Livro de Matemática
Sumário
Sequências e Séries
O que você vai estudar:
- Sucessão ou sequência
- Progressão aritmética
– Termo geral de uma P.A.
– Encontrando os termos de uma P.A.
– Soma dos termos de uma P.A. finita - Progressão geométrica
– Termo geral de uma P.G.
– Soma dos n primeiros termos de uma P.G.
– Soma dos termos de uma P.G. infinita
– Trabalhando ao mesmo tempo com P.A. e P.G. - Sequências e Séries
Sucessão ou sequência
Sucessões ou sequências fazem parte do nosso dia a dia. Por exemplo: você consegue dizer rapidamente qual é o próximo item da sequência abaixo?
Janeiro, fevereiro, março, abril, …
Além disso, numa fila com cinco pessoas, é simples saber a posição de cada indivíduo. Caso você entre na fila, você será a sexta pessoa a ser atendida.
Note que uma sequência contém as seguintes propriedades: ordem e posição.
A sequência abaixo se refere aos marcos quilométricos em que deverão ser instaladas cabines telefônicas.
(3, 8, 13, 18, 23, …, 88)
Esta mesma sequência pode ser escrita de forma genérica assim: (a1, a2, a3, a4, a5, …, an).
Cada elemento da sequência está indexado. O primeiro termo, a1, é igual a 3, o segundo termo, a2, é igual a 8; já o último termo, an, é igual a 88.
A sucessão de números que estamos trabalhando é finita; porém, podemos nos deparar com sucessões infinitas, como é o caso da sequência de números pares (2, 4, 6, 8, …).
Em nosso estudo, os elementos das sequências serão sempre números reais, portanto, sequência é qualquer função ƒ cujo domínio é ℕ*.
Assim, são exemplos de sequências:
f:ℕ → ℝ definida por f(n) = 2n + 1
g:ℕ → ℝ definida por
|
= |
|
Substituindo n pelos números naturais, veremos que:
f(n) → (3, 5, 7, …, 21, …) e
g(n) →
|
Note que f(n) é uma sequência em ℤ e g(n), uma sequência em ℚ.
Uma sequência pode ser definida de duas formas:
• Pelo termo geral
Neste caso, a sequência é definida por uma fórmula fechada que retorna o valor de cada termo an em função de sua posição n na sequência.
Exemplo
Por meio da lei de formação
|
= |
|
podemos obter qualquer termo da sequência.
|
Se quisermos obter, de imediato, o terceiro termo da sequência, é só substituirmos n por 3 na fórmula.
|
= |
|
= |
|
• Por Recorrência
Em uma sequência definida por recorrência não é possível determinar, imediatamente, um termo qualquer an. O termo an desejado, dependendo da fórmula de recorrência, necessitará de termos anteriores.
Exemplo
A sequência abaixo é definida por:
a1 = 3
an + 1 = an + 5
Vamos determinar os quatro primeiros termos dessa sequência.
a1 + 1 = a1 + 5
a2 = 3 + 5 = 8
a2 + 1 = a2 + 5
a3 = 8 + 5 = 13
a3 + 1 = a3 + 5
a4 = 13 + 5 = 18
Assim, a sequência é (3, 8, 13, 18,…).
Note que não é possível obtermos o termo a4 de imediato, sem obtermos os termos anteriores.
A sequência de Fibonacci é uma das sequências mais famosas.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …
Sua fama se deve ao fato de possuir propriedades intrigantes. Essa sequência é encontrada na natureza, usada por arquitetos em seus projetos e até por compositores musicais. A lei de formação dessa sequência é do tipo recorrência.
a1 = 1
a2 = 1
an + 2 = an + 1 + an; n ∈ ℕ*
Para construir essa sequência, basta começar com os dois primeiros termos e lembrar que cada termo é a soma dos dois anteriores.
a1 + 2 = a1 + 1 + a1
a3 = a2 + a1
a3 = 1 + 1 = 2
a2 + 2 = a2 + 1 + a2
a4 = a3 + a2
a4 = 2 + 1 = 3
a3 + 2 = a3 + 1 + a3
a5 = a4 + a3
a5 = 3 + 2 = 5
e assim por diante.
