Teorema fundamental da aritmética

Por meio do Crivo de Eratóstenes percebemos que um número a ≥ 2 ou é primo ou um múltiplo de primo. Veja o raciocínio abaixo:

Escolhemos um número a natural.
Podemos dizer que ou a é um primo p₀ ou a é p₀a₁, com 1 < a₁ < a
Obtivemos um novo número p₀a₁ que pode ser um primo p₁ ou p₁a₂, com 1 < a₂ < a₁ < a

Veja a sequência de números que estamos obtendo: 1 < a₂ < a₁ < a. São todos números maiores do que 1 e menores do que a, ou seja, é uma quantidade finita de números que em algum momento resultará num número primo p_r. Portanto, os números formados fazem parte do conjunto {1, a_n, …, a₃, a₂, a₁, a}.

Veja os exemplos abaixo:

93	=	3	x	31
				é primo
		é primo

Tomemos o número 93. Inicialmente podemos pensar que este número é primo, porém pelo Crivo de Eratóstenes verificamos que ele não é um número primo, portanto 93 = primo x a₁. Obtemos então que 93 = 3 x a₁ em que a₁ = 31, daí nos perguntamos: será que 31 é primo ou um número composto? Novamente, por meio do crivo concluimos que o número 31 é primo. Finalmente, temos que 93 = 3 x 31, em que os números 3 e 31 são primos. Logo, 93 é formado por uma multiplicação de primos. Lembre-se que esta escrita é única.

140	=	2	x	70
				não é primo
		é primo
140	=	2	x	70
140	=	2	x	2	x	35
						não é primo
				é primo
140	=	2	x	2	x	35
140	=	2	x	2	x	5	x	7
								é primo
						é primo

Chegamos então à conclusão de que qualquer número natural maior ou igual a 2 ou é primo ou é um produto de primos. Representamos então a = p₀.p₁.p₂…p_r.

Essa conclusão nos conduz ao Teorema Fundamental da Aritmética.

Dado um número a ≥ 2, ∃ r > 0, tal que

a	=	p	^n₁	.	p	^n₂	.	…	.	p	^n_r
			₁			₂					_r

Relações

Par ordenado

O conhecimento de relações vai exigir de nós a noção prévia de par ordenado. Par ordenado é uma estrutura da forma (a,b) onde a é o primeiro elemento do par e b é o segundo elemento. Além disso possui a seguinte característica:

(a,b) = (c,d) ⇔ a = c e b = d

É possível ainda termos pares ordenados (a,a), (b,b), isto é, com ambos elementos iguais. Vale lembrar também que nos pares ordenados a ordem dos elementos faz diferença, portanto (a,b) ≠ (b,a).

Produto cartesiano

Para entender esse conceito vamos definir a seguinte tarefa: Dados dois conjuntos A e B forme todos os pares ordenados possíveis de maneira que o primeiro elemento do par pertença ao conjunto A e o segundo elemento do par pertença ao conjunto B. Simbolicamente, queremos dizer: AxB = {(a,b)/a ∈ A e b ∈ B}

Exemplo 1

Seja o conjunto A = {5,6,7} e B = {p,q}. Faça o produto cartesiano AxB.

Podemos representar o produto cartesiano de 5 maneiras diferentes: conjunto de pares ordenados, linguagem coloquial, linguagem simbólica, tabela de dupla entrada, diagrama sagital (de Venn) e plano cartesiano. Vejamos algumas delas.

• Conjunto de pares ordenados
AxB = {(5,p);(5,q);(6,p);(6,q);(7,p);(7,q)}

• Linguagem simbólica
AxB = {(x,y)/x ∈ A e y ∈ B}

• Tabela de dupla entrada

B	p	q
A	p	q
5	(5,p)	(5,q)
6	(6,p)	(6,q)
7	(7,p)	(7,q)

• Diagrama sagital

**Figura:** Relação entre os conjuntos A e B

• Plano cartesiano

A Matemática reflete uma necessidade constante de compreender e construir relações. Em nosso dia a dia fazemos comparações de grandezas ou características. Comparamos preços de mercadorias, idade e parentesco entre pessoas, áreas e volumes, entre outros. Quando fazemos isso estamos relacionando os objetos.

