Livro de Matemática
Sumário
Tangente de um ângulo
Para o estudo da tangente de um ângulo será necessário inserir mais um eixo ao ciclo trigonométrico. Este eixo estará tangenciando o ciclo trigonométrico no ponto A (origem dos arcos) com orientação para cima. A partir da figura acima podemos retirar o seguintes dados:
- T é a imagem de x;
- OP2 é cos x;
- OP1 é sen x;
- OA vale 1;
- AT é a tangente do número real x
Usando as técnicas aplicadas ao triângulo retângulo podemos obter a tangente de x.
|
Função tangente
Conforme vimos no caso do seno e do cosseno de um ângulo, procuraremos associar a cada número real x o valor de tg x, introduzindo a função y = tg x. Perceba na figura acima que os arcos π/2 e 3π/2 estão representados com uma bolinha aberta. Isto indica que a tangente de x não está definida nestes pontos, já que nesta situação a reta que une o centro O à extremidade do arco x torna-se paralela ao eixo das tangentes, não o interceptando. De maneira geral, informamos que não existe tg(π/2 + kπ), com k ∈ Z.
Domínio da função y = tg x
D = {x ∈ R | x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}
Imagem da função y = tg x
Vejamos o que ocorre em cada quadrante, em relação aos valores assumidos por y = tg x, ao mesmo tempo que x completa uma volta no ciclo trigonométrico.
Iniciamos partindo de A (origem dos arcos). Neste ponto a tg x vale zero, ou seja, tg 0 = 0. Aqui o ponto T coincide com o ponto A. A medida que x aumenta dentro do primeiro quadrante, o ponto T se afasta gradativamente do ponto A, no sentido positivo do eixo. Desta maneira, o valor da tangente vai aumentando e assumindo valores reais e positivos até deixar de existir quando x = π/2.
Quando x passa para o segundo quadrante, o ponto T reaparece (na parte negativa do eixo das tangentes) e, a medida que x aumenta dentro do quadrante, o ponto T se aproxima de A, embora ainda na parte negativa do eixo. O ponto T volta a coincidir com A quando x assume o valor π. Neste ponto tg π = 0.
O terceiro quadrante T volta a ocupar a parte positiva do eixo das tangentes, afastando-se de A à medida que x aumenta dentro do terceiro quadrante até deixar de existir novamente, quando x = 3π/2.
No quarto quadrante T reaparece na parte negativa do eixo das tangentes, e a medida que x cresce o valor de tg x também aumenta até T coincidir com A em 2π onde tg 2π = 0.
Com isso chegamos as seguintes conclusões:
- tg x é positiva no 1º e 3º quadrantes;
- tg x é negativa no 2º e 4º quadrantes;
- tg x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z;
- tg x assume qualquer valor real: Im = R;
- y = tg x é crescente em qualquer quadrante.
Valores notáveis
Na tabela abaixo encontram-se os valores de tangente dos ângulos mais comuns estudados em trigonometria. A partir destes ângulos podemos encontrar o valor da tangente de outros ângulos.
| x | cos x |
|---|---|
| 0 | 0 |
| π/6 | √3/3 |
| π/4 | 1 |
| π/3 | √3 |
| π/2 | ∄ |
| π | 0 |
| 3π/2 | ∄ |
| 2π | 0 |
Gráfico da função tangente
Veja como fica o gráfico da função tangente quando variamos x no intervalo de [0 , 2π].
O gráfico da função tangente é um pouco mais “estranho” mesmo, se comparado com as funções anteriores. Essa linha laranja presente no gráfico recebe o nome de tangentóide e ela continua à direita de 2π e à esquerda de 0 (zero). Através do gráfico podemos perceber duas assíntotas nos arcos de π/2 e 3π/2 indicando que nestes pontos o valor da tangente é indefinido, além disso o período da função tangente é π. Logo:
A função tangente é uma função ímpar
Portanto, tg(-x) = -tg(x).
