Livro de Matemática

Veja na figura abaixo que o ciclo trigonométrico é formado por dois eixos que se cruzam e por uma circunferência de raio igual a um no seu centro. Perceba que o sentido positivo é o anti-horário. O sentido horário é negativo.

Os eixos que se cruzam acabam dividindo o ciclo trigonométrico em quatro quadrantes. Veja na figura como estão distribuidos.

O ciclo trigonométrico ainda apresenta como destaque quatro arcos: 90º, 180º, 270º e 360°. É possível visualizar na figura os seus correspondentes em radianos.

Arcos congruentes

Veja a representação do arco de 60º no ciclo trigonométrico abaixo:

Na segunda figura foi dada uma volta completa no ciclo retornando ao mesmo ponto terminal. Já na terceira figura foram dadas duas voltas completas e da mesma forma retornando ao mesmo ponto terminal. Portanto, os arcos de 60º + 360º, 60º + 2 * 360º, 60º + 3 * 360º, … , 60° + k * 360° têm o mesmo ponto terminal do arco de 60º.

Veja o mesmo esquema de arcos côngruos em radianos: ^π/₃ + 2π, ^π/₃ + 2 * 2π, ^π/₃ + 3 * 2π, …, ^π/₃ + k * 2π possuem o mesmo ponto terminal do arco ^π/₃ rad.

Dois arcos são ditos côngruos quando têm o mesmo ponto terminal e diferem entre si apenas pelo número de voltas inteiras.

Se o arco mede αº, a expressão geral dos arcos côngruos é:

Se o arco mede α rad, a expressão geral dos arcos côngruos é:

Inicialmente tracemos um arco AB conforme a figura 1. O ponto P é a imagem do número real x (figura 2). Da figura 2 podemos retirar vários dados. Veja:

• P é a imagem de x;
• Ligando o ponto O ao ponto P obtemos o raio da circunferência, que neste caso vale 1;
• OPP₂ é um triângulo retângulo;
• OPP₁ também é um triângulo retângulo;
• x é a medida do arco desde 0 até P;
• OP₁ é o seno de x;
• PP₂ = OP₁

Usando as técnicas aplicadas ao triângulo retângulo podemos obter o seno de x.

Logo, senx = OP₁, pois OP = 1.
Note que como o raio vale 1, o valor do seno será sempre menor ou igual a 1. O eixo y agora se torna o eixo dos senos.

Funções são relações com algumas restrições. No caso da função seno (y = senx) o domínio é igual ao contradomínio que por sua vez é igual ao conjunto dos reais, ou seja, D = C = ℜ. Porém, o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio.

Veja na imagem acima que a função seno está limitada entre -1 e 1. Logo, o conjunto imagem da função seno se restringe ao intervalo [-1,1]. Portanto, Im = [-1,1] ou -1 ≤ senx ≤ 1, ∀ x ∈ R.

Na imagem acima verificamos o sinal da função seno em cada quadrante. Visto que o seno de x é representado no eixo vertical (eixo y), acima do eixo x (eixo horizontal) os valores da função são positivos, porém abaixo desse eixo os valores são negativos.

Valores notáveis

Na tabela abaixo encontram-se os valores dos senos dos ângulos mais comuns estudados em trigonometria. A partir destes ângulos podemos encontrar o seno de outros ângulos.

Gráfico da função seno

Veja como fica o gráfico da função seno quando variamos x no intervalo de [0 , 2π].

Essa linha laranja presente no gráfico recebe o nome de senóide e ela continua à direita de 2π e à esquerda de 0 (zero). Na situação acima, foi dada uma volta completa no ciclo trigonométrico. Se dermos mais voltas a função seno repetirá seus valores. É por isso que a função seno é uma função periódica e seu período equivale a 2π. Portanto, quando somamos 2kπ ao arco x, estamos obtendo o mesmo valor para o seno.

Veja na primeira figura a representação do ângulo de 60º ou π/3. Em seguida dá-se uma volta completa no ciclo e retorna ao ponto de partida, ou seja, um arco de 60º + 360º(uma volta completa) o que resulta em 420º. O seno de 60º é igual a √3/2, como foi dada uma volta completa mais 60º, repetimos o valor do seno. Logo, o seno de 420º também é igual a √3/2.

