Livro de Matemática
Sumário
Decomposição em fatores primos
Todo número natural não primo, maior que 1, pode ser escrito na forma de uma multiplicação onde todos os fatores são números primos. Veja o número 72 escrito na forma fatorada.
| 72 | 2 |
| 36 | 2 |
| 18 | 2 |
| 9 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 | |
Portanto:
72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 2³ x 3²
A esse processo de escrever um número em fatores primos damos o nome de decomposição em fatores primos, que consiste em:
- dividir, inicialmente, o número dado pelo seu menor divisor primo;
- dividir, a seguir, o quociente obtido pelo seu menor divisor primo;
- proceder igualmente, assim por diante, até se obter um quociente 1.
MMC e MDC
Mínimo Múltiplo Comum
Consideremos a seguinte situação:
Escreva o conjunto dos múltiplos dos números naturais 15 e 20.
M(15) = { 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, …}
M(20) = { 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, …}
Note que os elementos de ambos os conjuntos tendem ao infinito. Além disso, alguns elementos coincidem, como o número 60 e o número 120, se continuarmos o processo encontraremos outros números coincidentes. Portanto, não nos interessa saber qual o maior múltiplo comum entre 15 e 20, pois sempre será possível encontrar um número maior. O que nos interessa, na verdade, é saber qual o menor múltiplo comum entre 15 e 20. Neste caso, podemos notar que é 60.
Portanto o M.M.C.(15,20) = 60.
A obtenção do M.M.C. através de conjuntos se torna trabalhoso. Para agilizar esse processo podemos lançar mão da decomposição em fatores primos.
| 15, | 20 | 2 |
| 15, | 10 | 2 |
| 15, | 5 | 3 |
| 5, | 5 | 5 |
| 1, | 1 | |
A fatoração simultânea de 15 e 20 resulta em 2² x 3 x 5 = 60. Logo, 60 é o M.M.C. de 15 e 20.
Qual o M.M.C. entre 6, 8 e 12?
| 6, | 8, | 12 | 2 |
| 3, | 4, | 6 | 2 |
| 3, | 2, | 3 | 2 |
| 3, | 1, | 3 | 3 |
| 1, | 1, | 1 | |
M.M.C.(6,8,12) = 2³ x 3 = 24
Máximo Divisor Comum
Vamos escrever o conjunto dos divisores dos números naturais 15 e 20.
D(15) = { 1, 3, 5, 15 }
D(20) = { 1, 2, 4, 5, 10, 20 }
Note que o conjunto dos divisores de um número natural é finito. Também notamos que o número 1 é o menor divisor comum de qualquer número natural, o que não é relevante nesse contexto. O que nos interessa é o maior divisor comum.
Neste caso em particular o Maior Divisor Comum entre 15 e 20 vale 5. Logo, o M.D.C.(15,20) = 5.
Existe uma maneira mais ágil de encontrarmos o M.D.C. entre dois ou mais números quaisquer por meio da decomposição em fatores primos.
| 15 | 3 | 20 | 2 | ||
| 5 | 5 | 10 | 2 | ||
| 1 | 5 | 5 | |||
| 1 | |||||
15 = 3 x 5 e 20 = 2² x 5. O número primo comum nas duas fatorações é o número 5. Logo, 5 é o M.D.C entre 15 e 20.
Qual o M.D.C.(6,8,12)? Se fizermos a decomposição em fatores primos encontraremos:
6 = 2 x 3
8 = 2³
12 = 2² x 3
O M.D.C. será o(s) número(s) primo que repete e com o menor expoente. Veja que o número primo 2 se repete nas três fatorações, portanto, ‘pegamos’ o número 2 com o menor expoente, resultando em M.D.C.(6,8,12) = 2.
Representação decimal dos números naturais
Nós adotamos o sistema de numeração decimal posicional. O nome decimal tá relacionado ao fato de usarmos 10 algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) e é dito posicional, pois cada algarismo, além do seu valor intrínseco, possui um peso que lhe é atribuído em função de sua posição dentro da sequência.
