Livro de Matemática

Observe a tarefa abaixo:

O que percebemos nessa sequência de operações é:

1º – para uma quantidade muito alta de parcelas a escrita se torna trabalhosa.
2º – existe uma forma mais compacta de escrever esta soma?
3º – o símbolo 3 aparece 5 vezes.

Portanto, podemos escrever a mesma operação acima como 5 x 3 = 15. Em segundo plano, o que está ocorrendo é uma sucessão de somas. É como se a operação de multiplicação empacotasse as sucessivas operações de adição.

a x b =

0, se a = 0 b, se a = 1 b + b + b + … + b, se a > 1 a parcelas

No esquema acima, o símbolo a indica quantas vezes devemos somar o símbolo b. a x b é uma forma mais elegante (enxuta) de se escrever b + b + b + b + … + b, a vezes.

Propriedades da multiplicação em ℕ:

• a(bc) = (ab)c, ∀ a, b, c ∈ ℕ (Associativa)
• ab = ba, ∀ a, b ∈ ℕ (Comutativa)
• a * e = e * a = a, ∀ a ∈ ℕ (e = 1 é o elemento neutro da multiplicação)
• ab = 0 → a = 0 ou b = 0 (lei do anulamento do produto)
• ac = bc com c ≠ 0 → a = b (lei do cancelamento da multiplicação)
• ab = 1 → a = 1 e b = 1
• a(b + c) = ab + ac, ∀ a, b, c ∈ ℕ (A multiplicação é distributiva em relação a adição)

A operação de divisão é realizada sempre que desejamos dividir uma quantidade em partes iguais.
O esquema abaixo demonstra a estrutura de uma divisão de um número D por d.

Legenda:
D = Dividendo
d = divisor
q = quociente
r = resto

Quando o resto da divisão entre dois números é zero (r = 0), isso significa que D é divisível por d ou que d divide D (d | D). Veja os exemplos abaixo:

Na divisão de 378 por 7, o resto encontrado foi 0, comprovando que 378 é divisível por 7. Além disso, podemos dizer que 7 divide 378.

Perceba agora que, ao dividirmos 15 por 4, encontramos 3 como quociente e 3 como resto.
Portanto, conseguimos formar 3 grupos com 4 elementos e sobram 3 elementos sem agrupar.

Se realizamos esse cálculo (15 ÷ 4) numa calculadora, o resultado mostrado no visor será 3,75. E como já sabemos, esse número não é natural, logo a operação de divisão não está definida no conjunto ℕ. Além disso, a divisão não é comutativa, nem associativa. Note que 6 ÷ 3 ≠ 3 ÷ 6, da mesma forma 20 ÷ (2 ÷ 2) ≠ (20 ÷ 2) ÷ 2.

Observe as tarefas abaixo:

Tarefa 1: 5 x 5 x 5 x 5 = 625
Tarefa 2: 4 x 4 x 4 = 64

Isso nos faz lembrar de algo que já fizemos, certo? Você deve se lembrar que a sucessão de somas 3 + 3 + 3 + 3 = 12 pode ser escrita de forma abreviada 4 x 3 = 12. Pelo mesmo motivo, as tarefas acima podem ser escritas de forma abreviada. Esse recurso é muito útil, principalmente, quando envolve uma grande quantidade de fatores.

Tarefa 1: 5⁴ = 625
Tarefa 2: 4³ = 64

an =

1, se n = 0 a, se n = 1 a x a x a x … x a, se n > 1 n fatores

Legenda:
a = base
n = expoente
n indica quantas vezes se deve repetir a base.

Propriedades

As potências gozam de algumas propriedades importantes, são elas:

• a^m . aⁿ = a^{m + n}
• (a . b)ⁿ = aⁿ . bⁿ
• (a^m)ⁿ = a^m.n

• am an

  =

  am – n

  (CE* : a ≠ 0 e m ≥ n)
  * Condição de Existência

• a b	n = an   bn

  (CE: b ≠ 0)

As propriedades com fundo vermelho não estão definidas no conjunto ℕ, já que o resultado não é um número natural.

É possível também escrever a potência de uma soma.

(a + b)ⁿ

Este conteúdo pode ser visto aqui.

Muitos processos em matemática envolvem a “ida →” e a “← volta”.

Tarefa: 2 x 2 x 2 = 8, 2³ = 8.