Progressão aritmética
Observe as sequências abaixo:
I) (1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, an, …)
II) (7, 10, 15, 22, 33, 46, 63, 82, an, …)
III) (4, 7, 10, 13, 16, an, …)
É muito mais fácil saber o valor de an na terceira sequência do que nas outras. Na terceira sequência de um termo para o seguinte, somamos 3. Note também que este valor é fixo para todos os termos. O mesmo não ocorre para as outras sequências.
• Sequência I)
1
2 = 1 + 1
4 = 2 + 2
7 = 4 + 3
11 = 7 + 4
16 = 11 + 5
22 = 16 + 6
Essa sequência está amarrada a outra. Veja:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, …) → an = n
(1, 2, 4, 7, 11, 16, …) → bn + 1 = bn + an
Para chegarmos ao próximo termo da sequência bn + 1 , precisamos somar o termo anterior bn com o termo de mesma posição na da sequência an.
• Sequência II)
7
10 = 7 + 3
15 = 10 + 5
22 = 15 + 7
33 = 22 + 11
Da mesma forma que acontece na sequência (I), a sequência (II) está amarrada a outra. Veja:
(3, 5, 7, 11, 13, …) → sequência de números primos
(7, 10, 15, 22, 33, 46, 63, …) → bn + 1 = bn + an
Progressão aritmética (P.A.) é uma sequência de números reais em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior adicionado a um número fixo, chamado razão.
A representação matemática de uma Progressão aritmética (P.A.) é:
(a1, a2, a3, …, an, an + 1, …)
an + 1 = an + r, ∀ n ∈ ℕ*
Uma Progressão aritmética pode ser classificada dependendo do sinal da razão.
• Quando r > 0, dizemos que a P.A. é crescente.
(5, 9, 13, 17,…) → r = 4
• Quando r < 0, dizemos que a P.A. é decrescente.
(12, 10, 8, 6, 4, …) → r = -2
• Quando r = 0, dizemos que a P.A. é constante ou estacionária.
(3, 3, 3, 3, 3, …)
A P.A. (240.55, 240.55, 240.55, 240.55, 240.55, …, 240.55) representa as parcelas de uma compra à prazo.
Termo geral de uma P.A.
Uma P.A. é uma sequência definida por uma fórmula fechada, permitindo assim encontrarmos qualquer termo desta sem precisar escrevê-la completamente.
Considere a seguinte progressão aritmética de razão r.
(a1, a2, a3, a4, a5, …, an – 1, an)
a1 = a1 + 0r
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = a1 + 3r
Seguindo a sequência de passos anteriores, percebemos que, o termo an, que ocupa a n-ésima posição na sequência, é dado por:
Na fórmula:
– an é o n-ésimo termo (termo geral)
– a1 é o primeiro termo
– n é o número de termos
– r é a razão
Notação especial
Há casos em que precisamos recorrer a artifícios para resolver determinados problemas envolvendo P.A.. Quando os problemas tratam de soma ou produto de termos consecutivos de uma P.A., é conveniente escrevemos seus termos da seguinte forma:
• Para uma P.A. de três termos, escrevemos: (x, x + r, x + 2r) ou (x – r, x, x + r)
• Para uma P.A. de quatro termos, escrevemos: (x, x + r, x + 2r, x + 3r) ou (x – 3r, x – r, x + r, x + 3r)
• Para uma P.A. de cinco termos, escrevemos: (x, x + r, x + 2r, x + 3r, x + 4r) ou (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r)
Exemplo 1
Achar o número de múltiplos de 5 compreendidos entre 21 e 623.
(21, 25, 30, …, 620, 623)
Observe na sequência acima que o primeiro termo múltiplo de 5 é 25 e o último é 620.
an = a1 + (n – 1)r
a1 = 25
an = 620
n é o que estamos procurando
r = 5
Portanto:
an = a1 + (n – 1)r
620 = 25 + (n – 1)5
595 = 5n – 5
600 = 5n
n = 120
Logo, existem 120 múltiplos de 5 compreendidos entre 21 e 623.
Exemplo 2
Determine a P.A. que possui as seguintes características: o 10º termo vale 16 e a soma do 5º com o 9º termo é igual a 2.
Dados do problema:
a10 = 16
a5 + a9 = 2
a1 + 9r = 16
(a1 + 4r) + (a1 + 8r) = 2
 |
|
Vamos multiplicar a primeira equação do sistema por -2.
|
|
-6r = -30
r = 5
Substituindo r na equação a1 + 9r = 16, encontramos a1 + 9(5) = 16 → a1 = -29.