Função cotangente
A função cotangente, y = cotg(x), é o inverso da função tangente.
|
O inverso disso é:
|
Na função y = tg(x), o eixo das tangentes é paralelo o eixo dos senos, ou eixo y. Já o eixo das cotangentes é paralelo ao eixo dos cossenos, ou eixo x. O segmento BD representa o valor da cotangente do arco x.
Na função cotg(x) o denominador é sen(x) e o valores dos arcos onde sen(x) se anula são aqueles do tipo kπ, com k ∈ Z. Desta maneira, o domínio da função cotg(x) é D = {x ∈ R | x ≠ kπ, k ∈ Z}.
O conjunto imagem da função cotg(x) é Im = R.
Os sinais da função cotangente serão os mesmos da função tangente, porém y = cotg(x) será decrescente em todos os quatro quadrantes, além disso seu período vale π.
Valores notáveis
| x | cos x |
|---|---|
| 0 | ∄ |
| π/6 | √3 |
| π/4 | 1 |
| π/3 | √3/3 |
| π/2 | 0 |
| π | ∄ |
| 3π/2 | 0 |
| 2π | ∄ |
Funções secante e cossecante
Inicialmente, traçamos um arco AP e no ponto P uma reta tangenciando o ciclo trigonométrico. Note que a reta intercepta o eixo dos senos no ponto D e o eixo dos cossenos no ponto S. Chamamos de secante do arco x o segmento OS e cossecante do arco x o segmento OD. Com base na figura, criamos os seguintes quadros:
| y = sec(x) | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Domínio | x ∈ R | x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z | |||||
| Imagem | 1 ≤ sec(x) ≤ -1 | |||||
| Fórmula |
|
|||||
| Período | 2π |
| y = cossec(x) | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Domínio | x ∈ R | x ≠ kπ, k ∈ Z | ||||
| Imagem | 1 ≤ cossec(x) ≤ -1 | ||||
| Fórmula |
|
||||
| Período | 2π |
Exercícios – Trigonometria (parte I)
Exercícios de introdução para fixar o conceito teórico.
Arcos e ângulos, comprimento de arco e arcos côngruos
-
Expresse em rad:
a) 210º
b) 350º
c) 67º30′
d) 25º20′
e) 1/6 da medida da circunferência
f) 2/5 da medida da circunferênciaResposta:
a) 7π/6 rad
b) 35π/18 rad
c) 3π/8 rad
d) 19π/135 rad
e) π/3 rad
f) 4π/5 rad -
Qual é, em radianos, o ângulo descrito pelo ponteiro dos minutos de um relógio, num período de 25 minutos?
Resposta: 5π/6 rad
-
Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio:
a) às 9h10min
b) às 12h15min
c) às 8h20minResposta: a) 145º b) 82º30′ c) 130º -
(UFOP-MG) Um ciclista de uma prova de resistência deve percorrer 500km em torno de uma pista circular de raio 200m. Calcule o número aproximado de voltas que ele deve dar. Use π = 3,14.
Resposta: 400 voltas
-
Exprima em graus:
a) π/6 rad
b) 2π/3 rad
c) 5π/6 rad
d) 11π/3 rad
e) 3π/5 radResposta:
a) 30°
b) 120°
c) 150°
d) 660°
e) 108° -
Um atleta A desenvolve, numa pista circular de raio 500 m, a velocidade constante de 8 km/h. Determine, em radianos, a medida do arco descrito, bem como seu comprimento, após 15 minutos de percurso.
Resposta: 4 rad; 2 km
-
Escreva, em radianos, as medidas dos ângulos centrais formados na figura abaixo.
Resposta: 1rad e (2π – 1)rad -
Um pêndulo de 1,2 m de comprimento oscila entre os pontos A e B através de um ângulo de 15º. Qual é o comprimento da trajetória descrita, entre A e B, pela sua extremidade?
Resposta: 31,4 cm -
Qual o comprimento da chapa metálica necessário para confeccionar a peça de fixação, em forma de U, mostrada na figura? As medidas indicadas estão em centímetros. Considere π = 3,14.