Partimos de 2³ e chegamos em 8. Como fazer o percurso contrário? Para isso devemos pensar em qual o número que elevando a 3 resulta em 8. Sabemos que este número vale 2.
A radiciação é a operação que resolve problemas como esse. Podemos dizer que a radiciação é a operação inversa da potenciação. Vamos generalizar:

Dados b, n ∈ ℕ, com n ≥ 1, chama-se raiz enésima de b o número a tal que aⁿ = b.

a x a x a x … x a = aⁿ = b

Neste contexto ficamos bastante limitados ao falar sobre as propriedades da radiciação, porque muitos dos resultados estarão fora do escopo de ℕ.

Você saberia dizer sem efetuar a divisão, se o número 69.534 é divisível por 9? Ou se o número 106.517 é divisível por 4? Sem a ajuda de um mecanismo automatizado, a verificação da divisibilidade de um número natural por outro, quando feita pela divisão, é morosa e demorada. Entretanto, para alguns números, existem regras práticas que nos permitem verificar, rapidamente e sem efetuar a divisão, se um número natural é ou não é divisível por outro número natural. Essas regras recebem o nome de critérios de divisibilidade.

Abaixo está listada, como uma receita, os critérios de divisibilidade que podem ser verificados um a um pelo leitor.

• Divisibilidade por 2: um número é divisível por 2 se este for par.
• Divisibilidade por 3: um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos resultar num número divisível por 3. 62.124 é divisível por 3, pois 6 + 2 + 1 + 2 + 4 = 15 e 15 é divisível por 3.
• Divisibilidade por 4: um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita é divisível por 4.
• Divisibilidade por 5: um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.
• Divisibilidade por 6: um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3, simultaneamente.
• Divisibilidade por 7: um número é divisível por 7 quando a diferença entre o dobro do último algarismo do número e os demais algarismos restantes dá um número divisível por 7.
• Divisibilidade por 8: um número é divisível por 8 quando termina em 000 ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita é divisível por 8.
• Divisibilidade por 9: um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é um número divisível por 9.
• Divisibilidade por 10: um número é divisível por 10 quando termina em 0.
• Divisibilidade por 11: o processo para descobrir se um número é divisível por 11 é mais detalhado. Para saber se o número 3.927 é divisível por 11:

  1º – efetuamos a soma dos algarismos alternados do número 3.927, assim: 3 + 2 = 5 e 9 + 7 = 16.
  2º – Agora encontramos a diferença entre os dois resultados, 16 – 5 = 11.

  Visto que o valor encontrado é um número divisível por 11, então 3.927 é divisível por 11.

De forma genérica consideremos a, b, c, d ∈ Z, são verdadeiras a seguintes afirmações:

1. 1|a, 1 divide qualquer inteiro.
2. a|a
3. Se a|b e b|c, então a|c.
4. Se a|b e c|d, então ac|bd.
5. Se a|b, então b/a | b
6. Se a|b, então a|mb ∀ m ∈ Z. Se a divide b, então a divide qualquer múltiplo de b.
7. Se a|b e a|c, então a|(mb + nc) ∀ m, n ∈ Z.
8. Se a|b e a|(b + c), então a|c.

Múltiplos naturais de um número

A palavra múltiplo está ligada à operação de multiplicação. Veja o esquema abaixo para encontrar os múltiplos naturais do número 4.

Portanto, um número natural a é múltiplo de um número natural b, com b ≠ 0, quando a for divisível por b ou b for divisor de a.

Logo, M(b) é chamado de conjunto dos múltiplos de b.

Ser múltiplo de é o mesmo que ser divisível por.

O número 448 é múltiplo de 4, ou seja, 448 é divisível por 4.

Divisores

Se quisermos saber quais são os divisores do número 50, primeiro devemos pensar quais os números que dividem 50 e deixa resto zero? Seguindo os critérios de divisibilidade, podemos inferir que o número 50 por terminar em zero, é divisível por 2 (pois é par), por 5 (por terminar em 0) e por 10 (por terminar em 0). Além disso, o número 50 também pode ser divisível por 1 e pelo próprio 50. Ainda tem mais, quando dividimos 50 por 2 encontramos 25, logo 25 x 2 = 50. Portanto, 25 também é um divisor de 50. Finalmente, podemos escrever todos dos divisores de 50 assim:

D(50) = {1, 2, 5, 10, 25, 50}

Os divisores de um número sempre começam com 1 e terminam no próprio número.

D(a) = {1, x, y, …, a}

Em Química se estuda o que são substâncias simples e compostas, enquanto as substâncias simples não se decompõem originando outras quando submetidas a agentes físicos, as substâncias compostas, por ação de um agente físico, sofrem reação de decomposição, originando duas ou mais substâncias.

