Livro de Matemática

Na circunferência acima foram marcados dois pontos distintos A e B. A partir de agora a circunferência fica dividida em duas partes ou dois arcos. O arco AB e o arco BA.

Caso o ponto A coincida com o ponto B, eles determinam um arco nulo ou arco de uma volta.

Se quisermos saber a medida de um arco usamos duas medidas: o grau (símbolo °) e o radiano (símbolo rad). Um grau equivale a 1/360 da circunferência que contém o arco a ser medido. já 1 radiano equivale a um raio unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido.

Ângulo central

São dados dois pontos distintos A e B sobre a circunferência acima e ligando ambos ao centro O formamos entre as semi-retas OB e OA o ângulo α. A medida de um arco de circunferência é a medida do ângulo central correspondente.
AOB = AB = α
Note que a medida de um arco não é a mesma coisa que a medida do comprimento desse arco. Os arcos AB e CD na figura abaixo possuem a mesma medida α, porém não têm o mesmo comprimento.

Unidades para medir arcos

O grau (°)

Se dividirmos uma circunferência em 360 partes iguais, cada uma dessas partes corresponderá a um arco de 1º(lê-se um grau). Portanto, uma circunferência possui 360º.
Na sequência de figuras abaixo a circunferência foi dividida em 4 partes idênticas. Cada parte corresponde a um arco de 90°.

O grau possui submúltiplos que são o minuto e o segundo.

• Um minuto é igual a 1/60 do grau (símbolo ‘).
• Um segundo é igual a 1/60 do minuto (símbolo ”).

Portanto, um arco de medida igual a 35 graus, 14 minutos e 22 segundos, é indicado como: 35° 14′ 22″.

O radiano (rad)

Dada uma circunferência de raio r vamos fazer o seguinte experimento. Extraimos uma medida igual ao raio e a sobrepomos na circunferência, conforme a segunda figura. A partir deste ponto podemos pontuar o arco, recém colocado, com os pontos A e B conforme a terceira figura. Note que o arco AB tem o mesmo comprimento do raio da circunferência. Desta forma, o ângulo central mede 1 radiano.
1 rad = arco de mesmo comprimento do raio da circunferência.

Comprimento de um arco

Veja na figura acima dois arcos destacados, um AB e outro CD. O arco CD está numa circunferência cujo raio mede 6 cm, já o arco AB está numa circunferência de raio 9 cm. Ambos possuem a mesma medida que é π/6 rad, porém comprimentos de arco diferentes. Para calcular o comprimento de cada arco vamos montar as seguintes proporções:
Cálculo do comprimento l₁ ou arco CD.

2π está para π/6 assim como 2πr(comprimento da circunferência) está para l₁ (comprimento que desejo encontrar). Multiplicando cruzado fica assim: 2πl₁ = π/6 * 2π * r. Sendo r = 6 cm, vem:

2πl₁ = π/6 * 2π * 6

2πl₁ = 2π²

l₁ = 2π²/2π

l₁ = π cm

Cálculo do comprimento l₂ ou arco AB.

2π está para π/6 assim como 2πr(comprimento da circunferência) está para l₂ (comprimento que desejo encontrar). Multiplicando cruzado fica assim: 2πl₂ = π/6 * 2π * r. Sendo r = 9 cm, vem:

2πl₂ = π/6 * 2π * 9

2πl₂ = 3π²

l₂ = 3π²/2π

l₂ = 3π/2 cm

De forma geral o comprimento de um arco pode ser obtido montando as proporções abaixo:

Multiplicando cruzado fica:

2πl = 2παr

Logo, o comprimento do arco depende da medida do arco e do raio da circunferência.

Veja na figura abaixo que o ciclo trigonométrico é formado por dois eixos que se cruzam e por uma circunferência de raio igual a um no seu centro. Perceba que o sentido positivo é o anti-horário. O sentido horário é negativo.

Os eixos que se cruzam acabam dividindo o ciclo trigonométrico em quatro quadrantes. Veja na figura como estão distribuidos.

O ciclo trigonométrico ainda apresenta como destaque quatro arcos: 90º, 180º, 270º e 360°. É possível visualizar na figura os seus correspondentes em radianos.

Arcos congruentes

Veja a representação do arco de 60º no ciclo trigonométrico abaixo:

Na segunda figura foi dada uma volta completa no ciclo retornando ao mesmo ponto terminal. Já na terceira figura foram dadas duas voltas completas e da mesma forma retornando ao mesmo ponto terminal. Portanto, os arcos de 60º + 360º, 60º + 2 * 360º, 60º + 3 * 360º, … , 60° + k * 360° têm o mesmo ponto terminal do arco de 60º.

Veja o mesmo esquema de arcos côngruos em radianos: ^π/₃ + 2π, ^π/₃ + 2 * 2π, ^π/₃ + 3 * 2π, …, ^π/₃ + k * 2π possuem o mesmo ponto terminal do arco ^π/₃ rad.

Dois arcos são ditos côngruos quando têm o mesmo ponto terminal e diferem entre si apenas pelo número de voltas inteiras.

Se o arco mede αº, a expressão geral dos arcos côngruos é:

Se o arco mede α rad, a expressão geral dos arcos côngruos é:

Inicialmente tracemos um arco AB conforme a figura 1. O ponto P é a imagem do número real x (figura 2). Da figura 2 podemos retirar vários dados. Veja:

• P é a imagem de x;
• Ligando o ponto O ao ponto P obtemos o raio da circunferência, que neste caso vale 1;
• OPP₂ é um triângulo retângulo;
• OPP₁ também é um triângulo retângulo;
• x é a medida do arco desde 0 até P;
• OP₁ é o seno de x;
• PP₂ = OP₁

Usando as técnicas aplicadas ao triângulo retângulo podemos obter o seno de x.

