Livro de Matemática
Sumário
Relações fundamentais
Dado o arco x na figura, vamos incluí-lo como parâmetro das funções:
sen(x), cos(x), tan(x), cotg(x), sec(x) e cossec(x).
De seções anteriores vimos que:
| tan(x) | = |
|
| cotg(x) | = |
|
| sec(x) | = |
|
| cossec(x) | = |
|
∀ x ∈ ℝ
Relações decorrentes
∀ x ≠ π/2 + kπ, k ∈ ℤ
∀ x ≠ π + kπ, k ∈ ℤ
Identidades trigonométricas
As identidades trigonométricas são ferramentas úteis para a simplificação de expressões e equações trigonométricas. Consideremos duas funções f(x) e g(x). As funções f e g formam uma identidade trigonométrica quando f(x) = g(x). Essa identidade é válida para qualquer valor de x, obedecendo a lei que rege o domínio de cada função.
Por exemplo:
f(x) = sen²(x)
g(x) = 1 – cos²(x)
f(x) = g(x)
sen²(x) = 1 – cos²(x) → identidade trigonométrica
A igualdade (identidade) acima é válida para qualquer x real, logo configura uma identidade trigonométrica.
Nosso objetivo com as identidades trigonométricas é provar que são verdadeiras. E elas não virão tão simples quanto o exemplo acima. Para provar uma identidade trigonométrica podemos usar um dos dois artifícios abaixo.
Vamos provar a identidade (1 + cotg²(x))(1 – cos²(x)) = 1
1º artifício:
Escolhemos o membro mais complexo da equação e o simplificamos até chegarmos ao outro membro.
No exemplo acima o membro mais complexo é (1 + cotg²(x))(1 – cos²(x)). Portanto, vamos simplificá-lo até encontrarmos 1, que é o segundo membro.
(1 + cotg²(x))(1 – cos²(x)) = 1
|
• | (1 – cos²(x)) | = | 1 |
|
• | sen²(x) | = | 1 |
Sabemos da relação fundamental I que sen²(x) + cos²(x) = 1.
|
• | sen²(x) | = | 1 |
1 = 1 → demonstrada a identidade
2º artifício:
Vamos provar a identidade
|
= |
|
Vamos inicialmente, atribuir cada membro a identidade a uma função.
| f(x) | = |
|
| g(x) | = |
|
Agora escolhemos a função mais simples e a simplificamos.
|
= |
|
|
= | sen x • cos x |
Atribuimos a simplificação à função h(x).
h(x) = sen x • cos x
Agora devemos manipular a função f(x) de modo a chegar em h(x).
| f(x) | = |
|
|
= |
|
|
= |
|
|
• |
|
Já sabemos que cos² x + sen² x = 1.
Ficamos com sen x • cos x, que foi a expressão atribuída a h(x). Logo, f(x) = h(x), assim como g(x) = h(x). Finalmente, tem-se que f(x) = g(x), provando a identidade.
Exemplo 1
Demonstre a identidade trigonométrica tg²x + cos²x = sec²x – sen²x.
tg²x + cos²x = sec²x – sen²x
Como ambos os membros parecem complexos a primeira vista, vamos efetuar algumas manipulações com o objetivo de facilitar a resolução.
cos²x + sen²x = sec²x – tg²x
Agora fica fácil perceber que o membro da esquerda é mais simples, já que cos²x + sen²x = 1.
1 = sec²x – tg²x
| 1 | = |
|
– |
|
| 1 | = |
|
1 – sen²x = cos²x
| 1 | = |
|
1 = 1
Identidade provada.
Exemplo 2
Expresse 1 – 2sen²x + sen²xcos²x + sen4x em função de cosx.
1 – 2sen²x + sen²xcos²x + sen4x
1 + sen²xcos²x – 2sen²x + sen4x
1 + sen²x(cos²x – 2 + sen²x)
1 + sen²x(cos²x + sen²x – 2)
sabemos que, cos²x + sen²x = 1, então:
1 + sen²x(1 – 2)
1 + sen²x(-1)
1 – sen²x
cos²x
Exemplo 3
Mostre que (senx + tgx)(cosx + cotgx) = (1 + senx)(1 + cosx).