1.545 = 1 x 10³ + 5 x 10² + 4 x 10¹ + 5 x 100 Número 1.545 representado no sistema decimal. Portanto, temos dez símbolos para escrevermos qualquer número que quisermos, além disso dependendo da posição que o símbolo ocupa no número o seu peso será diferente. Veja por exemplo o algarismo 5 em 1.545. O primeiro 5 da direita para a esquerda vale 5 unidades, em seguida o algarismo 4 vale 4 dezenas, em seguida, novamente o algarísmo 5, neste caso vale 5 centenas e por último o algarísmo 1 vale uma unidade de milhar.
| 1 | . | 5 | 4 | 5 |
| 5 unidades | ||||
| 4 dezenas | ||||
| 5centenas | ||||
| 1 unidade de milhar | ||||
Em termos de classificação, a cada três ordens, contadas da direita para a esquerda, constituem uma classe e essas são separadas por um ponto.
| Classe das unidades |  |
|
| Classe do milhar | |
|
| Classe do milhão | |
|
Teorema fundamental da aritmética
Por meio do Crivo de Eratóstenes percebemos que um número a ≥ 2 ou é primo ou um múltiplo de primo. Veja o raciocínio abaixo:
Escolhemos um número a natural.
Podemos dizer que ou a é um primo p0 ou a é p0a1, com 1 < a1 < a
Obtivemos um novo número p0a1 que pode ser um primo p1 ou p1a2, com 1 < a2 < a1 < a
Veja a sequência de números que estamos obtendo: 1 < a2 < a1 < a. São todos números maiores do que 1 e menores do que a, ou seja, é uma quantidade finita de números que em algum momento resultará num número primo pr. Portanto, os números formados fazem parte do conjunto {1, an, …, a3, a2, a1, a}.
Veja os exemplos abaixo:
| 93 | = | 3 | x | 31 |
| é primo | ||||
| é primo | ||||
Tomemos o número 93. Inicialmente podemos pensar que este número é primo, porém pelo Crivo de Eratóstenes verificamos que ele não é um número primo, portanto 93 = primo x a1. Obtemos então que 93 = 3 x a1 em que a1 = 31, daí nos perguntamos: será que 31 é primo ou um número composto? Novamente, por meio do crivo concluimos que o número 31 é primo. Finalmente, temos que 93 = 3 x 31, em que os números 3 e 31 são primos. Logo, 93 é formado por uma multiplicação de primos. Lembre-se que esta escrita é única.
| 140 | = | 2 | x | 70 | ||||
| não é primo | ||||||||
| é primo | ||||||||
| 140 | = | 2 | x | 70 | ||||
| 140 | = | 2 | x | 2 | x | 35 | ||
| não é primo | ||||||||
| é primo | ||||||||
| 140 | = | 2 | x | 2 | x | 35 | ||
| 140 | = | 2 | x | 2 | x | 5 | x | 7 |
| é primo | ||||||||
| é primo | ||||||||
Chegamos então à conclusão de que qualquer número natural maior ou igual a 2 ou é primo ou é um produto de primos. Representamos então a = p0.p1.p2…pr.
Essa conclusão nos conduz ao Teorema Fundamental da Aritmética.
Dado um número a ≥ 2, ∃ r > 0, tal que
| a | = | p | n1 | . | p | n2 | . | … | . | p | nr |
| 1 | 2 | r |
Relações
Par ordenado
O conhecimento de relações vai exigir de nós a noção prévia de par ordenado. Par ordenado é uma estrutura da forma (a,b) onde a é o primeiro elemento do par e b é o segundo elemento. Além disso possui a seguinte característica:
É possível ainda termos pares ordenados (a,a), (b,b), isto é, com ambos elementos iguais. Vale lembrar também que nos pares ordenados a ordem dos elementos faz diferença, portanto (a,b) ≠ (b,a).
