Livro de Matemática

Sumário

Equações logarítmicas

Uma equação é toda e qualquer expressão matemática composta de uma expressão algébrica e uma igualdade. No escopo dos Logaritmos, uma equação logarítmica pode se apresentar de quatro formas:

1ª) Equações redutíveisa a uma igualdade entre dois Logaritmos de mesma base:

log   f(x)
a
=
log   g(x)
a

A solução pode ser encontrada determinando f(x) = g(x) > 0.

2ª) Equações redutíveis a uma igualdade entre um Logaritmo e um número real:

log   f(x) = r
a

3ª) Equações que são resolvidas por meio de uma mudança de incógnita.
4ª) Equações que envolvem utilização de propriedades ou de mudança de base.

Independentemente da forma, para se resolver uma equação logarítmica, deve-se adotar o método de:

1º) Indicar as condições de existência.
2º) Resolver a equação.
3º) Confrontar as soluções encontradas com as condições de existência.

Exemplo 1

Resolva a equação:

log   (3x + 2)
4
=
log   (2x + 5)
4

Exemplo 2

Resolva a equação:

log   (3x² – 5x – 8)
(x + 5)
=
log   (2x² – 3x)
(x + 5)

Exemplo 3

Resolva a equação:

log   (2x – 3) = 2
5

Exemplo 4

Resolva a equação:

(
log   x
3
)² – 2
log   x
3
= 3

Exemplo 5

Resolva a equação:

log   x (
log   x – 1
 
) = 12
 

Exemplo 6

Resolva a equação:

log   3x
3
log   x²
3
= 2

Logaritmos decimais

Os Logaritmos foram e continuam sendo uma ferramenta indispensável quando de trata de facilitar cálculos trabalhosos. Porém, com o uso mais constante de calculadoras e computadores modernos as tábuas de logaritmos caíram em desuso. Isso porque, por meio de uma simples tecla é possível calcular o Logaritmo de qualquer número. Entretanto, por razões históricas, vamos mostrar como isso funcionava.
Por meio das propriedades dos Logaritmos podemos transformar uma multiplicação numa adição, uma divisão numa subtração e uma potenciação numa multiplicação. Cálculos numéricos trabalhosos como o exemplo abaixo pode ser feito rapidamente com a aplicação de Logaritmos decimais.

(9,15)0,72 . (10,653)
³√88,244

Característica e mantissa

Todo número real positivo x ou é uma potência de 10 ou está compreendido entre duas potências de 10 com expoentes inteiros consecutivos. Veja a tabela abaixo.

x log x  
350 2.5440 10² < x < 10³
27,8 1.4440 10¹ < x < 10²
6,47 0,8109 100 < x < 10¹
0,895 -0,048 10-1 < x < 100
0,023 -1,638 10-2 < x < 10-1

Portanto, sendo dado um número real x positivo, sempre existe um número c inteiro tal que 10c ≤ x < 10c + 1. Aplicando log na expressão anterior, tem-se:

log 10c ≤ log x < log 10c + 1 c . log 10 ≤ log x < (c + 1 ) . log 10
c ≤ log x < c + 1

Como log x está compreendido entre c e c + 1, então log x = c + m, onde c é um número inteiro e m é um número decimal compreendido entre 0 e 1.