Relação é um subconjunto do produto cartesiano, sendo este o conjunto de todos os pares ordenados que podemos estabelecer entre conjuntos.

Consideremos duas lojas A e B e comparemos os preços dos seguintes produtos: perfume, sabonete e shampoo, ao realizar uma compra. Podemos relacionar os preços desses produtos nas lojas A e B através de “… é mais caro na …“. Por exemplo, no caso do shampoo ser mais caro na loja A, indicaremos este fato pelo par ordenado (shampoo,A).

Podemos ainda usar como exemplo a relação “…é pai de…” entre duas pessoas da mesma família. João é pai de Marcelo, logo o par ordenado será (João,Marcelo).

Já vimos que os elementos de uma relação R do conjunto A no conjunto B são pares ordenados. O primeiro elemento do par ordenado pertence ao domínio e o segundo elemento pertence à imagem. Dizemos que o segundo elemento é a imagem do primeiro elemento pela relação R do conjunto A no conjunto B.

Exemplo 1

Consideremos os conjuntos D(15) e D(45) respectivamente o conjunto dos divisores de 15 e o conjunto dos divisores de 45. Seja R a relação entre D(15) e D(45) definida pela sentença y = 3x. Enumere os elementos dessa relação.

D(15) = {1,3,5,15}
D(45) = {1,3,5,9,15,45}

T = {(1,3),(3,9),(5,15),(15,45)}

Relação inversa

Dada uma relação R de um conjunto A em um conjunto B, chama-se relação inversa de R e indica-se R^-1 o conjunto de pares ordenados obtidos a partir dos pares ordenados de R invertendo-se a ordem dos termos de cada par.

R = {(x,y) ∈ AxB / x R y} e R^-1 = {(y,x) ∈ BxA / (x,y) ∈ R}

Por exemplo: Considere a relação T definida no conjunto dos reais por “y é o dobro de x” e representada por T = {(x,y) ∈ ℝxℝ / y = 2x}. A relação inversa de T pode ser representada por T^-1 = {(y,x) ∈ ℝxℝ / y = 2x} ou T^-1 = {(x,y) ∈ ℝxℝ / y = x/2}

Função

Em Matemática, chamamos de função qualquer relação de um conjunto A em um conjunto B que satisfaça à seguinte condição: “Todo elemento de A possui uma única imagem em B“. Função nada mais é do que um subconjunto do produto cartesiano, logo ela é um tipo de relação.

Relação K entre os conjuntos A e B — **Figura:** Relação entre os conjuntos A e B

**Figura:** Relação M entre os conjuntos A e B

**Figura:** Relação R entre os conjuntos A e B

**Figura:** Relação Q entre os conjuntos A e B

Os diagramas acima representam cada um, uma função. Perceba as seguintes propriedades:

• Não existe no conjunto A elemento com mais de uma imagem no conjunto B.
• Não existe no conjunto A elemento que não tenha imagem no conjunto B.
• Podem sobrar elementos no conjunto B.

O conjunto A recebe o nome de Domínio ou campo de definição da função e o conjunto B é chamado de contra domínio. Já o conjunto imagem é o conjunto dos valores (retorno) da função e um subconjunto do contradomínio da função.

Exemplo 1

Dados os conjuntos: A = {0,-1,4} B = {a,b,c,d,e} C = {j,k,x} D = {1,-1}

Observe os gráficos sagitais abaixo que representam respectivamente as relações: M do conjunto A no conjunto B; P do conjunto A no conjunto C; L do conjunto B no conjunto A; F do conjunto D no conjunto B;

**Figura:** Relação P entre os conjuntos A e C

**Figura:** Relação L entre os conjuntos B e A

**Figura:** Relação F entre os conjuntos D e B

Quais delas representam funções e por que?

Exemplo 2

Considere o conjunto A = {1,2,3,4,5} e o conjunto B = {1,2,3,4,5,6,7}.A cada elemento de A façamos corresponder o seu sucessor em B.
Represente esta relação pela enumeração de seus elementos.

Esta função pode ser representada simbolicamente por f: A → B ou x → x + 1 f: A → B = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)}

Perceba que 2 = f(1), ou seja, que a imagem de 1 por f é 2 e a imagem de 2 por f é 3.