A função seno é uma função ímpar

se f(-x) = – f(x) para todo x, então f tem um gráfico simétrico em relação à origem. Quando isso ocorre, dizemos que f é uma função ímpar.

Portanto, sen x = – sen(-x).

Inicialmente tracemos um arco AB conforme a figura 1. O ponto P é a imagem do número real x (figura 2). Da figura 2 podemos retirar vários dados. Veja:

• P é a imagem de x;
• Ligando o ponto O ao ponto P obtemos o raio da circunferência, que neste caso vale 1;
• OPP₂ é um triângulo retângulo;
• OPP₁ também é um triângulo retângulo;
• x é a medida do arco desde 0 até P;
• OP₂ é o cosseno de x;
• PP₁ = OP₂

Usando as técnicas aplicadas ao triângulo retângulo podemos obter o cosseno de x.

Logo, cos x = OP₂, pois OP = 1.
Note que como o raio vale 1, o valor do cosseno será sempre menor ou igual a 1. O eixo x agora se torna o eixo dos cossenos.

Na da função cosseno (y = cos x) o domínio é igual ao contradomínio que por sua vez é igual ao conjunto dos reais, ou seja, D = C = R. Porém, o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio.

Veja na imagem acima que a função cosseno está limitada entre -1 e 1. Logo, o conjunto imagem da função cosseno se restringe ao intervalo [-1,1]. Portanto, Im = [-1,1] ou -1 ≤ cos x ≤ 1, ∀ x ∈ R.

Na imagem acima verificamos o sinal da função cosseno em cada quadrante. Visto que o cosseno de x é representado no eixo horizontal (eixo x), à direita do eixo y (eixo vertical) os valores da função são positivos, porém à esquerda desse eixo os valores são negativos.

Valores notáveis

Na tabela abaixo encontram-se os valores dos cossenos dos ângulos mais comuns estudados em trigonometria. A partir destes ângulos podemos encontrar o cosseno de outros ângulos.

Gráfico da função cosseno

Veja como fica o gráfico da função cosseno quando variamos x no intervalo de [0 , 2π].

Essa linha laranja presente no gráfico recebe o nome de cossenóide e ela continua à direita de 2π e à esquerda de 0 (zero). Na situação acima, foi dada uma volta completa no ciclo trigonométrico. Se dermos mais voltas a função cosseno repetirá seus valores. A função cosseno também é uma função periódica e seu período equivale a 2π. Portanto, quando somamos 2kπ ao arco x, estamos obtendo o mesmo valor para o cosseno.

A função cosseno é uma função par

se f(-x) = f(x) para todo x, então f tem um gráfico simétrico em relação ao eixo y. Quando isso ocorre, dizemos que f é uma função par.

Portanto, cos(-x) = cos(x).

Vamos fazer uso da simetria para entendermos como o seno e o cosseno de um ângulo se comporta.

Arcos complementares

Para entendermos esta relação traçamos inicialmente um arco x no ciclo trigonométrico. A partir deste ponto traçamos um triângulo retângulo (na cor azul). Em seguida duplicamos este triângulo (na cor laranja), o rotacionamos e posicionamos seu maior cateto sobre o eixo dos senos conforme a figura acima. Após estas manipulações podemos extrair a seguintes relações entre seno e cosseno.

Relação fundamental I

A partir de um arco x traçado no ciclo trigonométrico desenhamos um triângulo retângulo. Visto que o raio da circunferência vale 1 temos que OP = 1. Desta forma sen x = PP₂ e cos x = OP₂. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo vermelho temos:

(sen x)² + (cos x)² = (OP)², ou seja,

Para o estudo da tangente de um ângulo será necessário inserir mais um eixo ao ciclo trigonométrico. Este eixo estará tangenciando o ciclo trigonométrico no ponto A (origem dos arcos) com orientação para cima. A partir da figura acima podemos retirar o seguintes dados:

• T é a imagem de x;
• OP₂ é cos x;
• OP₁ é sen x;
• OA vale 1;
• AT é a tangente do número real x

Usando as técnicas aplicadas ao triângulo retângulo podemos obter a tangente de x.