log   x = c + m
 
c ∈ ℤ
c → característica
0 < m < 1
m → mantissa

Tábua de logaritmos – Mantissas

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 000000 004321 008600 012837 017033 021189 025306 029384 033424 037426
11 041393 045323 049218 053078 056905 060698 064458 068186 071882 075547
12 079181 082785 086360 089905 093422 096910 100371 103804 107210 110590
13 113943 117271 120574 123852 127105 130334 133539 136721 139879 143015
14 146128 149219 152288 155336 158362 161368 164353 167317 170262 173186
15 176091 178977 181844 184691 187521 190332 193125 195900 198657 201397
16 204120 206826 209515 212188 214844 217484 220108 222716 225309 227887
17 230449 232996 235528 238046 240549 243038 245513 247973 250420 252853
18 255273 257679 260071 262451 264818 267172 269513 271842 274158 276462
19 278754 281033 283301 285557 287802 290035 292256 294466 296665 298853
20 301030 303196 305351 307496 309630 311754 313867 315970 318063 320146
21 322219 324282 326336 328380 330414 332438 334454 336460 338456 340444
22 342423 344392 346353 348305 350248 352183 354108 356026 357935 359835
23 361728 363612 365488 367356 369216 371068 372912 374748 376577 378398
24 380211 382017 383815 385606 387390 389166 390935 392697 394452 396199
25 397940 399674 401401 403121 404834 406540 408240 409933 411620 413300
26 414973 416641 418301 419956 421604 423246 424882 426511 428135 429752
27 431364 432969 434569 436163 437751 439333 440909 442480 444045 445604
28 447158 448706 450249 451786 453318 454845 456366 457882 459392 460898
29 462398 463893 465383 466868 468347 469822 471292 472756 474216 475671
30 477121 478566 480007 481443 482874 484300 485721 487138 488551 489958
31 491362 492760 494155 495544 496930 498311 499687 501059 502427 503791
32 505150 506505 507856 509203 510545 511883 513218 514548 515874 517196
33 518514 519828 521138 522444 523746 525045 526339 527630 528917 530200
34 531479 532754 534026 535294 536558 537819 539076 540329 541579 542825
35 544068 545307 546543 547775 549003 550228 551450 552668 553883 555094
36 556303 557507 558709 559907 561101 562293 563481 564666 565848 567026
37 568202 569374 570543 571709 572872 574031 575188 576341 577492 578639
38 579784 580925 582063 583199 584331 585461 586587 587711 588832 589950
39 591065 592177 593286 594393 595496 596597 597695 598791 599883 600973
40 602060 603144 604226 605305 606381 607455 608526 609594 610660 611723
41 612784 613842 614897 615950 617000 618048 619093 620136 621176 622214
42 623249 624282 625312 626340 627366 628389 629410 630428 631444 632457
43 633468 634477 635484 636488 637490 638489 639486 640481 641474 642465
44 643453 644439 645422 646404 647383 648360 649335 650308 651278 652246
45 653213 654177 655138 656098 657056 658011 658965 659916 660865 661813
46 662758 663701 664642 665581 666518 667453 668386 669317 670246 671173
47 672098 673021 673942 674861 675778 676694 677607 678518 679428 680336
48 681241 682145 683047 683947 684845 685742 686636 687529 688420 689309
49 690196 691081 691965 692847 693727 694605 695482 696356 697229 698101
50 698970 699838 700704 701568 702431 703291 704151 705008 705864 706718
51 707570 708421 709270 710117 710963 711807 712650 713491 714330 715167
52 716003 716838 717671 718502 719331 720159 720986 721811 722634 723456
53 724276 725095 725912 726727 727541 728354 729165 729974 730782 731589
54 732394 733197 733999 734800 735599 736397 737193 737987 738781 739572
55 740363 741152 741939 742725 743510 744293 745075 745855 746634 747412
56 748188 748963 749736 750508 751279 752048 752816 753583 754348 755112
57 755875 756636 757396 758155 758912 759668 760422 761176 761928 762679
58 763428 764176 764923 765669 766413 767156 767898 768638 769377 770115
59 770852 771587 772322 773055 773786 774517 775246 775974 776701 777427
60 778151 778874 779596 780317 781037 781755 782473 783189 783904 784617
61 785330 786041 786751 787460 788168 788875 789581 790285 790988 791691
62 792392 793092 793790 794488 795185 795880 796574 797268 797960 798651
63 799341 800029 800717 801404 802089 802774 803457 804139 804821 805501
64 806180 806858 807535 808211 808886 809560 810233 810904 811575 812245
65 812913 813581 814248 814913 815578 816241 816904 817565 818226 818885
66 819544 820201 820858 821514 822168 822822 823474 824126 824776 825426
67 826075 826723 827369 828015 828660 829304 829947 830589 831230 831870
68 832509 833147 833784 834421 835056 835691 836324 836957 837588 838219
69 838849 839478 840106 840733 841359 841985 842609 843233 843855 844477
70 845098 845718 846337 846955 847573 848189 848805 849419 850033 850646
71 851258 851870 852480 853090 853698 854306 854913 855519 856124 856729
72 857332 857935 858537 859138 859739 860338 860937 861534 862131 862728
73 863323 863917 864511 865104 865696 866287 866878 867467 868056 868644
74 869232 869818 870404 870989 871573 872156 872739 873321 873902 874482
75 875061 875640 876218 876795 877371 877947 878522 879096 879669 880242
76 880814 881385 881955 882525 883093 883661 884229 884795 885361 885926
77 886491 887054 887617 888179 888741 889302 889862 890421 890980 891537
78 892095 892651 893207 893762 894316 894870 895423 895975 896526 897077
79 897627 898176 898725 899273 899821 900367 900913 901458 902003 902547
80 903090 903633 904174 904716 905256 905796 906335 906874 907411 907949
81 908485 909021 909556 910091 910624 911158 911690 912222 912753 913284
82 913814 914343 914872 915400 915927 916454 916980 917506 918030 918555
83 919078 919601 920123 920645 921166 921686 922206 922725 923244 923762
84 924279 924796 925312 925828 926342 926857 927370 927883 928396 928908
85 929419 929930 930440 930949 931458 931966 932474 932981 933487 933993
86 934498 935003 935507 936011 936514 937016 937518 938019 938520 939020
87 939519 940018 940516 941014 941511 942008 942504 943000 943495 943989
88 944483 944976 945469 945961 946452 946943 947434 947924 948413 948902
89 949390 949878 950365 950851 951338 951823 952308 952792 953276 953760
90 954243 954725 955207 955688 956168 956649 957128 957607 958086 958564
91 959041 959518 959995 960471 960946 961421 961895 962369 962843 963316
92 963788 964260 964731 965202 965672 966142 966611 967080 967548 968016
93 968483 968950 969416 969882 970347 970812 971276 971740 972203 972666
94 973128 973590 974051 974512 974972 975432 975891 976350 976808 977266
95 977724 978181 978637 979093 979548 980003 980458 980912 981366 981819
96 982271 982723 983175 983626 984077 984527 984977 985426 985875 986324
97 986772 987219 987666 988113 988559 989005 989450 989895 990339 990783
98 991226 991669 992111 992554 992995 993436 993877 994317 994757 995196
99 995635 996074 996512 996949 997386 997823 998259 998695 999131 999565
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
N 0 1 2 3
10 000000 004321 008600 012837
11 041393 045323 049218 053078
12 079181 082785 086360 089905
13 113943 117271 120574 123852
14 146128 149219 152288 155336
15 176091 178977 181844 184691
16 204120 206826 209515 212188
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80 906335 906874 907411 907949
81 911690 912222 912753 913284
82 916980 917506 918030 918555
83 922206 922725 923244 923762
84 927370 927883 928396 928908
85 932474 932981 933487 933993
86 937518 938019 938520 939020
87 942504 943000 943495 943989
88 947434 947924 948413 948902
89 952308 952792 953276 953760
90 957128 957607 958086 958564
91 961895 962369 962843 963316
92 966611 967080 967548 968016
93 971276 971740 972203 972666
94 975891 976350 976808 977266
95 980458 980912 981366 981819
96 984977 985426 985875 986324
97 989450 989895 990339 990783
98 993877 994317 994757 995196
99 998259 998695 999131 999565
N 6 7 8 9