Função Injetora

Seja f uma função de A em B (f: A → B). Se para quaisquer elementos distintos de A correspondem elementos distintos do conjunto B dizemos que a função é injetora.

Exemplo:
Dados os conjuntos A = {-1,0,1,2} e B = {-1,2,5,8,11}, vamos determinar a função f: A → B definida pela lei y = 3x + 2.

Função Sobrejetora

Seja f uma função de A em B (f: A → B). Dizemos que uma função é sobrejetora se o conjunto imagem for igual ao conjunto B, ou seja, Im(f) = B ou ainda Im(f) = CD(f).

Exemplo:
Dados os conjuntos A = {-2,-1,0,1,3} e B = {0,1,4,9}, vamos determinar a função f: A → B definida pela lei y = x², onde x ∈ A e y ∈ B.

Função Bijetora

Uma função de A em B (f: A → B) é bijetora quando é, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora. Desta forma, para elementos distintos do conjunto A correspondem elementos distintos em B (função injetora) e Im(f) = B (função sobrejetora).

Exemplo:
Dados os conjuntos A = {-3,0,1,4} e B = {0,3,4,7}, vamos determinar a função f: A → B definida pela lei y = x + 3, onde x ∈ A e y ∈ B.

Logaritmos

O que você vai estudar:

Definição
Condições de existência
Consequências da definição

Logaritmos – Definição

**Figura A:** Forma exponencial de um logaritmo

Os Logaritmos podem ser representados de duas formas, conforme as imagens. Estas formas são: exponencial e logarítmica. Por meio das figuras podemos compreender cada parte da fórmula.

**Figura B:** Forma logarítmica de um logaritmo

Sendo a e b números reais e positivos, com a ≠ 1, chama-se logaritmo de b na base a o expoente x ao qual de deve elevar a base a para obter b.

Veja alguns exemplos:

log		81	=	4
	₃

3⁴ = 81

log		16	=	4
	₂

2⁴ = 16

log

1

32

=

-5

₂

2^-5 = ¹/₃₂

log		√2	=	½
	₂

2^{½ = √2}

Nos exemplos acima vemos os logaritmos primeiro na forma logarítmica e abaixo na forma exponencial.

Condições de existência

Para que os Logaritmos existam é necessário seguir algumas regras.

log		b	⇒
	_a

b > 0

a > 0 e a ≠ 1

A esse conjunto de regras damos o nome de domínio dos Logaritmos ou campo de existência.

Exemplo 1

Determine o campo de existência de

y =	log		(x² – 1)
		_x

Exemplo 2

Determine o campo de existência de

y =	log		(x² -5x + 6)
		₃

Exemplo 3

Determine as condições de existência de

y =	log		(5x² -26x + 5)
		_{x + 2}

Consequências da definição

Seguem abaixo algumas fórmulas já “consagradas” no escopo dos Logaritmos.

log		1	=	0
	_a

log		a	=	1
	_a

log		a^m	=	m
	_a

a

^log

b

_a

= b

log		b
	_a

=

log		c
	_a

↔ b = c

Sistemas de Logaritmos

Já aprendemos que

log		b	=	x
	^a

além disso, também sabemos que (0 < a ≠ 1). O que acontece quando fixamos o valor de a?

log		4	=	2
	²

log		8	=	3
	²

log		16	=	4
	²

log		32	=	5
	²

log		64	=	6
	²

O que estamos obtendo aqui é um sistema de logaritmos de base 2. Portanto, o conjunto formado por todos os logaritmos de base 2 dos números reais positivos é o sistema de logaritmos de base 2. Existem muitas outras bases, mas as mais utilizadas são duas:

a) o sistema de Logaritmos decimais, que é o de base 10.
Os Logaritmos foram uma grande contribuição de John Napier (1550 – 1617), um estudioso escocês que dedicou 20 anos da sua vida a esse assunto. A criação dos Logaritmos se deu com a intenção de facilitar os cálculos relacionados à navegação e astronomia da época. Durante os estudos você irá perceber que os Logaritmos estão associados a problemas em que temos uma incógnita no expoente de uma expressão matemática.

log		b
	¹⁰

=

log		b

No sistema de base 10 é comum omitirmos a base na sua representação.

b) o sistema de Logaritmos neperianos, que é o de base e (e é um número irracional que vale 2,71828…).

log		b
	^e

=

ln b

Operando com Logaritmos

Visto que o conjunto formado por todos os Logaritmos de uma mesma base a é chamado de sistema de Logaritmos de base a, a partir de agora vamos aprender a realizar operações entre os elementos desse conjunto.