Resposta: aaaaa -
As duas polias da figura giram simultaneamente por estarem ligadas por uma correia inextensível. Quantos graus deve girar a menor polia para que a maior dê uma volta completa?
Resposta: 600° -
Sabe-se que, em um segundo, um ponto situado na periferia de uma polia descreve um arco que subtende um ângulo central de 10π rad. Se o raio dessa polia é 1,5 m, qual será a distância percorrida por esse ponto em um segundo?
Resposta: 47,10 m
-
Admitindo-se ser a terra uma esfera de raio r = 6375 km, determine a distância do equador a um ponto situado a uam latitude 30° norte. Adote π = 3,14.
Resposta: 3336,25 km
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O ponteiro dos minutos de um relógio de parede mede 12 cm. Quantos centímetros sua extremidade percorre durante 25 min?
Resposta: 31,4 cm
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(Unicamp-SP) Um relógio foi acertado exatamente ao meio-dia. Determine as horas e os minutos que estará marcando esse relógio após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de 42°.
Resposta: 13h24min
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Quantas voltas completas dá e em qual quadrante pára um móvel que, partindo da origem A dos arcos, percorre um arco de:
a) 1875°?
b) 2310°?
c) 27π/4 rad?
d) 43π/10 rad?Resposta: a) 5; I Q b)6; II Q c) 3; II Q d) 2; I Q -
Verifique se são côngruos os seguintes pares de arcos:
a) 1850° e -670°
b) 19π/3 e 25π/3Resposta: a) sim b) sim -
Vamos calcular os arcos menores que 4π e côngruos a 55π/6 rad.
Resposta: 7π/6 e 19π/6
-
Sejam os pontos X e Y mostrados no ciclo trigonométrio da figura abaixo.
a) Quais são os números reais x e y, associados aos pontos X e Y, respectivamente, com 0 ≤ x ≤ 2π e 0 ≤ y ≤ 2π?
b) Dê as medidas dos arcos XPY e XQY.
c) Forneça os comprimentos dos arcos XPY e XQY.Resposta: a) π/6 e 5π/4 b) 195° e 165° c) 13π12 e 11π/12
Exercícios de introdução para fixar o conceito teórico.
Seno, Cosseno e Tangente
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Determine o valor de:
a) sen 900°
b) sen(-1620°)
c) sen 13πd) sen π 2 – sen π 3 sen π 6 e) sen π 4 • sen 4π 3 sen² 5π 6 Resposta: a) zero b) zero c) zero d) 2 – √3 e) – √6 -
Sabendo que x = π/6, determine o valor da expressão E = 1 – 2sen x + sen² x.
Resposta: 1/4
-
Dê o sinal de cada uma das expressões:
a) sen π/5 • sen π/3 • sen 3π/5 • sen 5π/3
b) (1 – sen x)(1 + sen x), x ∈ R
c) sen 111° – sen 110°Resposta: a) negativo b) positivo ou nulo c) negativo -
Sendo k ∈ Z, calcule, em cada caso, o valor de sen x, com:
a) x = (2k + 1)•π
b) x = (2k + 1)• π/2
c) x = π/4 + kπ
d) x = – π/3 + 2kπ ou x = – 2π/3 + 2kπResposta: a) 0 b) ± c) ± √2 / 2 d) – √3 / 2 -
(U.F. Pelotas-RS, adaptado)
“Josiane Soares, de Blumenau, é a dona da marca no lançamento de dardo, com 53,1 m, estabelecida durante a primeira etapa do troféu Brasil de atletismo, encerrada neste domingo, em Curitiba. Três outros recordes do campeonato foram quebrados e uma marca sul-americana juvenil também.” (Sidney, 2000)(Zero Hora, 2000)
Numa prova olímpica de lançamento de dardo, a trajetória descrita é representada graficamente por uma parábola. A distância atingida pelo dardo é dada por:x = v² • sen 2α g em que α é o ângulo de lançamento, v é a velocidade inicial, x, a distância em relação à horizontal e g, o valor da gravidade (considere g = 10 m/s²).