(senx + tgx)(cosx + cotgx) = (1 + senx)(1 + cosx)
Vamos expandir o segundo membro.
(senx + tgx)(cosx + cotgx) = 1 + cosx + senx + senxcosx
Vamos expandir o primeiro membro para que fique igual ao segundo.
(senx + tgx)(cosx + cotgx)
senxcosx + sexcotgx + tgxcosx + tgxcotgx
senxcosx + senxcosx/senx + senx/cosxcosx + senx/cosx•cosx/senx
Simplificando, temos:
senxcosx + cosx + senx + 1
Operando identidades
Até o momento calculamos as funções circulares de ângulos imediatos como 30º, 45º, 60º e 90º. Contudo, através destes ângulos podemos encontrar as funções circulares da soma de dois arcos, da diferença de dois arcos ou, ainda do dobro (ou triplo) de um arco dado.
|
Exemplo 1
Calcule o seno, cosseno e tangente do ângulo de 75º.
sen 75º = sen(30º + 45º) = sen 30º . cos 45º + sen 45º . cos 30º
|
|
|
cos 75º = cos(30º + 45º) = cos 30º . cos 45º – sen 30º . sen 45º
|
|
|
|
|
|
|
|
Fórmulas da multiplicação
Dadas as funções circulares de um arco a, é possível, mediante a aplicação das fórmulas de adição de dois arcos, encontrarmos as funções circulares dos arcos 2a, 3a, …, chamados, respectivamente, de arco duplo, arco triplo, …
Fazendo b = a, teremos (a + b) = (a + a) = 2a.
Daí:
|
Exemplo 1
Sendo cos a = 2/5, com 0 < a < π/2, determine sen 2a e cos 2a.
Exemplo 2
Demonstre que tg x • sen 2x = 2sen²x.
Exemplo 3
Demonstre que 1 + tg a • tg 2a = sec 2a
Matemática financeira
O que você vai estudar:
- Razão e Proporção
- Série de razões iguais
- Grandezas proporcionais
- Divisão proporcional – Regra de sociedade
- Regra de três
- Percentagem
- Operações sobre mercadorias
- Vendas com lucro
- Vendas com prejuízo
- Acréscimos e abatimentos sucessivos
- Moeda
- Inflação
- Juros simples
- Taxas proporcionais
- Taxas equivalentes
- Juros simples exatos
- Juros simples comercial
- Juros compostos
- Taxas equivalentes
- Taxa nominal e taxa efetiva
- Convenção exponencial e linear
- Taxa real e taxa aparente
Razão e Proporção
O conceito de razão e proporção é de grande importância não só na matemática como também no nosso dia a dia. Podemos encontrar esse conceito ao ampliar uma imagem, ao assistir um a filme de terror em que um inseto possui tamanho gigante, totalmente fora da realidade; entre outros casos.
Razão
A razão nada mais é do que a divisão entre dois números, ou seja, a razão do número a para o número b (diferente de zero) é o quociente de a por b. Além disso, a razão serve para comparar duas grandezas.
Indicamos:
|
ou | a : b |
(lê-se: a para b)
Os números a e b são os termos da razão; a recebe o nome de antecedente (numerador) e b, consequente (denominador) da razão.
Exemplo 1
Na fila de um guichê de venda de ingressos em um estádio de futebol, havia 48 torcedores, sendo 20 palmeirenses e 28 corintianos. Qual a razão entre o número de palmeirenses e o número de corintianos? Explique.
|
= |
|
Isso significa que para cada 5 palmeirenses havia 7 corintianos.
Exemplo 2
Um automóvel percorre 160 km em 2 horas. Qual a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la?
|
= | 80 km/h |
Podemos dizer que esse automóvel faz em média 80 km em 1 hora.
Proporção
A igualdade entre duas razões recebe o nome de proporção. Aprendemos que a : b e c : d são razões; então, se igualarmos essas duas razões teremos uma proporção.
|
= |
|
(Lê-se: a está para b, assim como c está para d)
Os números a e d são chamados extremos, e os números b e c são chamados meios.