Operação 1: Logaritmo de um produto

log		(b . c)
	^a

=

log		b
	^a

+

log		c
	^a

Operação 2: Logaritmo de um quociente

log

b

c

^a

=

log		b
	^a

–

log		c
	^a

Operação 3: Logaritmo de uma potência

log		bⁿ
	^a

= n

log		b
	^a

Operação 4: Logaritmo de uma potência na base

log		b
	a^k

=

1

log		b
	^a

k

Por meio dessas operações podemos solucionar vários problemas envolvendo cálculos mais complicados envolvendo números reais.

Exemplo 1

Sendo

log		a	=	5
	^x

,

log		b	=	2
	^x

e

log		c	=	-1
	^x

calcule:

a)	log		(abc)
		^x

b)

log

a²b³

c⁴

^x

Exemplo 2

Calcule

log		³√a ³√b ³√c
	^c

, sendo

log		a	=	5
	^c

e

log		b	=	2
	^c

Exemplo 3

Encontre o valor de m, sabendo que:

log		m
	²

=

log		5
	²

+

log		10
	²

–

2

log		10
	²

Exemplo 4

Determine o valor de

log		1.024
	¹⁶

log		1.024	=	log		1.024
	¹⁶				2⁴

1	log		1.024	=	1	10	=	5
4		2			4			2

Mudança de base

Vimos anteriormente que podemos operar com Logaritmos de mesma base de forma fácil. Porém, haverá momentos em que será exigido operar com Logaritmos de bases diferentes. Quando isso acontece a resolução não flui de forma tão intuitiva. Para operar com Logaritmos de bases diferentes é necessário primeiro, colocar os elementos numa base comum e só então realizar a operação.

Por exemplo:

sendo

log		2	=	0,3

e

log		3	=	0,4

, calcular

log		6
	²

Note que nos foi dados dois Logaritmos de base 10 e se deseja obter o resultado de um Logaritmo em base 2.

Para obtermos o resultado desejado, podemos utilizar a fórmula:

log		b
	^a

=

log		b
	^c

log		a
	^c

Retomando o problema inicial, desejamos encontrar o valor de

log		6
	²

Aplicando a fórmula, tem-se:

log		6
	²

=

log		6
	¹⁰

log		2
	¹⁰

log		6
	²

=

log		(2 . 3)
	¹⁰

log		2
	¹⁰

log		6
	²

=

log		2
	¹⁰

+

log		3
	¹⁰

log		2
	¹⁰

log		6
	²

=

0,3	+	0,4
0,3

=

7

3

Exemplo 1

Sendo

log		2	=	0,3

,

log		3	=	0,4

e

	log		5	=	0,7

, calcule:

a)	log		50
		²

b)	log		45
		³

c)	log		2
		⁹

Exemplo 2

Efetue o produto:

log		2
	³

.

log		5
	²

.

log		3
	⁵

Equações logarítmicas

Uma equação é toda e qualquer expressão matemática composta de uma expressão algébrica e uma igualdade. No escopo dos Logaritmos, uma equação logarítmica pode se apresentar de quatro formas:

1ª) Equações redutíveisa a uma igualdade entre dois Logaritmos de mesma base:

log		f(x)
	^a

=

log		g(x)
	^a

A solução pode ser encontrada determinando f(x) = g(x) > 0.

2ª) Equações redutíveis a uma igualdade entre um Logaritmo e um número real:

log		f(x)	=	r
	^a

3ª) Equações que são resolvidas por meio de uma mudança de incógnita.
4ª) Equações que envolvem utilização de propriedades ou de mudança de base.

Independentemente da forma, para se resolver uma equação logarítmica, deve-se adotar o método de:

1º) Indicar as condições de existência.
2º) Resolver a equação.
3º) Confrontar as soluções encontradas com as condições de existência.