Com uma velocidade de 20 m/s, qual a maior distância obtida em três lançamentos consecutivos, sabendo-se que os ângulos de lançamento foram 30°, 45° e 60°? Compare as distâncias alcançadas nos outros dois casos.Resposta: no 2º lançamento (x = 40 m); os outros dois ângulos de lançamento fornecem alcances iguais. -
Escreva a expressão geral dos arcos x para os quais temos sen x = ± √3 / 2.
Resposta: π/3 + kπ ou 2π/3 + kπ, k ∈ Z
-
Calcule o valor da expressão
y = sen π 3 – 2 • sen π 6 sen 3π 2 – 3 • sen π 2 Resposta:2 – √3 8 -
Obtenha os valores reais de m para que se possa ter
sen x = 2 – m 3 Resposta: -1 ≤ m ≤ 5, m ∈ R -
Calcule o valor da expressão y = sen π + sen 2π + … + sen 15π.
Resposta: zero
-
Sendo f:R → R a função definida por f(x) = sen x:
a) calcule f(3π/4)
b) determine x tal que 0 ≤ x ≤ 2π e f(x) = 1/2.Resposta: a) √2/2 b) π/6 ou 5π/6
Relações fundamentais
Dado o arco x na figura, vamos incluí-lo como parâmetro das funções:
sen(x), cos(x), tan(x), cotg(x), sec(x) e cossec(x).
De seções anteriores vimos que:
| tan(x) | = |
|
| cotg(x) | = |
|
| sec(x) | = |
|
| cossec(x) | = |
|
∀ x ∈ ℝ
Relações decorrentes
∀ x ≠ π/2 + kπ, k ∈ ℤ
∀ x ≠ π + kπ, k ∈ ℤ
Identidades trigonométricas
As identidades trigonométricas são ferramentas úteis para a simplificação de expressões e equações trigonométricas. Consideremos duas funções f(x) e g(x). As funções f e g formam uma identidade trigonométrica quando f(x) = g(x). Essa identidade é válida para qualquer valor de x, obedecendo a lei que rege o domínio de cada função.
Por exemplo:
f(x) = sen²(x)
g(x) = 1 – cos²(x)
f(x) = g(x)
sen²(x) = 1 – cos²(x) → identidade trigonométrica
A igualdade (identidade) acima é válida para qualquer x real, logo configura uma identidade trigonométrica.
Nosso objetivo com as identidades trigonométricas é provar que são verdadeiras. E elas não virão tão simples quanto o exemplo acima. Para provar uma identidade trigonométrica podemos usar um dos dois artifícios abaixo.
Vamos provar a identidade (1 + cotg²(x))(1 – cos²(x)) = 1
1º artifício:
Escolhemos o membro mais complexo da equação e o simplificamos até chegarmos ao outro membro.
No exemplo acima o membro mais complexo é (1 + cotg²(x))(1 – cos²(x)). Portanto, vamos simplificá-lo até encontrarmos 1, que é o segundo membro.
(1 + cotg²(x))(1 – cos²(x)) = 1
|
• | (1 – cos²(x)) | = | 1 |
|
• | sen²(x) | = | 1 |
Sabemos da relação fundamental I que sen²(x) + cos²(x) = 1.
|
• | sen²(x) | = | 1 |
1 = 1 → demonstrada a identidade
2º artifício:
Vamos provar a identidade
|
= |
|
Vamos inicialmente, atribuir cada membro a identidade a uma função.
| f(x) | = |
|
| g(x) | = |
|
Agora escolhemos a função mais simples e a simplificamos.
|
= |
|
|
= | sen x • cos x |
Atribuimos a simplificação à função h(x).
h(x) = sen x • cos x
Agora devemos manipular a função f(x) de modo a chegar em h(x).
| f(x) | = |
|
|
= |
|
|
= |
|
|
• |
|
Já sabemos que cos² x + sen² x = 1.