Produto cartesiano
Para entender esse conceito vamos definir a seguinte tarefa: Dados dois conjuntos A e B forme todos os pares ordenados possíveis de maneira que o primeiro elemento do par pertença ao conjunto A e o segundo elemento do par pertença ao conjunto B. Simbolicamente, queremos dizer: AxB = {(a,b)/a ∈ A e b ∈ B}
Exemplo 1
Seja o conjunto A = {5,6,7} e B = {p,q}. Faça o produto cartesiano AxB.
Podemos representar o produto cartesiano de 5 maneiras diferentes: conjunto de pares ordenados, linguagem coloquial, linguagem simbólica, tabela de dupla entrada, diagrama sagital (de Venn) e plano cartesiano. Vejamos algumas delas.
• Conjunto de pares ordenados
AxB = {(5,p);(5,q);(6,p);(6,q);(7,p);(7,q)}
• Linguagem simbólica
AxB = {(x,y)/x ∈ A e y ∈ B}
• Tabela de dupla entrada
| B | p | q |
| A | ||
| 5 | (5,p) | (5,q) |
| 6 | (6,p) | (6,q) |
| 7 | (7,p) | (7,q) |
• Diagrama sagital
• Plano cartesiano
A Matemática reflete uma necessidade constante de compreender e construir relações. Em nosso dia a dia fazemos comparações de grandezas ou características. Comparamos preços de mercadorias, idade e parentesco entre pessoas, áreas e volumes, entre outros. Quando fazemos isso estamos relacionando os objetos.
Relação é um subconjunto do produto cartesiano, sendo este o conjunto de todos os pares ordenados que podemos estabelecer entre conjuntos.
Consideremos duas lojas A e B e comparemos os preços dos seguintes produtos: perfume, sabonete e shampoo, ao realizar uma compra. Podemos relacionar os preços desses produtos nas lojas A e B através de “… é mais caro na …“. Por exemplo, no caso do shampoo ser mais caro na loja A, indicaremos este fato pelo par ordenado (shampoo,A).
Podemos ainda usar como exemplo a relação “…é pai de…” entre duas pessoas da mesma família. João é pai de Marcelo, logo o par ordenado será (João,Marcelo).
Já vimos que os elementos de uma relação R do conjunto A no conjunto B são pares ordenados. O primeiro elemento do par ordenado pertence ao domínio e o segundo elemento pertence à imagem. Dizemos que o segundo elemento é a imagem do primeiro elemento pela relação R do conjunto A no conjunto B.
Exemplo 1
Consideremos os conjuntos D(15) e D(45) respectivamente o conjunto dos divisores de 15 e o conjunto dos divisores de 45. Seja R a relação entre D(15) e D(45) definida pela sentença y = 3x. Enumere os elementos dessa relação.
D(15) = {1,3,5,15}
D(45) = {1,3,5,9,15,45}
T = {(1,3),(3,9),(5,15),(15,45)}
Relação inversa
Dada uma relação R de um conjunto A em um conjunto B, chama-se relação inversa de R e indica-se R-1 o conjunto de pares ordenados obtidos a partir dos pares ordenados de R invertendo-se a ordem dos termos de cada par.
R = {(x,y) ∈ AxB / x R y} e R-1 = {(y,x) ∈ BxA / (x,y) ∈ R}
Por exemplo: Considere a relação T definida no conjunto dos reais por “y é o dobro de x” e representada por T = {(x,y) ∈ ℝxℝ / y = 2x}. A relação inversa de T pode ser representada por T-1 = {(y,x) ∈ ℝxℝ / y = 2x} ou T-1 = {(x,y) ∈ ℝxℝ / y = x/2}
Função
Em Matemática, chamamos de função qualquer relação de um conjunto A em um conjunto B que satisfaça à seguinte condição: “Todo elemento de A possui uma única imagem em B“. Função nada mais é do que um subconjunto do produto cartesiano, logo ela é um tipo de relação.
Os diagramas acima representam cada um, uma função. Perceba as seguintes propriedades:
• Não existe no conjunto A elemento com mais de uma imagem no conjunto B.
• Não existe no conjunto A elemento que não tenha imagem no conjunto B.