Exemplo 1

Resolva a equação:

log		(3x + 2)
	⁴

=

log		(2x + 5)
	⁴

Exemplo 2

Resolva a equação:

log		(3x² – 5x – 8)
	^{(x + 5)}

=

log		(2x² – 3x)
	^{(x + 5)}

Exemplo 3

Resolva a equação:

log		(2x – 3)	=	2
	⁵

Exemplo 4

Resolva a equação:

(

log		x
	³

)²

–

2

log		x
	³

=

3

Exemplo 5

Resolva a equação:

log

x

(

log		x – 1

)

=

12

Exemplo 6

Resolva a equação:

log		3x
	³

log		x²
	³

=

2

Logaritmos decimais

Os Logaritmos foram e continuam sendo uma ferramenta indispensável quando de trata de facilitar cálculos trabalhosos. Porém, com o uso mais constante de calculadoras e computadores modernos as tábuas de logaritmos caíram em desuso. Isso porque, por meio de uma simples tecla é possível calcular o Logaritmo de qualquer número. Entretanto, por razões históricas, vamos mostrar como isso funcionava.
Por meio das propriedades dos Logaritmos podemos transformar uma multiplicação numa adição, uma divisão numa subtração e uma potenciação numa multiplicação. Cálculos numéricos trabalhosos como o exemplo abaixo pode ser feito rapidamente com a aplicação de Logaritmos decimais.

(9,15)^0,72 . (10,653)

³√88,244

Característica e mantissa

Todo número real positivo x ou é uma potência de 10 ou está compreendido entre duas potências de 10 com expoentes inteiros consecutivos. Veja a tabela abaixo.

x	log x
350	2.5440	10² < x < 10³
27,8	1.4440	10¹ < x < 10²
6,47	0,8109	10⁰ < x < 10¹
0,895	-0,048	10^-1 < x < 10⁰
0,023	-1,638	10^-2 < x < 10^-1

Portanto, sendo dado um número real x positivo, sempre existe um número c inteiro tal que 10^c ≤ x < 10^{c + 1}. Aplicando log na expressão anterior, tem-se:

log 10^c ≤ log x < log 10^{c + 1} c . log 10 ≤ log x < (c + 1 ) . log 10
c ≤ log x < c + 1

Como log x está compreendido entre c e c + 1, então log x = c + m, onde c é um número inteiro e m é um número decimal compreendido entre 0 e 1.