Na proporção anterior, se realizarmos a multiplicação cruzada, teremos:
ad = bc
O que nos permite dizer que:
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Exemplo 1
Na bula de um remédio pediátrico recomenda-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 k do “peso” da criança. Qual a dosagem correta para uma criança com 12 kg?
|
= |
|
2x = 5 • 12
2x = 60
x = 30 gotas
Exemplo 2
Num concurso público, constatou-se que a razão entre o número de homens e o de mulheres era 3/5. Se o total de inscritos era 1600 pessoas, determine:
a) o número de mulheres que fizeram o concurso.
b) a razão entre o número de aprovados e o número total de inscritos, sabendo que 5/12 dos homens foram aprovados e 17/25 das mulheres não conseguiram aprovação.
Vamos determinar, inicialmente, que x representará o número de homens e y o de mulheres.
a)
|
= |
|
Logo, 3y = 5x
| x = |
|
x + y representa o total de inscritos.
x + y = 1600
|
+ | y | = | 1600 |
|
= | 1600 |
y = 1000. Logo, 1000 mulheres fizeram o concurso.
b)
O total de inscritos foi de 1600. Logo, 1000 + x = 1600 ⇒ 600 homens fizeram o concurso.
O problema informou que 5/12 dos homens foram aprovados.
|
• | 600 | = | 250 aprovados |
O problema informou também que 17/25 das mulheres foram reprovadas.
|
• | 1000 | = | 680 reprovadas |
1000 – 680(reprovadas) = 320 (aprovadas)
Visto que o problema pede a razão entre o número de aprovados e o número total de inscritos, temos:
|
= |
|
A resposta é:
|
Transformações
Vamos realizar algumas manipulações nos termos de uma proporção com a finalidade de descobrir algo novo. Tomemos, como exemplo, a proporção abaixo.
|
= |
|
Realizando a multiplicação cruzada, temos: 3 • 20 = 4 • 15 → 60 = 60.
Ao fazer as manipulações com os termos da proporção, tome cuidado para que a igualdade dos produtos dos extremos e dos meios seja mantida.
• Alternando os extremos:
|
= |
|
⇒ 20 • 3 = 4 • 15 |
• Alternando os meios:
|
= |
|
⇒ 3 • 20 = 15 • 4 |
• Invertendo os termos:
|
= |
|
⇒ 4 • 15 = 3 • 20 |
• Transpondo as razões:
|
= |
|
⇒ 15 • 4 = 20 • 3 |
Série de razões iguais
Veja as razões abaixo:
|
, |
|
, |
|
, |
|
Vemos que todas são iguais a 4. Portanto, podemos escrever:
|
= |
|
= |
|
= |
|
Essa expressão recebe o nome de série de razões iguais ou proporção múltipla.
De forma geral, ficaria:
|
= |
|
= | … | = |
|
Sendo k o valor das razões acima, temos:
|
= k, |
|
= k, | … , |
|
= k |
Perceba que a = bk, c = dk, … ,m = nk
Somando membro a membro essas igualdades, temos:
a + c + … + m = bk + ck + … + nk
Colocando k em evidência, temos:
a + c + … + m = k(b + c + … + n)
portanto:
|
= k |
Desta forma, podemos escrever:
|
= |
|
= | … = |
|
E finalmente:
Em uma série de razões iguais, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo consequente.
Exemplo 1
Calcule x, y e z, sabendo que
|
= |
|
= |
|
e x + y + z = 420.
Vimos que
|
= |
|
= | … = |
|
Então:
|
= |
|
= |
|
= |
|
Portanto temos:
|
= |
|
= |
|
= |
|
Encontrando o valor de x:
|
= |
|
35 • x = 420 • 9
35 • x = 3780
x = 108
Encontrando o valor de y:
|
= |
|
35 • y = 420 • 11
35 • y = 4620
x = 132
Encontrando o valor de z:
|
= |
|
35 • z = 420 • 15
35 • z = 6300
z = 180
Exemplo 2
Determine dois números, sabendo que sua soma é 60 e que a razão entre eles é 2/3.