Por exemplo:

• Cloreto de prata →(agente físico: luz) → prata + cloro
• Carbonato de cálcio →(agente físico: aquecimento) → óxido de cálcio + dióxido de carbono

Essa analogia se encaixa perfeitamente quando o assunto são os números primos. No universo dos números, encontramos aqueles que são compostos e aqueles que são “simples”. Usando números simples podemos construir números compostos.

Os números primos são os blocos de construção de todos os outros números. Estes números enigmáticos guardam um segredo que até hoje nenhum matemático foi capaz de descobrir. O fato de não haver uma fórmula mágica que nos conduza de um primo ao próximo deixa qualquer um, que se debruce sobre esse tema, intrigado.

Tome por exemplo, o número 210. Este número é claramente divisível por 5. Portanto, podemos escrever 210 = 5 x 42. O número 5 é indivisível, 42 não é. Podemos escrever 42 = 3 x 14. Novamente temos o número 3 que é indivisível, mas 14 não é. Continuando podemos escrever 14 = 2 x 7. E finalmente, temos que 210 = 2 x 3 x 5 x 7. Os blocos construtivos do número 210 são 2, 3, 5 e 7, além disso, essa escrita é única. Nenhum outro número pode ser escrito dessa forma senão o 210. É como um DNA.

Como saber se um número é primo ou não?

Um número é dito primo se seus únicos divisores forem 1 e ele próprio.

Veja na tabela acima que os números que possuem apenas dois divisores, sendo 1 e o próprio número, são considerados números primos. Matemáticos de todas as épocas buscaram incansávelmente, uma lei que mostrasse todos os números primos. No entanto, o que se conseguiu foram artifícios que encontram primos numa faixa de intervalos.

Crivo de Eratóstenes

O crivo de Eratóstenes é um dispositivo que permite encontrar números primos num certo intervalo. Na tabela abaixo destacamos os números primos no intervalo [1,250].

Para encontrar os números primos procedemos assim:

• O primeiro número da tabela é o número 2 e este é primeiro primo. Em seguida riscamos todos os números que são múltiplos de 2. Serão todos os números pares.
• O próximo número não riscado é o 3. Este número também é primo. Em seguida riscamos todos aqueles números que são múltiplos de 3.
• O próximo número não riscado é o 5 que também é um número primo. Conforme fizemos com os números anteriores, riscamos todos os números que são múltiplos de 5.
• O primeiro número maior do que 5 e que não foi riscado é o 7, que é primo, portanto riscamos os demais múltiplos de 7 na tabela.
• Ao término desse processo, os números que não foram riscados são todos primos.

Veja como a disposição dos números primos não é regular. Note que a diferença de dois primos consecutivos, com exceção de 2 e 3, é de no mínimo 2.

Quando dois primos consecutivos diferem de 2, eles são chamados de primos gêmeos.

Consultando a tabela do crivo de Eratóstenes acima, podemos destacar os pares de primos gêmeos.

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19),(29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73),
(101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193),
(197, 199), (227, 229), (239, 241).

Todo número natural não primo, maior que 1, pode ser escrito na forma de uma multiplicação onde todos os fatores são números primos. Veja o número 72 escrito na forma fatorada.

Portanto:

72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 2³ x 3²

A esse processo de escrever um número em fatores primos damos o nome de decomposição em fatores primos, que consiste em:

• dividir, inicialmente, o número dado pelo seu menor divisor primo;
• dividir, a seguir, o quociente obtido pelo seu menor divisor primo;
• proceder igualmente, assim por diante, até se obter um quociente 1.

Obtendo a quantidade de divisores de um número inteiro

Dado a ∈ ℤ, chamamos de N(a) o número de divisores positivos de a.
Tal definição inclui entre os divisores de a os valores 1 e |a|. No caso de a ser primo, teremos N(a) = 2.

Para o caso de um número composto temos:

Logo, N(a) = (n₁ + 1) . (n₂ + 1) . … . (n_k + 1).

Mínimo Múltiplo Comum

Consideremos a seguinte situação:

Escreva o conjunto dos múltiplos dos números naturais 15 e 20.

M(15) = { 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, …}

M(20) = { 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, …}

Note que os elementos de ambos os conjuntos tendem ao infinito. Além disso, alguns elementos coincidem, como o número 60 e o número 120, se continuarmos o processo encontraremos outros números coincidentes. Portanto, não nos interessa saber qual o maior múltiplo comum entre 15 e 20, pois sempre será possível encontrar um número maior. O que nos interessa, na verdade, é saber qual o menor múltiplo comum entre 15 e 20. Neste caso, podemos notar que é 60.