Logo, a P.A. procurada é (-29, -24, -19, -14, …).
Exemplo 3
Interpole 8 meios aritméticos entre 2 e 47.
| 2 | 47 |
Interpolar 8 meios aritméticos entre 2 e 47 significa determinar oito números reais de modo que se tenha uma P.A. em que a1 = 2 e a10 = 47.
an = a1 + (n – 1)r
a10 = a1 + (10 – 1)r
a10 = a1 + 9r
47 = 2 + 9r
45 = 9r
r = 5
Portanto, tem-se uma P.A. de razão igual a 5 e primeiro termo igual a 2. Logo, os oito meios aritméticos procurados são:
(2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47)
Exemplo 4
Uma fábrica produziu, em 1986, 6.530 unidades de um determinado produto e, em 1988, produziu 23.330 unidades do mesmo produto. Sabendo que a produção anual desse produto vem crescendo em progressão aritmética, pede-se:
a) Quantas unidades do produto essa fábrica produziu em 1987?
b) Quantas unidades serão produzidas em 1991?
a) Vamos fazer a seguinte correspondência:
a1 → 1986
a2 → 1987
a3 → 1988
a4 → 1989
a5 → 1990
a6 → 1991
Sabemos que em 1986 foram produzidas 6.530 unidades de certo produto, já em 1988 foram produzidas 23.330 unidades.
a3 = a1 + 2r
23.330 = 6.530 + 2r
16.800 = 2r
r = 8.400
Desse modo, a cada ano são produzidas 8.400 unidades deste produto.
a2 = a1 + r
a2 = 6.530 + 8.400
a2 = 14.930
Em 1987 foram produzidas 14.930 unidades do referido produto.
b) 1991 corresponde ao 6º termo da P.A..
a6 = a1 + 5r
a6 = 6.530 + 5(8.400)
a6 = 48.530
Exemplo 5
(UFRJ)A concessionária responsável pela manutenção de vias privatizadas, visando a instalar cabines telefônicas em uma rodovia, passou a seguinte mensagem aos seus funcionários: “As cabines telefônicas devem ser instaladas a cada 3 km, começando no início da rodovia”. Quantas cabines serão instaladas ao longo da rodovia, se a mesma tem 700 quilômetros de comprimento?
Este problema se resume a encontrar a quantidade números múltiplos de 3 entre 0 e 700. Porém, há um detalhe no final.
(0, 3, 6, …, 696, 699)
Observe na sequência acima que o primeiro termo múltiplo de 3 é 3 e o último é 699.
an = a1 + (n – 1)r
a1 = 3
an = 699
n é o que estamos procurando
r = 3
Portanto:
an = a1 + (n – 1)r
699 = 3 + (n – 1)3
696 = 3n – 3
699 = 3n
n = 233
Visto que, o problema trata de uma situação real, onde as cabines deverão ser instaladas desde o início da rodovia, isso quer dizer que no km zero existe uma cabine instalada. Portanto, são 234 cabines.
Soma dos termos de uma P.A. finita
(13, 20, 27, 34, 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90)
A sequência acima é uma P.A. finita de razão 7 e representa a quantia ganha por um jogador em cada uma das 12 rodadas. Daí surge a pergunta: quanto o jogador ganhou no total?
Para sabermos isso é simples, basta somar todos os termos dessa sequência 13 + 20 + 27 + … + 90. Acompanhe o esquema abaixo:
| (I) | S | = | 13 | + | 20 | + | 27 | + | … | + | 76 | + | 83 | + | 90 |
| (II) | S | = | 90 | + | 83 | + | 76 | + | … | + | 27 | + | 20 | + | 13 |
| 2S | = | 103 | + | 103 | + | … | + | 103 | + | 103 |
Assim, 2S = 12 * 103
O número 12 se refere a quantidade de termos da P.A..
|
= |
|
Note que precisamos apenas do 1º termo, do último e da quantidade termos da sequência.
Vamos repetir o processo para uma sequência genérica de razão r.
(a1, a2, a3, … , an – 2, an – 1, an)
| (I) | Sn | = | a1 | + | a1 + r | + | a1 + 2r | + | … | + | an – 2r | + | an – r | + | an |
| (II) | Sn | = | an | + | an – r | + | an – 2r | + | … | + | a1 + 2r | + | a1 + r | + | a1 |
| 2S | = | (a1 + an) | + | (a1 + an) | + | … | + | (a1 + an) |
Portanto, 2Sn = n * (a1 + an) ou
|
= |
|
Exemplo 1
Resolver a equação 1 + 7 + … + x = 280, sabendo-se que os termos do 1º membro formam uma P.A.