Vamos chamar os dois números desconhecidos de x e y.
Dados:
x + y = 60
A razão entre eles é 2/3
|
= |
|
Vamos alternar os meios dessa proporção, ficando assim:
|
= |
|
Agora podemos aplicar a propriedade:
|
= |
|
= |
|
Encontrando o valor de x:
|
= |
|
5 • x = 60 • 2
5 • x = 120
x = 24
Encontrando o valor de y:
|
= |
|
5 • y = 60 • 3
5 • y = 180
y = 36
Grandezas proporcionais
Grandezas diretamente proporcionais
Para entendermos o conceito de grandezas diretamente proporcionais vamos ver um exemplo:
Numa rodovia, um carro mantém uma velocidade constante de 90 km/h. Veja a tabela que relaciona o tempo t(em horas) e a distância d(em quilômetros):
| Tempo (h) | Distância (km) |
|---|---|
| 0,5 | 45 |
| 1 | 90 |
| 1,5 | 135 |
| 2 | 180 |
| 3 | 270 |
| 4 | 360 |
Examinando a tabela, vemos que a grandeza distância depende da grandeza tempo, já que aumentando uma, a outra também aumenta.
|
= |
|
= |
|
= … = |
|
Vamos montar as proporções usando a tabela.
Chamando de d a grandeza distância e de t a grandeza tempo, temos:
|
= |
|
⇒ | d = 90t |
Dizemos, neste caso, que as sequências de números (1/2, 1, 3/2, 2, 3, 4) e (45, 90, 135, 180, 270, 360) são diretamente proporcionais ou, então, que as grandezas d e t são diretamente proporcionais e 1/90 é a razão ou coeficiente de proporcionalidade.
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando os valores correspondentes às variáveis são expressos por uma função do tipo: y = kx, onde k é um número real constante, diferente de zero.
Portanto, as sequências de números reais e não-nulos (a1, a2, …, an) e (b1, b2, …, bn) são diretamente proporcionais se, e somente se:
|
= |
|
= … = |
|
= k (cte) |
Consideremos as sequências de números (2, 4, 12) e (3, 6, 18).
Temos:
|
= |
|
= |
|
Logo, essas sequências de números são diretamente proporcionais. Multiplicando por 5 os elementos da primeira sequência (5 • 2, 5 • 4 , 5 • 12 ) = (10, 20, 60).
|
= |
|
= |
|
Ainda assim as sequências continuam sendo proporcionais.
Grandezas inversamente proporcionais
Para entendermos o conceito de grandezas inversamente proporcionais vamos ver um exemplo:
Uma distância de 1.200 km pode ser percorrida por um avião, a uma velocidade de 100 km/h, em 12 horas; a uma velocidade de 200 km/h, em 6 horas; e a uma velocidade de 300 km/h, em 4 horas. Podemos, então, escrever a tabela:
| Tempo (h) | Velocidade (km/h) |
|---|---|
| 12 | 100 |
| 6 | 200 |
| 4 | 300 |
| 3 | 400 |
Veja que a grandeza tempo depende da grandeza velocidade, já que aumentando a velocidade o tempo diminui, ou seja, quanto mais rápido se percorre uma certa distância, menos tempo se gasta. Com base na tabela, vamos montar as proporções abaixo.
|
= |
|
= |
|
= |
|
As proporções acima são iguais a 1.200.
Podemos dizer que a sequência de números (12, 6, 4, 3) é diretamente proporcional a (1/100, 1/200, 1/300, 1/400). 1.200 é o fator ou coeficiente de proporcionalidade.
Chamando de x a grandeza velocidade e de y a grandeza tempo, temos:
yx = 1200 ou y = 1200(1/x)
Duas grandezas variáveis são inversamente proporcionais se os valores correspondentes x e y são expressos por uma função do tipo:
y = k •
1 x Onde k é um número real constante, diferente de zero.