log		x	=	c + m

c ∈ ℤ

c → característica

0 < m < 1

m → mantissa

Tábua de logaritmos – Mantissas

N	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	000000	004321	008600	012837	017033	021189	025306	029384	033424	037426
11	041393	045323	049218	053078	056905	060698	064458	068186	071882	075547
12	079181	082785	086360	089905	093422	096910	100371	103804	107210	110590
13	113943	117271	120574	123852	127105	130334	133539	136721	139879	143015
14	146128	149219	152288	155336	158362	161368	164353	167317	170262	173186
15	176091	178977	181844	184691	187521	190332	193125	195900	198657	201397
16	204120	206826	209515	212188	214844	217484	220108	222716	225309	227887
17	230449	232996	235528	238046	240549	243038	245513	247973	250420	252853
18	255273	257679	260071	262451	264818	267172	269513	271842	274158	276462
19	278754	281033	283301	285557	287802	290035	292256	294466	296665	298853
20	301030	303196	305351	307496	309630	311754	313867	315970	318063	320146
21	322219	324282	326336	328380	330414	332438	334454	336460	338456	340444
22	342423	344392	346353	348305	350248	352183	354108	356026	357935	359835
23	361728	363612	365488	367356	369216	371068	372912	374748	376577	378398
24	380211	382017	383815	385606	387390	389166	390935	392697	394452	396199
25	397940	399674	401401	403121	404834	406540	408240	409933	411620	413300
26	414973	416641	418301	419956	421604	423246	424882	426511	428135	429752
27	431364	432969	434569	436163	437751	439333	440909	442480	444045	445604
28	447158	448706	450249	451786	453318	454845	456366	457882	459392	460898
29	462398	463893	465383	466868	468347	469822	471292	472756	474216	475671
30	477121	478566	480007	481443	482874	484300	485721	487138	488551	489958
31	491362	492760	494155	495544	496930	498311	499687	501059	502427	503791
32	505150	506505	507856	509203	510545	511883	513218	514548	515874	517196
33	518514	519828	521138	522444	523746	525045	526339	527630	528917	530200
34	531479	532754	534026	535294	536558	537819	539076	540329	541579	542825
35	544068	545307	546543	547775	549003	550228	551450	552668	553883	555094
36	556303	557507	558709	559907	561101	562293	563481	564666	565848	567026
37	568202	569374	570543	571709	572872	574031	575188	576341	577492	578639
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21	330414	332438	334454	336460
22	350248	352183	354108	356026
23	369216	371068	372912	374748
24	387390	389166	390935	392697
25	404834	406540	408240	409933
26	421604	423246	424882	426511
27	437751	439333	440909	442480
28	453318	454845	456366	457882
29	468347	469822	471292	472756
30	482874	484300	485721	487138
31	496930	498311	499687	501059
32	510545	511883	513218	514548
33	523746	525045	526339	527630
34	536558	537819	539076	540329
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46	666518	667453	668386	669317
47	675778	676694	677607	678518
48	684845	685742	686636	687529
49	693727	694605	695482	696356
50	702431	703291	704151	705008
51	710963	711807	712650	713491
52	719331	720159	720986	721811
53	727541	728354	729165	729974
54	735599	736397	737193	737987
55	743510	744293	745075	745855
56	751279	752048	752816	753583
57	758912	759668	760422	761176
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99	997386	997823	998259	998695
N	4	5	6	7

N	6	7	8	9
10	025306	029384	033424	037426
11	064458	068186	071882	075547
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21	334454	336460	338456	340444
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30	485721	487138	488551	489958
31	499687	501059	502427	503791
32	513218	514548	515874	517196
33	526339	527630	528917	530200
34	539076	540329	541579	542825
35	551450	552668	553883	555094
36	563481	564666	565848	567026
37	575188	576341	577492	578639
38	586587	587711	588832	589950
39	597695	598791	599883	600973
40	608526	609594	610660	611723
41	619093	620136	621176	622214
42	629410	630428	631444	632457
43	639486	640481	641474	642465
44	649335	650308	651278	652246
45	658965	659916	660865	661813
46	668386	669317	670246	671173
47	677607	678518	679428	680336
48	686636	687529	688420	689309
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51	712650	713491	714330	715167
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53	729165	729974	730782	731589
54	737193	737987	738781	739572
55	745075	745855	746634	747412
56	752816	753583	754348	755112
57	760422	761176	761928	762679
58	767898	768638	769377	770115
59	775246	775974	776701	777427
60	782473	783189	783904	784617
61	789581	790285	790988	791691
62	796574	797268	797960	798651
63	803457	804139	804821	805501
64	810233	810904	811575	812245
65	816904	817565	818226	818885
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67	829947	830589	831230	831870
68	836324	836957	837588	838219
69	842609	843233	843855	844477
70	848805	849419	850033	850646
71	854913	855519	856124	856729
72	860937	861534	862131	862728
73	866878	867467	868056	868644
74	872739	873321	873902	874482
75	878522	879096	879669	880242
76	884229	884795	885361	885926
77	889862	890421	890980	891537
78	895423	895975	896526	897077
79	900913	901458	902003	902547
80	906335	906874	907411	907949
81	911690	912222	912753	913284
82	916980	917506	918030	918555
83	922206	922725	923244	923762
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90	957128	957607	958086	958564
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97	989450	989895	990339	990783
98	993877	994317	994757	995196
99	998259	998695	999131	999565
N	6	7	8	9

Livro de Matemática

Sumário

Par ordenado

Produto cartesiano

Exemplo 1

Exemplo 1

Relação inversa

Exemplo 1

Exemplo 2

Função Injetora

Função Sobrejetora

Função Bijetora

O que você vai estudar:

Condições de existência

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3

Consequências da definição

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3

Exemplo 4

Mudança de base

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3

Exemplo 4

Exemplo 5

Exemplo 6

Característica e mantissa