Conforme vimos no caso do seno e do cosseno de um ângulo, procuraremos associar a cada número real x o valor de tg x, introduzindo a função y = tg x. Perceba na figura acima que os arcos π/2 e 3π/2 estão representados com uma bolinha aberta. Isto indica que a tangente de x não está definida nestes pontos, já que nesta situação a reta que une o centro O à extremidade do arco x torna-se paralela ao eixo das tangentes, não o interceptando. De maneira geral, informamos que não existe tg(π/2 + kπ), com k ∈ Z.

Domínio da função y = tg x

D = {x ∈ R | x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}

Imagem da função y = tg x

Vejamos o que ocorre em cada quadrante, em relação aos valores assumidos por y = tg x, ao mesmo tempo que x completa uma volta no ciclo trigonométrico.

Iniciamos partindo de A (origem dos arcos). Neste ponto a tg x vale zero, ou seja, tg 0 = 0. Aqui o ponto T coincide com o ponto A. A medida que x aumenta dentro do primeiro quadrante, o ponto T se afasta gradativamente do ponto A, no sentido positivo do eixo. Desta maneira, o valor da tangente vai aumentando e assumindo valores reais e positivos até deixar de existir quando x = π/2.

Quando x passa para o segundo quadrante, o ponto T reaparece (na parte negativa do eixo das tangentes) e, a medida que x aumenta dentro do quadrante, o ponto T se aproxima de A, embora ainda na parte negativa do eixo. O ponto T volta a coincidir com A quando x assume o valor π. Neste ponto tg π = 0.

O terceiro quadrante T volta a ocupar a parte positiva do eixo das tangentes, afastando-se de A à medida que x aumenta dentro do terceiro quadrante até deixar de existir novamente, quando x = 3π/2.

No quarto quadrante T reaparece na parte negativa do eixo das tangentes, e a medida que x cresce o valor de tg x também aumenta até T coincidir com A em 2π onde tg 2π = 0.

Com isso chegamos as seguintes conclusões:

• tg x é positiva no 1º e 3º quadrantes;
• tg x é negativa no 2º e 4º quadrantes;
• tg x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z;
• tg x assume qualquer valor real: Im = R;
• y = tg x é crescente em qualquer quadrante.

Valores notáveis

Na tabela abaixo encontram-se os valores de tangente dos ângulos mais comuns estudados em trigonometria. A partir destes ângulos podemos encontrar o valor da tangente de outros ângulos.

Gráfico da função tangente

Veja como fica o gráfico da função tangente quando variamos x no intervalo de [0 , 2π].

O gráfico da função tangente é um pouco mais “estranho” mesmo, se comparado com as funções anteriores. Essa linha laranja presente no gráfico recebe o nome de tangentóide e ela continua à direita de 2π e à esquerda de 0 (zero). Através do gráfico podemos perceber duas assíntotas nos arcos de π/2 e 3π/2 indicando que nestes pontos o valor da tangente é indefinido, além disso o período da função tangente é π. Logo:

A função tangente é uma função ímpar

Portanto, tg(-x) = -tg(x).

A função cotangente, y = cotg(x), é o inverso da função tangente.

O inverso disso é:

Na função y = tg(x), o eixo das tangentes é paralelo o eixo dos senos, ou eixo y. Já o eixo das cotangentes é paralelo ao eixo dos cossenos, ou eixo x. O segmento BD representa o valor da cotangente do arco x.

Na função cotg(x) o denominador é sen(x) e o valores dos arcos onde sen(x) se anula são aqueles do tipo kπ, com k ∈ Z. Desta maneira, o domínio da função cotg(x) é D = {x ∈ R | x ≠ kπ, k ∈ Z}.

O conjunto imagem da função cotg(x) é Im = R.

Os sinais da função cotangente serão os mesmos da função tangente, porém y = cotg(x) será decrescente em todos os quatro quadrantes, além disso seu período vale π.

Valores notáveis