Sequências e Séries

O que você vai estudar:
  1. Sucessão ou sequência
  2. Progressão aritmética
    – Termo geral de uma P.A.
    – Encontrando os termos de uma P.A.
    – Soma dos termos de uma P.A. finita
  3. Progressão geométrica
    – Termo geral de uma P.G.
    – Soma dos n primeiros termos de uma P.G.
    – Soma dos termos de uma P.G. infinita
    – Trabalhando ao mesmo tempo com P.A. e P.G.
  4. Sequências e Séries

Sucessão ou sequência

Sucessões ou sequências fazem parte do nosso dia a dia. Por exemplo: você consegue dizer rapidamente qual é o próximo item da sequência abaixo?

Janeiro, fevereiro, março, abril, …

Além disso, numa fila com cinco pessoas, é simples saber a posição de cada indivíduo. Caso você entre na fila, você será a sexta pessoa a ser atendida.
Note que uma sequência contém as seguintes propriedades: ordem e posição.

A sequência abaixo se refere aos marcos quilométricos em que deverão ser instaladas cabines telefônicas.

(3, 8, 13, 18, 23, …, 88)

Esta mesma sequência pode ser escrita de forma genérica assim: (a1, a2, a3, a4, a5, …, an).
Cada elemento da sequência está indexado. O primeiro termo, a1, é igual a 3, o segundo termo, a2, é igual a 8; já o último termo, an, é igual a 88.
A sucessão de números que estamos trabalhando é finita; porém, podemos nos deparar com sucessões infinitas, como é o caso da sequência de números pares (2, 4, 6, 8, …).
Em nosso estudo, os elementos das sequências serão sempre números reais, portanto, sequência é qualquer função ƒ cujo domínio é ℕ*.
Assim, são exemplos de sequências:

f:ℕ → ℝ definida por f(n) = 2n + 1

g:ℕ → ℝ definida por

g(n)
=
5 – n
n + 3

Substituindo n pelos números naturais, veremos que:

f(n) → (3, 5, 7, …, 21, …) e

g(n) →

1 , 3 , 1 , …
5 3

Note que f(n) é uma sequência em ℤ e g(n), uma sequência em ℚ.