Dados do problema:
a1 = 1
an = x
r = 7 – 1 = 6
Sn = 280
an = a1 + (n – 1)r
x = 1 + (n – 1)6
x = 1 + 6n – 6
x = 6n – 5
x + 5 = 6n
|
= |
|
|
= |
|
|
= |
|
Efetuando as multiplicações e fazendo as passagens adequadas chegamos em:
x² + 6x – 3.355 = 0
Resolvendo a equação temos:
Δ = 36 + 13.420 = 13.456
|
= |
|
x’ = 55
x” = -61
Como a P.A. é crescente x = 55.
Exemplo 2
O dono de uma fábrica pretende iniciar a produção com 2.000 unidades mensais e, a cada mês, produzir 175 unidades a mais. Mantidas essas condições, em um ano quantas unidades a fábrica terá produzido no total?
A partir dos dados do problema podemos construir a sequência (2.000, 2.175, 2.350, …). Foi informado que a razão de termo para o seguinte é de 175. Visto que, um ano possui 12 meses o último termo desta sequência é a12.
a12 = a1 + 11r
a12 = 2.000 + 11(175)
a12 = 3.925
Encontrar quantas unidades a fábrica produziu em um ano é encontrar S12.
|
= |
|
|
= |
|
S12 = 5.925*6
S12 = 35.550
Portanto, ao final de um ano a fábrica terá produzido 35.550 unidades do produto.
Exemplo 3
Suponha que, em um certo mês, o número de queixas diárias registradas em um órgão de defesa do consumidor aumente segundo uma P.A. Sabendo que nos dez primeiros dias houve 245 reclamações e nos dez dias seguintes houve mais 745 reclamações, determine a sequência do número de queixas naquele mês.
Nos dez primeiros dias houve 245 reclamações. Essa é a primeira série de termos de devemos analisar.
(I) a1 + (a1 + r) + … (a1 + 9r) = 245
Nos dez dias seguintes houve mais 745 reclamações.
(II) (a1 + 10r) + (a1 + 11r) + … (a1 + 19r) = 745
de (I) temos:
|
= |
|
245 = (2a1 + 9r)5
2a1 + 9r = 49
de (II) temos:
|
= |
|
745 = (2a1 + 29r)5
2a1 + 29r = 149
A partir das equações encontradas podemos formar o sistema:
|
|
Resolvendo o sistema temos:
100 = 20r → r = 5
Substituindo o valor de r em 2a1 + 9r = 49 temos:
2a1 + 9(5) = 49
2a1 = 4
a1 = 2
Logo, a sequência do número de queixas é (2, 7, 12, 17, …).
Progressão geométrica
Observe a seguinte sequência (4, 8, 16, 32, 64, …). Essa sequência é regida por uma fórmula fechada, na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo.
8 = 4 * 2
16 = 8 * 2
32 = 16 * 2
64 = 32 * 2
O número fixo, neste caso, vale 2, ou seja, a razão dessa sequência vale 2.
Podemos generalizar da seguinte forma:
(a1, a2, a3, …, an, an + 1, …)
a2 = a1 * q
a3 = a2 * q → a1 * q * q → a1 * q²
a4 = a3 * q → a2 * q * q → a1 * q³
A fórmula acima é a chamada fórmula do termo geral de uma P.G. e nela: an é o n-ésimo termo, a1 é o primeiro termo, n é a quantidade de termos e q é a razão
Progressão geométrica (P.G.) é uma sequência de números reais em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo, chamado razão.
Exemplo 1
Dada a sequência (11, 44, 176,…), determine seu 9º termo.