Portanto o M.M.C.(15,20) = 60.

A obtenção do M.M.C. através de conjuntos se torna trabalhoso. Para agilizar esse processo podemos lançar mão da decomposição em fatores primos.

A fatoração simultânea de 15 e 20 resulta em 2² x 3 x 5 = 60. Logo, 60 é o M.M.C. de 15 e 20.

Qual o M.M.C. entre 6, 8 e 12?

M.M.C.(6,8,12) = 2³ x 3 = 24

Máximo Divisor Comum

Vamos escrever o conjunto dos divisores dos números naturais 15 e 20.

D(15) = { 1, 3, 5, 15 }

D(20) = { 1, 2, 4, 5, 10, 20 }

Note que o conjunto dos divisores de um número natural é finito. Também notamos que o número 1 é o menor divisor comum de qualquer número natural, o que não é relevante nesse contexto. O que nos interessa é o maior divisor comum.

Neste caso em particular o Maior Divisor Comum entre 15 e 20 vale 5. Logo, o M.D.C.(15,20) = 5.

Existe uma maneira mais ágil de encontrarmos o M.D.C. entre dois ou mais números quaisquer por meio da decomposição em fatores primos.

15 = 3 x 5 e 20 = 2² x 5. O número primo comum nas duas fatorações é o número 5. Logo, 5 é o M.D.C entre 15 e 20.

Qual o M.D.C.(6,8,12)? Se fizermos a decomposição em fatores primos encontraremos:

6 = 2 x 3

8 = 2³

12 = 2² x 3

O M.D.C. será o(s) número(s) primo que repete e com o menor expoente. Veja que o número primo 2 se repete nas três fatorações, portanto, ‘pegamos’ o número 2 com o menor expoente, resultando em M.D.C.(6,8,12) = 2.

Algumas propriedades:

• mdc(a,0) = |a|
• mdc(a,a) = 1
• Se b|a, então o mdc(a,b) = |b|
• Fixados a, b ∈ ℤ para todo d ∈ ℤ* temos mdc(da,db) = |d|mdc(a,b)
• Considerando a, b ∈ ℤ não simultaneamente nulos e d = mdc(a,b), nessas condições temos: mdc(a/d,b/d) = 1 .
• Dados a, b ∈ ℤ, se mdc(a,b) = 1 então a e b são chamados primos entre si ou coprimos. Por exemplo: mdc(20,21) = 1. Logo, 20 e 21 são primos entre si. Portanto, para n ≥ 1, mdc(n,n+1) = 1, sendo n e n + 1 primos entre si.
• Dado um inteiro n ≥ 1 ímpar, n e n + 2 são primos entre si, já que mdc(n, n + 2) = 1.
• Se a ∈ ℤ e d = mdc(a, a + n), então d|n. Se d = mdc(a, a + n), então d|a e d|a + n e isso implica que d|(a + n – a) = n.
• Dados a, b, x ∈ ℤ, temos mdc(a,b) = mdc(a, b + ax)

Nós adotamos o sistema de numeração decimal posicional. O nome decimal tá relacionado ao fato de usarmos 10 algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) e é dito posicional, pois cada algarismo, além do seu valor intrínseco, possui um peso que lhe é atribuído em função de sua posição dentro da sequência.

1.545 = 1 x 10³ + 5 x 10² + 4 x 10¹ + 5 x 10⁰ Número 1.545 representado no sistema decimal. Portanto, temos dez símbolos para escrevermos qualquer número que quisermos, além disso dependendo da posição que o símbolo ocupa no número o seu peso será diferente. Veja por exemplo o algarismo 5 em 1.545. O primeiro 5 da direita para a esquerda vale 5 unidades, em seguida o algarismo 4 vale 4 dezenas, em seguida, novamente o algarísmo 5, neste caso vale 5 centenas e por último o algarísmo 1 vale uma unidade de milhar.

Em termos de classificação, a cada três ordens, contadas da direita para a esquerda, constituem uma classe e essas são separadas por um ponto.

Classe das unidades

Unidades 1ª ordem Dezenas 2ª ordem Centenas 3ª ordem

Classe do milhar

Unidades de milhar 4ª ordem Dezenas de milhar 5ª ordem Centenas de milhar 6ª ordem

Classe do milhão

Unidades de milhão 7ª ordem Dezenas de milhão 8ª ordem Centenas de milhão 9ª ordem