Nota:

As sequências possuem uma lei de formação e, a partir dela, é possível obter qualquer termo da sequência.

Uma sequência pode ser definida de duas formas:

• Pelo termo geral
Neste caso, a sequência é definida por uma fórmula fechada que retorna o valor de cada termo an em função de sua posição n na sequência.

Exemplo

Por meio da lei de formação

an
=
1
2n

podemos obter qualquer termo da sequência.

1 , 1 , 1 , …
2 4 6

Se quisermos obter, de imediato, o terceiro termo da sequência, é só substituirmos n por 3 na fórmula.

a3
=
1
2.3
=
1
6

• Por Recorrência

Em uma sequência definida por recorrência não é possível determinar, imediatamente, um termo qualquer an. O termo an desejado, dependendo da fórmula de recorrência, necessitará de termos anteriores.

Exemplo

A sequência abaixo é definida por:

a1 = 3
an + 1 = an + 5

Vamos determinar os quatro primeiros termos dessa sequência.

a1 + 1 = a1 + 5
a2 = 3 + 5 = 8

a2 + 1 = a2 + 5
a3 = 8 + 5 = 13

a3 + 1 = a3 + 5
a4 = 13 + 5 = 18

Assim, a sequência é (3, 8, 13, 18,…).

Note que não é possível obtermos o termo a4 de imediato, sem obtermos os termos anteriores.

A sequência de Fibonacci é uma das sequências mais famosas.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

Sua fama se deve ao fato de possuir propriedades intrigantes. Essa sequência é encontrada na natureza, usada por arquitetos em seus projetos e até por compositores musicais. A lei de formação dessa sequência é do tipo recorrência.

a1 = 1
a2 = 1

an + 2 = an + 1 + an; n ∈ ℕ*

Para construir essa sequência, basta começar com os dois primeiros termos e lembrar que cada termo é a soma dos dois anteriores.

a1 + 2 = a1 + 1 + a1
a3 = a2 + a1
a3 = 1 + 1 = 2

a2 + 2 = a2 + 1 + a2
a4 = a3 + a2
a4 = 2 + 1 = 3

a3 + 2 = a3 + 1 + a3
a5 = a4 + a3
a5 = 3 + 2 = 5

e assim por diante.

Progressão aritmética

Observe as sequências abaixo:

I) (1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, an, …)

II) (7, 10, 15, 22, 33, 46, 63, 82, an, …)

III) (4, 7, 10, 13, 16, an, …)

É muito mais fácil saber o valor de an na terceira sequência do que nas outras. Na terceira sequência de um termo para o seguinte, somamos 3. Note também que este valor é fixo para todos os termos. O mesmo não ocorre para as outras sequências.

• Sequência I)

1
2 = 1 + 1
4 = 2 + 2
7 = 4 + 3
11 = 7 + 4
16 = 11 + 5
22 = 16 + 6

Essa sequência está amarrada a outra. Veja:

(1, 2, 3, 4, 5, 6, …) → an = n

(1, 2, 4, 7, 11, 16, …) → bn + 1 = bn + an

Para chegarmos ao próximo termo da sequência bn + 1 , precisamos somar o termo anterior bn com o termo de mesma posição na da sequência an.

• Sequência II)

7
10 = 7 + 3
15 = 10 + 5
22 = 15 + 7
33 = 22 + 11

Da mesma forma que acontece na sequência (I), a sequência (II) está amarrada a outra. Veja:

(3, 5, 7, 11, 13, …) → sequência de números primos

(7, 10, 15, 22, 33, 46, 63, …) → bn + 1 = bn + an

Observação

Nas sequências (I) e (II), a razão varia de um termo para o seguinte; porém, na sequência (III), o valor da razão é constante.

Progressão aritmética (P.A.) é uma sequência de números reais em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior adicionado a um número fixo, chamado razão.

A representação matemática de uma Progressão aritmética (P.A.) é:

(a1, a2, a3, …, an, an + 1, …)

an + 1 = an + r, ∀ n ∈ ℕ*

Uma Progressão aritmética pode ser classificada dependendo do sinal da razão.

• Quando r > 0, dizemos que a P.A. é crescente.

(5, 9, 13, 17,…) → r = 4

• Quando r < 0, dizemos que a P.A. é decrescente.

(12, 10, 8, 6, 4, …) → r = -2

• Quando r = 0, dizemos que a P.A. é constante ou estacionária.