Dados do problema:
a9 é o termo que se deseja encontrar
a1 = 11
a2 = a1 * q → 44 = 11 * q → q = 44 ÷ 11 → q = 4
Usando a fórmula do termo geral da P.G., temos:
an = a1 * qn – 1 a9 = a1 * q9 – 1 a9 = a1 * q8 a9 = 11 * 48 a9 = 720.896
Exemplo 2
A sequência de números positivos dada por (x – 2, √(x² + 11), 2x + 2, …) é uma progressão geométrica. Qual é o sétimo termo dessa progressão?
|
= |
|
(√(x² + 11))² = (x – 2)(2x + 2)
x² + 11 = 2x² – 2x – 4
11 = x² – 2x – 4
x² – 2x – 15 = 0
Δ = b² – 4ac
Δ = (-2)² – 4(1)(-15)
Δ = 64
| x = |
|
| x = |
|
| x = |
|
x’ = 5 e x” = -3
Visto que o problema informou que a sequência de números é positiva, ficamos com x = 5.
Portanto, a sequência (x – 2, √(x² + 11), 2x + 2, …) é (5 – 2, √(5² + 11), 2(5) + 2, …) → (3, 6, 12, …).
O sétimo termo corresponde ao a7.
an = a1 * qn – 1
a7 = a1 * q7 – 1
a7 = a1 * q6
a7 = 3 * 26
a7 = 192
Exemplo 3
O número de participantes de um bate-papo virtual (chat) em um portal de internet varia segundo uma P.G. no período das 23 horas às 6 horas. Se, às 2 horas da manhã, havia 2.000 pessoas nas salas de bate-papo e às 5 da manhã, 250 pessoas, determine o número de internautas nas salas às 23 horas e às 6 horas.
Para facilitar o entendimento do exercício, vamos montar o seguinte esquema:
| Horário | Termo da P.G. |
| 23 horas | a1 = ? |
| 00 horas | a2 |
| 1 hora | a3 |
| 2 horas | a4 = 2.000 |
| 3 horas | a5 |
| 4 horas | a6 |
| 5 horas | a7 = 250 |
| 6 horas | a8 = ? |
a4 = a1 * q³ → a1 * q³ = 2.000
a7 = a1 * q6
a7 = a1 * q3 * q3
a7 = (a1 * q3) * q3
a7 = a4 * q3
250 = 2.000 * q³
| q³ = |
|
| q³ = |
|
| q = |
|
a4 = a1 * q3
2.000 = a1 * (1/2)3
2.000 = a1 * (1/8)
a1 = 2.000 * 8 = 16.000
Portanto, às 23 horas havia 16.000 pessoas nas salas de bate-papo.
6 horas correspondem ao a8 = a1 * q8 – 1.
a8 = a1 * q7
a8 = 16.000 * (1/2)7
a8 = 16.000 ÷ 128
a8 = 125
Logo, às 6 horas, havia 125 pessoas nas salas de bate-papo.
Veja a sequência que representa essa situação: (16.000, 8.000, 4.000, …).
Uma P.G. pode ser classificada como crescente, decrescente, alternada e constante. Vejamos cada caso:
Crescente
Uma P.G. é crescente:
• Quando a1 > 0 e q > 1.
Exemplo: (1, 4, 16, 64, …) é uma P.G. crescente, com a1 = 1 e q = 4.
• Quando a1 < 0 e 0 < q < 1.
Exemplo: (-40, -20, -10, …) é uma P.G. crescente, com a1 = -40 e q = 1/2.
Decrescente
Uma P.G. é decrescente:
• Quando a1 > 0 e 0 < q < 1.
Exemplo: (256, 64, 16, …) é uma P.G. decrescente, com a1 = 256 e q = 1/4.
• Quando a1 < 0 e q > 1.
Exemplo: (-2, -10, -50, …) é uma P.G. decrescente, com a1 = -2 e q = 5.
Alternada
Uma P.G. é alternada:
• Quando q < 0.
Exemplo: (2, -6, 18, -54, …) é uma P.G. alternada, com a1 = 2 e q = -3.
Constante
Uma P.G. é constante:
• Quando q = 1.
Exemplo: (4, 4, 4, …) é uma P.G. constante, com a1 = 4 e q = 1.
Soma dos n termos de uma P.G.
Observe a P.G. genérica abaixo:
(a1, a2, a3, …, an)
Como obter a soma dos termos desta sequência?
a1 + a2 + a3, + … + an = ? onde q ≠ 1.
(I) Sn = a1 + a1q + a1q² + … + a1qn – 1
(II) qSn = a1q + a1q² + a1q³ + … + a1qn – 1 + a1qn
Fazendo (II) – (I) teremos:
qSn – Sn = – a1 + a1qn
Sn(q – 1) = a1(qn – 1)
|
= |
|
Exemplo 1
Quantos termos da P.G. (2, 6, 18,…) devem ser considerados a fim de que a soma resulte 19.682?