• Podem sobrar elementos no conjunto B.
O conjunto A recebe o nome de Domínio ou campo de definição da função e o conjunto B é chamado de contra domínio. Já o conjunto imagem é o conjunto dos valores (retorno) da função e um subconjunto do contradomínio da função.
Exemplo 1
Dados os conjuntos: A = {0,-1,4} B = {a,b,c,d,e} C = {j,k,x} D = {1,-1}
Observe os gráficos sagitais abaixo que representam respectivamente as relações: M do conjunto A no conjunto B; P do conjunto A no conjunto C; L do conjunto B no conjunto A; F do conjunto D no conjunto B;
Quais delas representam funções e por que?
Exemplo 2
Considere o conjunto A = {1,2,3,4,5} e o conjunto B = {1,2,3,4,5,6,7}.A cada elemento de A façamos corresponder o seu sucessor em B.
Represente esta relação pela enumeração de seus elementos.
Esta função pode ser representada simbolicamente por f: A → B ou x → x + 1 f: A → B = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)}
Perceba que 2 = f(1), ou seja, que a imagem de 1 por f é 2 e a imagem de 2 por f é 3.
Função Injetora
Seja f uma função de A em B (f: A → B). Se para quaisquer elementos distintos de A correspondem elementos distintos do conjunto B dizemos que a função é injetora.
Dados os conjuntos A = {-1,0,1,2} e B = {-1,2,5,8,11}, vamos determinar a função f: A → B definida pela lei y = 3x + 2.
Função Sobrejetora
Seja f uma função de A em B (f: A → B). Dizemos que uma função é sobrejetora se o conjunto imagem for igual ao conjunto B, ou seja, Im(f) = B ou ainda Im(f) = CD(f).
Dados os conjuntos A = {-2,-1,0,1,3} e B = {0,1,4,9}, vamos determinar a função f: A → B definida pela lei y = x², onde x ∈ A e y ∈ B.
Função Bijetora
Uma função de A em B (f: A → B) é bijetora quando é, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora. Desta forma, para elementos distintos do conjunto A correspondem elementos distintos em B (função injetora) e Im(f) = B (função sobrejetora).
Dados os conjuntos A = {-3,0,1,4} e B = {0,3,4,7}, vamos determinar a função f: A → B definida pela lei y = x + 3, onde x ∈ A e y ∈ B.
Logaritmos
O que você vai estudar:
- Definição
- Condições de existência
- Consequências da definição
Logaritmos – Definição
Os Logaritmos podem ser representados de duas formas, conforme as imagens. Estas formas são: exponencial e logarítmica. Por meio das figuras podemos compreender cada parte da fórmula.
Sendo a e b números reais e positivos, com a ≠ 1, chama-se logaritmo de b na base a o expoente x ao qual de deve elevar a base a para obter b.
Veja alguns exemplos:
| log | 81 | = | 4 | |
| 3 |
34 = 81
| log | 16 | = | 4 | |
| 2 |
24 = 16
| log |
|
= | -5 | ||||
| 2 |
2-5 = 1/32
| log | √2 | = | ½ | |
| 2 |
2½ = √2
Nos exemplos acima vemos os logaritmos primeiro na forma logarítmica e abaixo na forma exponencial.
Condições de existência
Para que os Logaritmos existam é necessário seguir algumas regras.
|
|
A esse conjunto de regras damos o nome de domínio dos Logaritmos ou campo de existência.