Ficamos com sen x • cos x, que foi a expressão atribuída a h(x). Logo, f(x) = h(x), assim como g(x) = h(x). Finalmente, tem-se que f(x) = g(x), provando a identidade.
Exemplo 1
Demonstre a identidade trigonométrica tg²x + cos²x = sec²x – sen²x.
tg²x + cos²x = sec²x – sen²x
Como ambos os membros parecem complexos a primeira vista, vamos efetuar algumas manipulações com o objetivo de facilitar a resolução.
cos²x + sen²x = sec²x – tg²x
Agora fica fácil perceber que o membro da esquerda é mais simples, já que cos²x + sen²x = 1.
1 = sec²x – tg²x
| 1 | = |
|
– |
|
| 1 | = |
|
1 – sen²x = cos²x
| 1 | = |
|
1 = 1
Identidade provada.
Exemplo 2
Expresse 1 – 2sen²x + sen²xcos²x + sen4x em função de cosx.
1 – 2sen²x + sen²xcos²x + sen4x
1 + sen²xcos²x – 2sen²x + sen4x
1 + sen²x(cos²x – 2 + sen²x)
1 + sen²x(cos²x + sen²x – 2)
sabemos que, cos²x + sen²x = 1, então:
1 + sen²x(1 – 2)
1 + sen²x(-1)
1 – sen²x
cos²x
Exemplo 3
Mostre que (senx + tgx)(cosx + cotgx) = (1 + senx)(1 + cosx).
(senx + tgx)(cosx + cotgx) = (1 + senx)(1 + cosx)
Vamos expandir o segundo membro.
(senx + tgx)(cosx + cotgx) = 1 + cosx + senx + senxcosx
Vamos expandir o primeiro membro para que fique igual ao segundo.
(senx + tgx)(cosx + cotgx)
senxcosx + sexcotgx + tgxcosx + tgxcotgx
senxcosx + senxcosx/senx + senx/cosxcosx + senx/cosx•cosx/senx
Simplificando, temos:
senxcosx + cosx + senx + 1
Operando identidades
Até o momento calculamos as funções circulares de ângulos imediatos como 30º, 45º, 60º e 90º. Contudo, através destes ângulos podemos encontrar as funções circulares da soma de dois arcos, da diferença de dois arcos ou, ainda do dobro (ou triplo) de um arco dado.
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Exemplo 1
Calcule o seno, cosseno e tangente do ângulo de 75º.
sen 75º = sen(30º + 45º) = sen 30º . cos 45º + sen 45º . cos 30º
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cos 75º = cos(30º + 45º) = cos 30º . cos 45º – sen 30º . sen 45º
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Fórmulas da multiplicação
Dadas as funções circulares de um arco a, é possível, mediante a aplicação das fórmulas de adição de dois arcos, encontrarmos as funções circulares dos arcos 2a, 3a, …, chamados, respectivamente, de arco duplo, arco triplo, …
Fazendo b = a, teremos (a + b) = (a + a) = 2a.
Daí:
|
Exemplo 1
Sendo cos a = 2/5, com 0 < a < π/2, determine sen 2a e cos 2a.
Exemplo 2
Demonstre que tg x • sen 2x = 2sen²x.
Exemplo 3
Demonstre que 1 + tg a • tg 2a = sec 2a
Matemática financeira
O que você vai estudar:
- Razão e Proporção
- Série de razões iguais
- Grandezas proporcionais
- Divisão proporcional – Regra de sociedade
- Regra de três
- Percentagem
- Operações sobre mercadorias
- Vendas com lucro
- Vendas com prejuízo
- Acréscimos e abatimentos sucessivos
- Moeda
- Inflação
- Juros simples
- Taxas proporcionais
- Taxas equivalentes
- Juros simples exatos
- Juros simples comercial
- Juros compostos
- Taxas equivalentes
- Taxa nominal e taxa efetiva
- Convenção exponencial e linear
- Taxa real e taxa aparente
Razão e Proporção
O conceito de razão e proporção é de grande importância não só na matemática como também no nosso dia a dia. Podemos encontrar esse conceito ao ampliar uma imagem, ao assistir um a filme de terror em que um inseto possui tamanho gigante, totalmente fora da realidade; entre outros casos.