Dados do problema:
Sn = 19.682
a1 = 2
q = 6 ÷ 2 = 3
Aplicando os dados na fórmula da soma dos n termos de uma P.G. teremos:
|
= |
|
|
= |
|
19.682 = 3n – 1
19.683 = 3n
Fatorando o número 19.683 encontraremos 39.
39 = 3n
Logo, n = 9
Exemplo 2
Um indivíduo contraiu uma dívida e precisou pagá-la em oito prestações assim determinadas:
1ª: R$60,00; 2ª: R$90,00; 3ª: R$135,00; e assim por diante. Qual o valor total da dívida?
O total da dívida pode ser representada como a soma dos termos da P.G. abaixo:
60 + 90 + 135 + … + a8 = Sn
|
= |
|
|
= |
|
|
= |
|
S8 = 2.955,46875
O total da dívida é de aproximadamente R$ 2.956,00.
Exemplo 3
Num apiário há seis viveiros. O número de abelhas em cada viveiro está indicado na tabela abaixo:
| Machos | Fêmeas | |
|---|---|---|
| 1º viveiro | 3 | 2 |
| 2º viveiro | 6 | 6 |
| 3º viveiro | 12 | 18 |
| ⁝ | ⁝ | ⁝ |
Supondo que os valores variam segundo progressões geométricas, quantas abelhas há, ao todo, no apiário?
Como há seis viveiros, a tabela vai até a sexta linha. As colunas Machos e Fêmeas da tabela representam, cada uma, uma P.G.
Machos → (3, 6, 12, …, a6)
Fêmeas → (2, 6, 18, …, a6)
O total de abelhas no apiário é a soma (Sn(machos) + Sn(fêmeas)).
Sn(machos) → 3 + 6 + 12 + … + a6
|
= |
|
|
= |
|
S6 = 3(26 – 1)
S6 = 189
Sn(fêmeas) → 2 + 6 + 18 + … + a6
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= |
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= |
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= |
|
S6 = 728
Total de abelhas no apiário = Sn(machos) + Sn(fêmeas)
Total de abelhas no apiário = 189 + 728
Total de abelhas no apiário = 917
Trabalhando com P.A. e P.G. ao mesmo tempo
Em determinados momentos vamos precisar lidar com problemas que envolvem P.A. e P.G. simultaneamente. Veja os exemplos abaixo:
Exemplo 1
A sequência (x + 1, x², 14) é uma P.A. crescente e (x, 6, y) é uma P.G.
a) Qual é a razão da P.G?
b) Qual é o valor de y?
Se (x + 1, x², 14) é uma P.A., então temos:
x² – x – 1 = 14 – x²
2x² – x – 15 = 0
Δ = b² – 4ac
Δ = (-1)² – 4(2)(-15)
Δ = 1 + 120 = 121
| x = |
|
| x = |
|
| x = |
|
x’ = 3 e x” = -5/2
O problema nos informou que a P.A. é crescente, logo x = 3.
Portanto, (x + 1, x², 14) → (4, 9, 14)
(x, 6, y) → (3, 6 , y) que é uma P.G., então temos:
|
= |
|
36 = 3y
y = 12
A razão da P.G. é 6/3 = 2.
Exemplo 2
São dados 3 números inteiros em progressão geométrica cuja soma é 26. Determine esses números, sabendo que o primeiro, o dobro do segundo e o triplo do terceiro formam uma progressão aritmética.
(a1, a2, a3) é uma P.G.
(a1, a1q, a1q²)
a1 + a1q + a1q² = 26
a1 (1 + q + q²) = 26
(a1, 2a1q, 3a1q²) é uma P.A.
2a1q – a1 = 3a1q² – 2a1q
a1(2q – 1) = a1(3q² – 2q)
2q – 1 = 3q² – 2q
3q² – 4q + 1 = 0
Δ = b² – 4ac
Δ = (-4)² – 4(3)(1)
Δ = 16 – 12 = 4
| q = |
|
| q = |
|
q’ = 1 e q” = 1/3
Uma progressão geometrica com razão igual a 1 é um P.G. constante, logo q = 1/3.
a1 (1 + q + q²) = 26
a1 (1 + 1 ⁄ 3 + (1 ⁄ 3)²) = 26
a1 13 ⁄ 9 = 26
a1 = 18
(a1, a1q, a1q²)
(18, 18*1/3, 18*(1/3)²)
(18, 6, 2)
Podemos comprovar que 18 + 6 + 2 = 26.