(3, 3, 3, 3, 3, …)

A P.A. (240.55, 240.55, 240.55, 240.55, 240.55, …, 240.55) representa as parcelas de uma compra à prazo.

Termo geral de uma P.A.

Uma P.A. é uma sequência definida por uma fórmula fechada, permitindo assim encontrarmos qualquer termo desta sem precisar escrevê-la completamente.

Considere a seguinte progressão aritmética de razão r.

(a1, a2, a3, a4, a5, …, an – 1, an)

a1 = a1 + 0r
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = a1 + 3r

Seguindo a sequência de passos anteriores, percebemos que, o termo an, que ocupa a n-ésima posição na sequência, é dado por:

an = a1 + (n – 1)r

Na fórmula:

– an é o n-ésimo termo (termo geral)
– a1 é o primeiro termo
– n é o número de termos
– r é a razão

Notação especial

Há casos em que precisamos recorrer a artifícios para resolver determinados problemas envolvendo P.A.. Quando os problemas tratam de soma ou produto de termos consecutivos de uma P.A., é conveniente escrevemos seus termos da seguinte forma:

• Para uma P.A. de três termos, escrevemos: (x, x + r, x + 2r) ou (x – r, x, x + r)
• Para uma P.A. de quatro termos, escrevemos: (x, x + r, x + 2r, x + 3r) ou (x – 3r, x – r, x + r, x + 3r)
• Para uma P.A. de cinco termos, escrevemos: (x, x + r, x + 2r, x + 3r, x + 4r) ou (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r)

Exemplo 1

Achar o número de múltiplos de 5 compreendidos entre 21 e 623.

(21, 25, 30, …, 620, 623)

Observe na sequência acima que o primeiro termo múltiplo de 5 é 25 e o último é 620.

an = a1 + (n – 1)r

a1 = 25
an = 620
n é o que estamos procurando
r = 5

Portanto:

an = a1 + (n – 1)r
620 = 25 + (n – 1)5
595 = 5n – 5
600 = 5n
n = 120

Logo, existem 120 múltiplos de 5 compreendidos entre 21 e 623.

Exemplo 2

Determine a P.A. que possui as seguintes características: o 10º termo vale 16 e a soma do 5º com o 9º termo é igual a 2.

Dados do problema:

a10 = 16
a5 + a9 = 2

a1 + 9r = 16
(a1 + 4r) + (a1 + 8r) = 2

a1 + 9r = 16
2a1 + 12r = 2

Vamos multiplicar a primeira equação do sistema por -2.

-2a1 – 18r = -32
2a1 + 12r = 2

-6r = -30
r = 5

Substituindo r na equação a1 + 9r = 16, encontramos a1 + 9(5) = 16 → a1 = -29.

Logo, a P.A. procurada é (-29, -24, -19, -14, …).

Exemplo 3

Interpole 8 meios aritméticos entre 2 e 47.

2 T T T T T T T T 47

Interpolar 8 meios aritméticos entre 2 e 47 significa determinar oito números reais de modo que se tenha uma P.A. em que a1 = 2 e a10 = 47.

an = a1 + (n – 1)r
a10 = a1 + (10 – 1)r
a10 = a1 + 9r

47 = 2 + 9r
45 = 9r
r = 5

Portanto, tem-se uma P.A. de razão igual a 5 e primeiro termo igual a 2. Logo, os oito meios aritméticos procurados são:

(2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47)

Exemplo 4

Uma fábrica produziu, em 1986, 6.530 unidades de um determinado produto e, em 1988, produziu 23.330 unidades do mesmo produto. Sabendo que a produção anual desse produto vem crescendo em progressão aritmética, pede-se:

a) Quantas unidades do produto essa fábrica produziu em 1987?

b) Quantas unidades serão produzidas em 1991?

a) Vamos fazer a seguinte correspondência:

a1 → 1986
a2 → 1987
a3 → 1988
a4 → 1989
a5 → 1990
a6 → 1991

Sabemos que em 1986 foram produzidas 6.530 unidades de certo produto, já em 1988 foram produzidas 23.330 unidades.

a3 = a1 + 2r
23.330 = 6.530 + 2r
16.800 = 2r
r = 8.400

Desse modo, a cada ano são produzidas 8.400 unidades deste produto.

a2 = a1 + r
a2 = 6.530 + 8.400
a2 = 14.930

Em 1987 foram produzidas 14.930 unidades do referido produto.

b) 1991 corresponde ao 6º termo da P.A..

a6 = a1 + 5r
a6 = 6.530 + 5(8.400)
a6 = 48.530

Exemplo 5

(UFRJ)A concessionária responsável pela manutenção de vias privatizadas, visando a instalar cabines telefônicas em uma rodovia, passou a seguinte mensagem aos seus funcionários: “As cabines telefônicas devem ser instaladas a cada 3 km, começando no início da rodovia”. Quantas cabines serão instaladas ao longo da rodovia, se a mesma tem 700 quilômetros de comprimento?