Exemplo 1
Determine o campo de existência de
| y = | log | (x² – 1) | |
| x |
Exemplo 2
Determine o campo de existência de
| y = | log | (x² -5x + 6) | |
| 3 |
Exemplo 3
Determine as condições de existência de
| y = | log | (5x² -26x + 5) | |
| x + 2 |
Consequências da definição
Seguem abaixo algumas fórmulas já “consagradas” no escopo dos Logaritmos.
| log | 1 | = | 0 | |
| a |
| log | a | = | 1 | |
| a |
| log | am | = | m | |
| a |
| a |
|
= b | ||||
|
= |
|
↔ b = c |
Sistemas de Logaritmos
Já aprendemos que
| log | b | = | x | |
| a |
além disso, também sabemos que (0 < a ≠ 1). O que acontece quando fixamos o valor de a?
| log | 4 | = | 2 | |
| 2 |
| log | 8 | = | 3 | |
| 2 |
| log | 16 | = | 4 | |
| 2 |
| log | 32 | = | 5 | |
| 2 |
| log | 64 | = | 6 | |
| 2 |
O que estamos obtendo aqui é um sistema de logaritmos de base 2. Portanto, o conjunto formado por todos os logaritmos de base 2 dos números reais positivos é o sistema de logaritmos de base 2. Existem muitas outras bases, mas as mais utilizadas são duas:
a) o sistema de Logaritmos decimais, que é o de base 10.
Os Logaritmos foram uma grande contribuição de John Napier (1550 – 1617), um estudioso escocês que dedicou 20 anos da sua vida a esse assunto. A criação dos Logaritmos se deu com a intenção de facilitar os cálculos relacionados à navegação e astronomia da época. Durante os estudos você irá perceber que os Logaritmos estão associados a problemas em que temos uma incógnita no expoente de uma expressão matemática.
|
= |
|
No sistema de base 10 é comum omitirmos a base na sua representação.
b) o sistema de Logaritmos neperianos, que é o de base e (e é um número irracional que vale 2,71828…).
|
= | ln b |
Operando com Logaritmos
Visto que o conjunto formado por todos os Logaritmos de uma mesma base a é chamado de sistema de Logaritmos de base a, a partir de agora vamos aprender a realizar operações entre os elementos desse conjunto.
Operação 1: Logaritmo de um produto
|
= |
|
+ |
|
Operação 2: Logaritmo de um quociente
|
= |
|
– |
|
Operação 3: Logaritmo de uma potência
|
= n |
|
Operação 4: Logaritmo de uma potência na base
|
= | 1 |
|
||||||||
| k |
Por meio dessas operações podemos solucionar vários problemas envolvendo cálculos mais complicados envolvendo números reais.
Exemplo 1
Sendo
|
, |
|
e |
|
calcule:
| a) | log | (abc) | |
| x |
| b) | log |
|
|||
| x |
Exemplo 2
Calcule
| log | ³√a ³√b ³√c | |
| c |
| , sendo |
|
e |
|
Exemplo 3
Encontre o valor de m, sabendo que:
|
= |
|
+ |
|
– | 2 |
|
Exemplo 4
Determine o valor de
| log | 1.024 | |
| 16 |
| log | 1.024 | = | log | 1.024 | ||
| 16 | 24 |
| 1 | log | 1.024 | = | 1 | 10 | = | 5 | |
| 4 | 2 | 4 | 2 |
Mudança de base
Vimos anteriormente que podemos operar com Logaritmos de mesma base de forma fácil. Porém, haverá momentos em que será exigido operar com Logaritmos de bases diferentes. Quando isso acontece a resolução não flui de forma tão intuitiva. Para operar com Logaritmos de bases diferentes é necessário primeiro, colocar os elementos numa base comum e só então realizar a operação.
Por exemplo:
| sendo |
|
e |
|
| , calcular |
|
Note que nos foi dados dois Logaritmos de base 10 e se deseja obter o resultado de um Logaritmo em base 2.
Para obtermos o resultado desejado, podemos utilizar a fórmula:
|
= |
|
Retomando o problema inicial, desejamos encontrar o valor de
| log | 6 | |
| 2 |
Aplicando a fórmula, tem-se:
|
= |
|
|
= |
|
|
= |
|
||||||||||||||||||||||
|
= |
|
= |
|
||||||||||||
Exemplo 1
| Sendo |
|
, |
|
e |
|
, calcule:
| a) | log | 50 | |
| 2 |
| b) | log | 45 | |
| 3 |
| c) | log | 2 | |
| 9 |
Exemplo 2
Efetue o produto:
|
. |
|
. |
|