(18, 12, 6) é uma P.A.
Trigonometria
O que você vai estudar:
- Arcos e ângulos
- Ciclo trigonométrico
- Seno de um ângulo
- A função seno
- Cosseno de um ângulo
- A função cosseno
- Simetria no estudo do seno e cosseno
- Relações entre seno e cosseno
- Tangente de um ângulo
- Função tangente
- Função cotangente
- Funções secante e cossecante
- Exercícios – Trigonometria (parte I)
- Relações Fundamentais
- Identidades trigonométricas
Arcos e ângulos
Na circunferência acima foram marcados dois pontos distintos A e B. A partir de agora a circunferência fica dividida em duas partes ou dois arcos. O arco AB e o arco BA.
Caso o ponto A coincida com o ponto B, eles determinam um arco nulo ou arco de uma volta.
Se quisermos saber a medida de um arco usamos duas medidas: o grau (símbolo °) e o radiano (símbolo rad). Um grau equivale a 1/360 da circunferência que contém o arco a ser medido. já 1 radiano equivale a um raio unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido.
Ângulo central
São dados dois pontos distintos A e B sobre a circunferência acima e ligando ambos ao centro O formamos entre as semi-retas OB e OA o ângulo α. A medida de um arco de circunferência é a medida do ângulo central correspondente.
AOB = AB = α
Note que a medida de um arco não é a mesma coisa que a medida do comprimento desse arco. Os arcos AB e CD na figura abaixo possuem a mesma medida α, porém não têm o mesmo comprimento.
Unidades para medir arcos
O grau (°)
Se dividirmos uma circunferência em 360 partes iguais, cada uma dessas partes corresponderá a um arco de 1º(lê-se um grau). Portanto, uma circunferência possui 360º.
Na sequência de figuras abaixo a circunferência foi dividida em 4 partes idênticas. Cada parte corresponde a um arco de 90°.
O grau possui submúltiplos que são o minuto e o segundo.
- Um minuto é igual a 1/60 do grau (símbolo ‘).
- Um segundo é igual a 1/60 do minuto (símbolo ”).
Portanto, um arco de medida igual a 35 graus, 14 minutos e 22 segundos, é indicado como: 35° 14′ 22″.
O radiano (rad)
Dada uma circunferência de raio r vamos fazer o seguinte experimento. Extraimos uma medida igual ao raio e a sobrepomos na circunferência, conforme a segunda figura. A partir deste ponto podemos pontuar o arco, recém colocado, com os pontos A e B conforme a terceira figura. Note que o arco AB tem o mesmo comprimento do raio da circunferência. Desta forma, o ângulo central mede 1 radiano.
1 rad = arco de mesmo comprimento do raio da circunferência.
Comprimento de um arco
Veja na figura acima dois arcos destacados, um AB e outro CD. O arco CD está numa circunferência cujo raio mede 6 cm, já o arco AB está numa circunferência de raio 9 cm. Ambos possuem a mesma medida que é π/6 rad, porém comprimentos de arco diferentes. Para calcular o comprimento de cada arco vamos montar as seguintes proporções:
Cálculo do comprimento l1 ou arco CD.
|
2π está para π/6 assim como 2πr(comprimento da circunferência) está para l1 (comprimento que desejo encontrar). Multiplicando cruzado fica assim: 2πl1 = π/6 * 2π * r. Sendo r = 6 cm, vem:
2πl1 = π/6 * 2π * 6
2πl1 = 2π²
l1 = 2π²/2π
l1 = π cm
Cálculo do comprimento l2 ou arco AB.
|
2π está para π/6 assim como 2πr(comprimento da circunferência) está para l2 (comprimento que desejo encontrar). Multiplicando cruzado fica assim: 2πl2 = π/6 * 2π * r. Sendo r = 9 cm, vem:
2πl2 = π/6 * 2π * 9
2πl2 = 3π²
l2 = 3π²/2π
l2 = 3π/2 cm
De forma geral o comprimento de um arco pode ser obtido montando as proporções abaixo:
|
Multiplicando cruzado fica:
2πl = 2παr
Logo, o comprimento do arco depende da medida do arco e do raio da circunferência.