Este problema se resume a encontrar a quantidade números múltiplos de 3 entre 0 e 700. Porém, há um detalhe no final.

(0, 3, 6, …, 696, 699)

Observe na sequência acima que o primeiro termo múltiplo de 3 é 3 e o último é 699.

an = a1 + (n – 1)r

a1 = 3
an = 699
n é o que estamos procurando
r = 3

Portanto:

an = a1 + (n – 1)r
699 = 3 + (n – 1)3
696 = 3n – 3
699 = 3n
n = 233

Visto que, o problema trata de uma situação real, onde as cabines deverão ser instaladas desde o início da rodovia, isso quer dizer que no km zero existe uma cabine instalada. Portanto, são 234 cabines.

Soma dos termos de uma P.A. finita

(13, 20, 27, 34, 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90)

A sequência acima é uma P.A. finita de razão 7 e representa a quantia ganha por um jogador em cada uma das 12 rodadas. Daí surge a pergunta: quanto o jogador ganhou no total?
Para sabermos isso é simples, basta somar todos os termos dessa sequência 13 + 20 + 27 + … + 90. Acompanhe o esquema abaixo:

(I) S = 13 + 20 + … + 83 + 90
(II) S = 90 + 83 + … + 20 + 13
  2S = 103 + 103 + … + 103 + 103

Assim, 2S = 12 * 103

O número 12 se refere a quantidade de termos da P.A..

S
=
12 * 103
2

Note que precisamos apenas do 1º termo, do último e da quantidade termos da sequência.

Vamos repetir o processo para uma sequência genérica de razão r.

(a1, a2, a3, … , an – 2, an – 1, an)

(I) Sn = a1 + a1 + r + … + an
(II) Sn = an + an – r + … + a1
  2S = (a1 + an) + (a1 + an) + … + (a1 + an)

Portanto, 2Sn = n * (a1 + an) ou

Sn
=
(a1 + an)n
2

Exemplo 1

Resolver a equação 1 + 7 + … + x = 280, sabendo-se que os termos do 1º membro formam uma P.A.

Dados do problema:
a1 = 1
an = x
r = 7 – 1 = 6
Sn = 280

an = a1 + (n – 1)r
x = 1 + (n – 1)6
x = 1 + 6n – 6
x = 6n – 5
x + 5 = 6n

n
=
x + 5
6
Sn
=
(a1 + an)n
2
280
=

(1 + x)
x + 5
6

2

Efetuando as multiplicações e fazendo as passagens adequadas chegamos em:

x² + 6x – 3.355 = 0

Resolvendo a equação temos:
Δ = 36 + 13.420 = 13.456

x
=
– 6 ± 116
2

x’ = 55
x” = -61

Como a P.A. é crescente x = 55.

Exemplo 2

O dono de uma fábrica pretende iniciar a produção com 2.000 unidades mensais e, a cada mês, produzir 175 unidades a mais. Mantidas essas condições, em um ano quantas unidades a fábrica terá produzido no total?

A partir dos dados do problema podemos construir a sequência (2.000, 2.175, 2.350, …). Foi informado que a razão de termo para o seguinte é de 175. Visto que, um ano possui 12 meses o último termo desta sequência é a12.

a12 = a1 + 11r
a12 = 2.000 + 11(175)
a12 = 3.925

Encontrar quantas unidades a fábrica produziu em um ano é encontrar S12.

S12
=
(a1 + a12)12
2
S12
=
(2.000 + 3.925)12
2

S12 = 5.925*6
S12 = 35.550

Portanto, ao final de um ano a fábrica terá produzido 35.550 unidades do produto.

Exemplo 3

Suponha que, em um certo mês, o número de queixas diárias registradas em um órgão de defesa do consumidor aumente segundo uma P.A. Sabendo que nos dez primeiros dias houve 245 reclamações e nos dez dias seguintes houve mais 745 reclamações, determine a sequência do número de queixas naquele mês.

Nos dez primeiros dias houve 245 reclamações. Essa é a primeira série de termos de devemos analisar.

(I) a1 + (a1 + r) + … (a1 + 9r) = 245

Nos dez dias seguintes houve mais 745 reclamações.