Portanto, duas sequências de números reais e não-nulos (a1, a2, …, an) e (b1, b2, …, bn) são inversamente proporcionais se, e somente se:
a1 • b1 = a2 • b2 = … = an • bn = k ou
|
= |
|
= .. = |
|
= k |
Divisão proporcional – Regra de sociedade
A Regra de Sociedade é uma das aplicações da divisão proporcional, então vamos aprender inicialmentes como dividir um número em partes diretamente e inversamente proporcionais.
Divisão proporcional
Um barbante com 200 cm de comprimento foi dividido em três partes com comprimentos diretamente proporcionais aos números 3, 5 e 2. Qual o comprimento de cada pedaço?
Chamando de x, y e z , respectivamente, cada uma das partes, devemos verificar que:
|
= |
|
= |
|
Além disso, como x, y e z são partes em que dividimos o comprimento 200 cm, devemos ter: x + y + z = 200.
Como a proporção acima é uma série de razões iguais, podemos escrever:
|
= |
|
= |
|
= |
|
|
= |
|
= |
|
= |
|
Logo, x = 40, y = 60 e z = 100.
Dividir um número em partes proporcionais a vários outros números dados é decompô-lo em parcelas/partes proporcionais a esses números.
Divisão em partes inversamente proporcionais
Dividir um número em partes inversamente proporcionais significa dividir o número dado em partes diretamente proporcionais aos inversos destes números. Por exemplo:
Divida o número 210 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 6. Isto quer dizer que devemos dividir o número 210 proporcionalmente aos inversos dos números 3, 5 e 6; que são 1/3, 1/5 e 1/6.
|
= |
|
= |
|
= |
|
|
= |
|
| 3x | = |
|
3x = 300 ⇒ x = 100
|
= |
|
| 5y | = |
|
5y = 300 ⇒ y = 60
|
= |
|
| 6z | = |
|
6z = 300 ⇒ z = 50
Lembre-se que somando as partes (100 + 60 + 50 = 210) deveremos chegar no valor original que dividimos.
Regra de sociedade
A regra de sociedade é uma extensão da divisão proporcional. Tem por objetivo a divisão dos lucros ou prejuízos entre os sócios que formam uma sociedade, por ocasião do Balanço geral exigido anualmente por lei ou quando da saída ou admissão de um sócio. Por convenção, o lucro ou o prejuízo é dividido pelos sócios proporcionalmente aos capitais que investiram, levando-se em conta as condições estipuladas no contrato social.
Vamos considerar dois casos:
Primeiro: Os capitais são iguais e empregados durante o mesmo tempo.
A fim de obtermos a parte de cada sócio, dividimos o lucro ou o prejuízo pelo número deles.
Exemplo: Uma empresa A obteve um lucro de R$332.500,00. Sabendo que os capitais empregados pelos três sócios eram iguais, vamos determinar a parte de cada um nos lucros.
|
= | 110.900 |
Logo, cada sócio terá um parte de R$110.900,00 nos lucros.
Segundo: Os capitais são desiguais e empregados durante o mesmo tempo.
Neste caso dividimos o lucro ou o prejuízo em partes diretamente proporcionais aos capitais investidos por cada sócio.
Exemplo: Três sócios empregaram, respectivamente, os capitais de R$18.000,00, R$22.500,00 e R$27.000,00 e obtiveram um lucro líquido de R$27.000,00. Qual será a parte de cada um?
Veja que basta dividirmos o lucro de R$27.000,00 em partes diretamente proporcionais aos capitais investidos.
|
= |
|
= |
|
= |
|
|
= |
|
= |
|
= |
|
| x | = |
|
= | 7.200 |
| y | = |
|
= | 9.000 |
| z | = |
|
= | 10.800 |
Note que o sócio que mais investiu receberá uma parcela maior no lucro.
Regra de três
Regra de três é um assunto bastante cobrado em vestibulares, concursos públicos e outros exames. Mas, o que é regra de três?
Chamamos de regra de três os problemas nos quais são dadas uma grandeza que é direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas.
Vamos estudar dois tipos: a regra de três simples, que trabalha com apenas duas grandezas, e a composta, que envolve mais de duas grandezas.