Logo, senx = OP₁, pois OP = 1.
Note que como o raio vale 1, o valor do seno será sempre menor ou igual a 1. O eixo y agora se torna o eixo dos senos.

Funções são relações com algumas restrições. No caso da função seno (y = senx) o domínio é igual ao contradomínio que por sua vez é igual ao conjunto dos reais, ou seja, D = C = ℜ. Porém, o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio.

Veja na imagem acima que a função seno está limitada entre -1 e 1. Logo, o conjunto imagem da função seno se restringe ao intervalo [-1,1]. Portanto, Im = [-1,1] ou -1 ≤ senx ≤ 1, ∀ x ∈ R.

Na imagem acima verificamos o sinal da função seno em cada quadrante. Visto que o seno de x é representado no eixo vertical (eixo y), acima do eixo x (eixo horizontal) os valores da função são positivos, porém abaixo desse eixo os valores são negativos.

Valores notáveis

Na tabela abaixo encontram-se os valores dos senos dos ângulos mais comuns estudados em trigonometria. A partir destes ângulos podemos encontrar o seno de outros ângulos.

Gráfico da função seno

Veja como fica o gráfico da função seno quando variamos x no intervalo de [0 , 2π].

Essa linha laranja presente no gráfico recebe o nome de senóide e ela continua à direita de 2π e à esquerda de 0 (zero). Na situação acima, foi dada uma volta completa no ciclo trigonométrico. Se dermos mais voltas a função seno repetirá seus valores. É por isso que a função seno é uma função periódica e seu período equivale a 2π. Portanto, quando somamos 2kπ ao arco x, estamos obtendo o mesmo valor para o seno.

Veja na primeira figura a representação do ângulo de 60º ou π/3. Em seguida dá-se uma volta completa no ciclo e retorna ao ponto de partida, ou seja, um arco de 60º + 360º(uma volta completa) o que resulta em 420º. O seno de 60º é igual a √3/2, como foi dada uma volta completa mais 60º, repetimos o valor do seno. Logo, o seno de 420º também é igual a √3/2.

A função seno é uma função ímpar

se f(-x) = – f(x) para todo x, então f tem um gráfico simétrico em relação à origem. Quando isso ocorre, dizemos que f é uma função ímpar.

Portanto, sen x = – sen(-x).

Inicialmente tracemos um arco AB conforme a figura 1. O ponto P é a imagem do número real x (figura 2). Da figura 2 podemos retirar vários dados. Veja:

• P é a imagem de x;
• Ligando o ponto O ao ponto P obtemos o raio da circunferência, que neste caso vale 1;
• OPP₂ é um triângulo retângulo;
• OPP₁ também é um triângulo retângulo;
• x é a medida do arco desde 0 até P;
• OP₂ é o cosseno de x;
• PP₁ = OP₂

Usando as técnicas aplicadas ao triângulo retângulo podemos obter o cosseno de x.

Logo, cos x = OP₂, pois OP = 1.
Note que como o raio vale 1, o valor do cosseno será sempre menor ou igual a 1. O eixo x agora se torna o eixo dos cossenos.

Na da função cosseno (y = cos x) o domínio é igual ao contradomínio que por sua vez é igual ao conjunto dos reais, ou seja, D = C = R. Porém, o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio.

Veja na imagem acima que a função cosseno está limitada entre -1 e 1. Logo, o conjunto imagem da função cosseno se restringe ao intervalo [-1,1]. Portanto, Im = [-1,1] ou -1 ≤ cos x ≤ 1, ∀ x ∈ R.

Na imagem acima verificamos o sinal da função cosseno em cada quadrante. Visto que o cosseno de x é representado no eixo horizontal (eixo x), à direita do eixo y (eixo vertical) os valores da função são positivos, porém à esquerda desse eixo os valores são negativos.

Valores notáveis

Na tabela abaixo encontram-se os valores dos cossenos dos ângulos mais comuns estudados em trigonometria. A partir destes ângulos podemos encontrar o cosseno de outros ângulos.

Gráfico da função cosseno

Veja como fica o gráfico da função cosseno quando variamos x no intervalo de [0 , 2π].

Essa linha laranja presente no gráfico recebe o nome de cossenóide e ela continua à direita de 2π e à esquerda de 0 (zero). Na situação acima, foi dada uma volta completa no ciclo trigonométrico. Se dermos mais voltas a função cosseno repetirá seus valores. A função cosseno também é uma função periódica e seu período equivale a 2π. Portanto, quando somamos 2kπ ao arco x, estamos obtendo o mesmo valor para o cosseno.

A função cosseno é uma função par

se f(-x) = f(x) para todo x, então f tem um gráfico simétrico em relação ao eixo y. Quando isso ocorre, dizemos que f é uma função par.

Portanto, cos(-x) = cos(x).

Vamos fazer uso da simetria para entendermos como o seno e o cosseno de um ângulo se comporta.

Arcos complementares

Para entendermos esta relação traçamos inicialmente um arco x no ciclo trigonométrico. A partir deste ponto traçamos um triângulo retângulo (na cor azul). Em seguida duplicamos este triângulo (na cor laranja), o rotacionamos e posicionamos seu maior cateto sobre o eixo dos senos conforme a figura acima. Após estas manipulações podemos extrair a seguintes relações entre seno e cosseno.

Relação fundamental I

A partir de um arco x traçado no ciclo trigonométrico desenhamos um triângulo retângulo. Visto que o raio da circunferência vale 1 temos que OP = 1. Desta forma sen x = PP₂ e cos x = OP₂. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo vermelho temos:

(sen x)² + (cos x)² = (OP)², ou seja,