 3 . 2 . 3 . 2 = 36
Logo, 3.900 possui 36 divisores.
Consideremos a seguinte situação:
Escreva o conjunto dos múltiplos dos números naturais 15 e 20.
M(15) = { 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, …}
M(20) = { 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, …}
Note que os elementos de ambos os conjuntos tendem ao infinito. Além disso, alguns elementos coincidem, como o número 60 e o número 120, se continuarmos o processo encontraremos outros números coincidentes. Portanto, não nos interessa saber qual o maior múltiplo comum entre 15 e 20, pois sempre será possível encontrar um número maior. O que nos interessa, na verdade, é saber qual o menor múltiplo comum entre 15 e 20. Neste caso, podemos notar que é 60.
Portanto o M.M.C.(15,20) = 60.
A obtenção do M.M.C. através de conjuntos se torna trabalhoso. Para agilizar esse processo podemos lançar mão da decomposição em fatores primos.
15, | 20 | 2 |
15, | 10 | 2 |
15, | 5 | 3 |
5, | 5 | 5 |
1, | 1 | |
A fatoração simultânea de 15 e 20 resulta em 2² x 3 x 5 = 60. Logo, 60 é o M.M.C. de 15 e 20.
Qual o M.M.C. entre 6, 8 e 12?
6, | 8, | 12 | 2 |
3, | 4, | 6 | 2 |
3, | 2, | 3 | 2 |
3, | 1, | 3 | 3 |
1, | 1, | 1 | |
M.M.C.(6,8,12) = 2³ x 3 = 24
Vamos escrever o conjunto dos divisores dos números naturais 15 e 20.
D(15) = { 1, 3, 5, 15 }
D(20) = { 1, 2, 4, 5, 10, 20 }
Note que o conjunto dos divisores de um número natural é finito. Também notamos que o número 1 é o menor divisor comum de qualquer número natural, o que não é relevante nesse contexto. O que nos interessa é o maior divisor comum.
Neste caso em particular o Maior Divisor Comum entre 15 e 20 vale 5. Logo, o M.D.C.(15,20) = 5.
Existe uma maneira mais ágil de encontrarmos o M.D.C. entre dois ou mais números quaisquer por meio da decomposição em fatores primos.
15 | 3 | 20 | 2 | ||
5 | 5 | 10 | 2 | ||
1 | 5 | 5 | |||
1 | |||||
15 = 3 x 5 e 20 = 2² x 5. O número primo comum nas duas fatorações é o número 5. Logo, 5 é o M.D.C entre 15 e 20.
Qual o M.D.C.(6,8,12)? Se fizermos a decomposição em fatores primos encontraremos:
6 = 2 x 3
8 = 2³
12 = 2² x 3
O M.D.C. será o(s) número(s) primo que repete e com o menor expoente. Veja que o número primo 2 se repete nas três fatorações, portanto, ‘pegamos’ o número 2 com o menor expoente, resultando em M.D.C.(6,8,12) = 2.
Algumas propriedades:
Nós adotamos o sistema de numeração decimal posicional. O nome decimal tá relacionado ao fato de usarmos 10 algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) e é dito posicional, pois cada algarismo, além do seu valor intrínseco, possui um peso que lhe é atribuído em função de sua posição dentro da sequência.
1.545 = 1 x 10³ + 5 x 10² + 4 x 10¹ + 5 x 100 Número 1.545 representado no sistema decimal. Portanto, temos dez símbolos para escrevermos qualquer número que quisermos, além disso dependendo da posição que o símbolo ocupa no número o seu peso será diferente. Veja por exemplo o algarismo 5 em 1.545. O primeiro 5 da direita para a esquerda vale 5 unidades, em seguida o algarismo 4 vale 4 dezenas, em seguida, novamente o algarísmo 5, neste caso vale 5 centenas e por último o algarísmo 1 vale uma unidade de milhar.
1 | . | 5 | 4 | 5 |
5 unidades | ||||
4 dezenas | ||||
5centenas | ||||
1 unidade de milhar |
Em termos de classificação, a cada três ordens, contadas da direita para a esquerda, constituem uma classe e essas são separadas por um ponto.
Classe das unidades | ![]() |
|
Classe do milhar | ![]() |
|
Classe do milhão | ![]() |
|
Por meio do Crivo de Eratóstenes percebemos que um número a ≥ 2 ou é primo ou um múltiplo de primo. Veja o raciocínio abaixo:
Escolhemos um número a natural.
Podemos dizer que ou a é um primo p0 ou a é p0a1, com 1 < a1 < a
Obtivemos um novo número p0a1 que pode ser um primo p1 ou p1a2, com 1 < a2 < a1 < a
Veja a sequência de números que estamos obtendo: 1 < a2 < a1 < a. São todos números maiores do que 1 e menores do que a, ou seja, é uma quantidade finita de números que em algum momento resultará num número primo pr. Portanto, os números formados fazem parte do conjunto {1, an, …, a3, a2, a1, a}.