(II) (a1 + 10r) + (a1 + 11r) + … (a1 + 19r) = 745

de (I) temos:

S10
=
(a1 + (a1 + 9r))10
2

245 = (2a1 + 9r)5
2a1 + 9r = 49

de (II) temos:

S10
=
(a1 + 10r + a1 + 19r)10
2

745 = (2a1 + 29r)5
2a1 + 29r = 149

A partir das equações encontradas podemos formar o sistema:

2a1 + 9r = 49
2a1 + 29r = 149

Resolvendo o sistema temos:

100 = 20r → r = 5

Substituindo o valor de r em 2a1 + 9r = 49 temos:

2a1 + 9(5) = 49
2a1 = 4
a1 = 2
Logo, a sequência do número de queixas é (2, 7, 12, 17, …).

Progressão geométrica

Observe a seguinte sequência (4, 8, 16, 32, 64, …). Essa sequência é regida por uma fórmula fechada, na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo.

8 = 4 * 2
16 = 8 * 2
32 = 16 * 2
64 = 32 * 2

O número fixo, neste caso, vale 2, ou seja, a razão dessa sequência vale 2.

Podemos generalizar da seguinte forma:

(a1, a2, a3, …, an, an + 1, …)

a2 = a1 * q
a3 = a2 * q → a1 * q * q → a1 * q²
a4 = a3 * q → a2 * q * q → a1 * q³

an = a1 * qn – 1

A fórmula acima é a chamada fórmula do termo geral de uma P.G. e nela: an é o n-ésimo termo, a1 é o primeiro termo, n é a quantidade de termos e q é a razão

Progressão geométrica (P.G.) é uma sequência de números reais em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo, chamado razão.

Exemplo 1

Dada a sequência (11, 44, 176,…), determine seu 9º termo.

Dados do problema:
a9 é o termo que se deseja encontrar
a1 = 11
a2 = a1 * q → 44 = 11 * q → q = 44 ÷ 11 → q = 4

Usando a fórmula do termo geral da P.G., temos:

an = a1 * qn – 1 a9 = a1 * q9 – 1 a9 = a1 * q8 a9 = 11 * 48 a9 = 720.896

Exemplo 2

A sequência de números positivos dada por (x – 2, √(x² + 11), 2x + 2, …) é uma progressão geométrica. Qual é o sétimo termo dessa progressão?

√(x² + 11)
x – 2
=
2x + 2
√(x² + 11)

(√(x² + 11))² = (x – 2)(2x + 2)
x² + 11 = 2x² – 2x – 4
11 = x² – 2x – 4
x² – 2x – 15 = 0

Δ = b² – 4ac
Δ = (-2)² – 4(1)(-15)
Δ = 64

x =
– b ± √Δ
2a
x =
– (-2) ± √64
2(1)
x =
2 ± 8
2

x’ = 5 e x” = -3

Visto que o problema informou que a sequência de números é positiva, ficamos com x = 5.
Portanto, a sequência (x – 2, √(x² + 11), 2x + 2, …) é (5 – 2, √(5² + 11), 2(5) + 2, …) → (3, 6, 12, …).

O sétimo termo corresponde ao a7.

an = a1 * qn – 1
a7 = a1 * q7 – 1
a7 = a1 * q6
a7 = 3 * 26
a7 = 192

Exemplo 3

O número de participantes de um bate-papo virtual (chat) em um portal de internet varia segundo uma P.G. no período das 23 horas às 6 horas. Se, às 2 horas da manhã, havia 2.000 pessoas nas salas de bate-papo e às 5 da manhã, 250 pessoas, determine o número de internautas nas salas às 23 horas e às 6 horas.

Para facilitar o entendimento do exercício, vamos montar o seguinte esquema:

Horário Termo da P.G.
23 horas a1 = ?
00 horas a2
1 hora a3
2 horas a4 = 2.000
3 horas a5
4 horas a6
5 horas a7 = 250
6 horas a8 = ?

a4 = a1 * q³ → a1 * q³ = 2.000
a7 = a1 * q6
a7 = a1 * q3 * q3
a7 = (a1 * q3) * q3
a7 = a4 * q3
250 = 2.000 * q³

q³ =
250
2.000
q³ =
1
8
q =
1
2

a4 = a1 * q3
2.000 = a1 * (1/2)3
2.000 = a1 * (1/8)
a1 = 2.000 * 8 = 16.000

Portanto, às 23 horas havia 16.000 pessoas nas salas de bate-papo.

6 horas correspondem ao a8 = a1 * q8 – 1.

a8 = a1 * q7
a8 = 16.000 * (1/2)7
a8 = 16.000 ÷ 128
a8 = 125

Logo, às 6 horas, havia 125 pessoas nas salas de bate-papo.