Razão
A razão nada mais é do que a divisão entre dois números, ou seja, a razão do número a para o número b (diferente de zero) é o quociente de a por b. Além disso, a razão serve para comparar duas grandezas.
Indicamos:
|
ou | a : b |
(lê-se: a para b)
Os números a e b são os termos da razão; a recebe o nome de antecedente (numerador) e b, consequente (denominador) da razão.
Exemplo 1
Na fila de um guichê de venda de ingressos em um estádio de futebol, havia 48 torcedores, sendo 20 palmeirenses e 28 corintianos. Qual a razão entre o número de palmeirenses e o número de corintianos? Explique.
|
= |
|
Isso significa que para cada 5 palmeirenses havia 7 corintianos.
Exemplo 2
Um automóvel percorre 160 km em 2 horas. Qual a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la?
|
= | 80 km/h |
Podemos dizer que esse automóvel faz em média 80 km em 1 hora.
Proporção
A igualdade entre duas razões recebe o nome de proporção. Aprendemos que a : b e c : d são razões; então, se igualarmos essas duas razões teremos uma proporção.
|
= |
|
(Lê-se: a está para b, assim como c está para d)
Os números a e d são chamados extremos, e os números b e c são chamados meios.
Na proporção anterior, se realizarmos a multiplicação cruzada, teremos:
ad = bc
O que nos permite dizer que:
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Exemplo 1
Na bula de um remédio pediátrico recomenda-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 k do “peso” da criança. Qual a dosagem correta para uma criança com 12 kg?
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= |
|
2x = 5 • 12
2x = 60
x = 30 gotas
Exemplo 2
Num concurso público, constatou-se que a razão entre o número de homens e o de mulheres era 3/5. Se o total de inscritos era 1600 pessoas, determine:
a) o número de mulheres que fizeram o concurso.
b) a razão entre o número de aprovados e o número total de inscritos, sabendo que 5/12 dos homens foram aprovados e 17/25 das mulheres não conseguiram aprovação.
Vamos determinar, inicialmente, que x representará o número de homens e y o de mulheres.
a)
|
= |
|
Logo, 3y = 5x
| x = |
|
x + y representa o total de inscritos.
x + y = 1600
|
+ | y | = | 1600 |
|
= | 1600 |
y = 1000. Logo, 1000 mulheres fizeram o concurso.
b)
O total de inscritos foi de 1600. Logo, 1000 + x = 1600 ⇒ 600 homens fizeram o concurso.
O problema informou que 5/12 dos homens foram aprovados.
|
• | 600 | = | 250 aprovados |
O problema informou também que 17/25 das mulheres foram reprovadas.
|
• | 1000 | = | 680 reprovadas |
1000 – 680(reprovadas) = 320 (aprovadas)
Visto que o problema pede a razão entre o número de aprovados e o número total de inscritos, temos:
|
= |
|
A resposta é:
|
Transformações
Vamos realizar algumas manipulações nos termos de uma proporção com a finalidade de descobrir algo novo. Tomemos, como exemplo, a proporção abaixo.
|
= |
|
Realizando a multiplicação cruzada, temos: 3 • 20 = 4 • 15 → 60 = 60.
Ao fazer as manipulações com os termos da proporção, tome cuidado para que a igualdade dos produtos dos extremos e dos meios seja mantida.
• Alternando os extremos:
|
= |
|
⇒ 20 • 3 = 4 • 15 |
• Alternando os meios:
|
= |
|
⇒ 3 • 20 = 15 • 4 |
• Invertendo os termos:
|
= |
|
⇒ 4 • 15 = 3 • 20 |
• Transpondo as razões:
|
= |
|
⇒ 15 • 4 = 20 • 3 |