Veja os exemplos abaixo:
93 | = | 3 | x | 31 |
é primo | ||||
é primo |
Tomemos o número 93. Inicialmente podemos pensar que este número é primo, porém pelo Crivo de Eratóstenes verificamos que ele não é um número primo, portanto 93 = primo x a1. Obtemos então que 93 = 3 x a1 em que a1 = 31, daí nos perguntamos: será que 31 é primo ou um número composto? Novamente, por meio do crivo concluimos que o número 31 é primo. Finalmente, temos que 93 = 3 x 31, em que os números 3 e 31 são primos. Logo, 93 é formado por uma multiplicação de primos. Lembre-se que esta escrita é única.
140 | = | 2 | x | 70 | ||||
não é primo | ||||||||
é primo | ||||||||
140 | = | 2 | x | 70 | ||||
140 | = | 2 | x | 2 | x | 35 | ||
não é primo | ||||||||
é primo | ||||||||
140 | = | 2 | x | 2 | x | 35 | ||
140 | = | 2 | x | 2 | x | 5 | x | 7 |
é primo | ||||||||
é primo |
Chegamos então à conclusão de que qualquer número natural maior ou igual a 2 ou é primo ou é um produto de primos. Representamos então a = p0.p1.p2…pr.
Essa conclusão nos conduz ao Teorema Fundamental da Aritmética.
Dado um número a ≥ 2, ∃ r > 0, tal que
a | = | p | n1 | . | p | n2 | . | … | . | p | nr |
1 | 2 | r |
O conhecimento de relações vai exigir de nós a noção prévia de par ordenado. Par ordenado é uma estrutura da forma (a,b) onde a é o primeiro elemento do par e b é o segundo elemento. Além disso possui a seguinte característica:
É possível ainda termos pares ordenados (a,a), (b,b), isto é, com ambos elementos iguais. Vale lembrar também que nos pares ordenados a ordem dos elementos faz diferença, portanto (a,b) ≠ (b,a).
Para entender esse conceito vamos definir a seguinte tarefa: Dados dois conjuntos A e B forme todos os pares ordenados possíveis de maneira que o primeiro elemento do par pertença ao conjunto A e o segundo elemento do par pertença ao conjunto B. Simbolicamente, queremos dizer: AxB = {(a,b)/a ∈ A e b ∈ B}
Seja o conjunto A = {5,6,7} e B = {p,q}. Faça o produto cartesiano AxB.
Podemos representar o produto cartesiano de 5 maneiras diferentes: conjunto de pares ordenados, linguagem coloquial, linguagem simbólica, tabela de dupla entrada, diagrama sagital (de Venn) e plano cartesiano. Vejamos algumas delas.
• Conjunto de pares ordenados
AxB = {(5,p);(5,q);(6,p);(6,q);(7,p);(7,q)}
• Linguagem simbólica
AxB = {(x,y)/x ∈ A e y ∈ B}
• Tabela de dupla entrada
B | p | q |
A | ||
5 | (5,p) | (5,q) |
6 | (6,p) | (6,q) |
7 | (7,p) | (7,q) |
• Diagrama sagital
• Plano cartesiano
A Matemática reflete uma necessidade constante de compreender e construir relações. Em nosso dia a dia fazemos comparações de grandezas ou características. Comparamos preços de mercadorias, idade e parentesco entre pessoas, áreas e volumes, entre outros. Quando fazemos isso estamos relacionando os objetos.
Relação é um subconjunto do produto cartesiano, sendo este o conjunto de todos os pares ordenados que podemos estabelecer entre conjuntos.
Consideremos duas lojas A e B e comparemos os preços dos seguintes produtos: perfume, sabonete e shampoo, ao realizar uma compra. Podemos relacionar os preços desses produtos nas lojas A e B através de “… é mais caro na …“. Por exemplo, no caso do shampoo ser mais caro na loja A, indicaremos este fato pelo par ordenado (shampoo,A).
Podemos ainda usar como exemplo a relação “…é pai de…” entre duas pessoas da mesma família. João é pai de Marcelo, logo o par ordenado será (João,Marcelo).
Já vimos que os elementos de uma relação R do conjunto A no conjunto B são pares ordenados. O primeiro elemento do par ordenado pertence ao domínio e o segundo elemento pertence à imagem. Dizemos que o segundo elemento é a imagem do primeiro elemento pela relação R do conjunto A no conjunto B.
Consideremos os conjuntos D(15) e D(45) respectivamente o conjunto dos divisores de 15 e o conjunto dos divisores de 45. Seja R a relação entre D(15) e D(45) definida pela sentença y = 3x. Enumere os elementos dessa relação.
D(15) = {1,3,5,15}
D(45) = {1,3,5,9,15,45}
T = {(1,3),(3,9),(5,15),(15,45)}
Dada uma relação R de um conjunto A em um conjunto B, chama-se relação inversa de R e indica-se R-1 o conjunto de pares ordenados obtidos a partir dos pares ordenados de R invertendo-se a ordem dos termos de cada par.
R = {(x,y) ∈ AxB / x R y} e R-1 = {(y,x) ∈ BxA / (x,y) ∈ R}
Por exemplo: Considere a relação T definida no conjunto dos reais por “y é o dobro de x” e representada por T = {(x,y) ∈ ℝxℝ / y = 2x}. A relação inversa de T pode ser representada por T-1 = {(y,x) ∈ ℝxℝ / y = 2x} ou T-1 = {(x,y) ∈ ℝxℝ / y = x/2}