Veja a sequência que representa essa situação: (16.000, 8.000, 4.000, …).

Uma P.G. pode ser classificada como crescente, decrescente, alternada e constante. Vejamos cada caso:

Crescente

Uma P.G. é crescente:

• Quando a1 > 0 e q > 1.

Exemplo: (1, 4, 16, 64, …) é uma P.G. crescente, com a1 = 1 e q = 4.

• Quando a1 < 0 e 0 < q < 1.

Exemplo: (-40, -20, -10, …) é uma P.G. crescente, com a1 = -40 e q = 1/2.

Decrescente

Uma P.G. é decrescente:

• Quando a1 > 0 e 0 < q < 1.

Exemplo: (256, 64, 16, …) é uma P.G. decrescente, com a1 = 256 e q = 1/4.

• Quando a1 < 0 e q > 1.

Exemplo: (-2, -10, -50, …) é uma P.G. decrescente, com a1 = -2 e q = 5.

Alternada

Uma P.G. é alternada:

• Quando q < 0.

Exemplo: (2, -6, 18, -54, …) é uma P.G. alternada, com a1 = 2 e q = -3.

Constante

Uma P.G. é constante:

• Quando q = 1.

Exemplo: (4, 4, 4, …) é uma P.G. constante, com a1 = 4 e q = 1.

Soma dos n termos de uma P.G.

Observe a P.G. genérica abaixo:

(a1, a2, a3, …, an)

Como obter a soma dos termos desta sequência?

a1 + a2 + a3, + … + an = ? onde q ≠ 1.

(I) Sn = a1 + a1q + a1q² + … + a1qn – 1
(II) qSn = a1q + a1q² + a1q³ + … + a1qn – 1 + a1qn

Fazendo (II) – (I) teremos:

qSn – Sn = – a1 + a1qn
Sn(q – 1) = a1(qn – 1)

Sn
=
a1(qn – 1)
q – 1

Exemplo 1

Quantos termos da P.G. (2, 6, 18,…) devem ser considerados a fim de que a soma resulte 19.682?

Dados do problema:
Sn = 19.682
a1 = 2
q = 6 ÷ 2 = 3

Aplicando os dados na fórmula da soma dos n termos de uma P.G. teremos:

Sn
=
a1(qn – 1)
q – 1
Sn
=
2(3n – 1)
3 – 1

19.682 = 3n – 1
19.683 = 3n

Fatorando o número 19.683 encontraremos 39.

39 = 3n

Logo, n = 9

Exemplo 2

Um indivíduo contraiu uma dívida e precisou pagá-la em oito prestações assim determinadas:
1ª: R$60,00; 2ª: R$90,00; 3ª: R$135,00; e assim por diante. Qual o valor total da dívida?

O total da dívida pode ser representada como a soma dos termos da P.G. abaixo:

60 + 90 + 135 + … + a8 = Sn

Sn
=
a1(qn – 1)
q – 1
S8
=
60((90/60)8 – 1)
(90/60) – 1
S8
=
60(3/28 – 1)
3/2 – 1

S8 = 2.955,46875

O total da dívida é de aproximadamente R$ 2.956,00.

Exemplo 3

Num apiário há seis viveiros. O número de abelhas em cada viveiro está indicado na tabela abaixo:

  Machos Fêmeas
1º viveiro 3 2
2º viveiro 6 6
3º viveiro 12 18
⁝ ⁝ ⁝

Supondo que os valores variam segundo progressões geométricas, quantas abelhas há, ao todo, no apiário?

Como há seis viveiros, a tabela vai até a sexta linha. As colunas Machos e Fêmeas da tabela representam, cada uma, uma P.G.

Machos → (3, 6, 12, …, a6)
Fêmeas → (2, 6, 18, …, a6)

O total de abelhas no apiário é a soma (Sn(machos) + Sn(fêmeas)).

Sn(machos) → 3 + 6 + 12 + … + a6

Sn(machos)
=
a1(qn – 1)
q – 1
S6
=
3(26 – 1)
2 – 1

S6 = 3(26 – 1)
S6 = 189

Sn(fêmeas) → 2 + 6 + 18 + … + a6

Sn(fêmeas)
=
a1(qn – 1)
q – 1
S6
=
2(36 – 1)
3 – 1
S6
=
1.456
2

S6 = 728

Total de abelhas no apiário = Sn(machos) + Sn(fêmeas)
Total de abelhas no apiário = 189 + 728
Total de abelhas no apiário = 917

1 … 3 4 5 6 7 … 20