Regra de três simples
Na regra de três simples são dados dois valores de uma grandeza A e apenas um valor da grandeza B. O segundo valor da grandeza B é o que deveremos descobrir.
Exemplo 1
Márcia comprou 6 m de tecido por R$15,00. Quanto gastaria se tivesse comprado 8 m?
Inicialmente, vamos dispor os dados do problema numa tabela.
| Comprimento (m) | Preço (R$) |
|---|---|
| 6 | 15 |
| 8 | x |
Conforme a definição acima, o problema nos deu dois dados da grandeza comprimento e apenas um da grandeza preço.
Agora vamos analisar estas duas grandezas. O que acontece com a grandeza preço quando variamos a grandeza comprimento? Note que aumentando a quantidade de metros de tecido aumentamos o preço a ser pago. Logo, as grandezas comprimento e preço são diretamente proporcionais.
| ↓ |
|
= |
|
↓ |
Preste atenção no sentido das setas. As duas grandezas apresentam as setas apontando no mesmo sentido, isso indica que são diretamente proporcionais. Agora é só realizar a multiplicação cruzada.
6x = 8 • 15
6x = 120
x = 20
Logo, o preço procurado é R$20,00.
Exemplo 2
Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra?
Vamos dispor os dados do problema numa tabela.
| Operários | Dias |
|---|---|
| 6 | 10 |
| 20 | x |
A segunda informação da grandeza dias é o que estamos procurando. Então, o que acontecerá com a grandeza dias quando aumentamos o número de operários? Note que, quanto mais operários forem contratados mais rápido a obra será finalizada. Portanto, quando aumenta o número de operários o número de dias diminui. Logo, as grandezas Operários e Dias são inversamente proporcionais.
| ↑ |
|
= |
|
↓ |
Note que o antecedente e o consequente da grandeza operários foram invertidos. Observe também o sentido das setas. Agora é só realizar a multiplicação cruzada.
20x = 6 • 10
20x = 60
x = 3
Finalmente, serão gastos 3 dias para finalizar a obra empregando-se 20 operários.
Regra de três composta
Se na regra de três simples são dadas duas grandezas, na regra de três composta o número de grandezas é superior a isso. Nesta modalidade, de cada grandeza são dados dois valores, com exceção de uma delas, da qual é dado apenas um valor, relacionado com um dos valores de cada uma das outras grandezas.
Exemplo 1
Se para imprimir 87.500 exemplares 5 rotativas gastam 56 minutos, em que tempo 7 rotativas, iguais às primeiras, imprimirão 350.000 desses exemplares?
Vamos dispor os dados do problema na tabela abaixo.
| Exemplares | Rotativas | Tempo (min) |
|---|---|---|
| 87.500 | 5 | 56 |
| 350.000 | 7 | x |
Note que da grandeza exemplares e rotativas foi dado dois valores, porém da grandeza tempo foi dado apenas um valor. O outro deveremos encontrar. Então, vamos relacionar as grandezas.
| ↓ |
|
↑ |
|
|
↓ |
Perceba que, quando aumentamos a quantidade de exemplares a serem impressos aumenta também o tempo para imprimí-los. Desta forma, as grandezas exemplares e tempo são diretamente proporcionais, veja o sentido das setas. Por outro lado, quando aumentamos o número de rotativas o tempo diminui. Logo, as grandezas rotativas e tempo são inversamente proporcionais.
|
= |
|
x = 160 min ou 2h40min
Exemplo 2
Quinze operários, trabalhando 9 h por dia, construíram 36 m de muro em 16 dias. Em quanto tempo 18 operários farão 60 m do mesmo muro, trabalhando 8 h por dia?
Novamente, vamos dispor os dados do problema numa tabela.
| Operários | Jornada | Muro (m) | Dias |
|---|---|---|---|
| 15 | 9 | 36 | 16 |
| 18 | 8 | 60 | x |
Nesta problema temos quatro grandezas relacionadas. Vamos relacionar cada uma delas com a grandeza dias.
| ↑ |
|
↑ |
|
↓ |
|
↓ |
|
Quando aumentamos a quantidade de operários diminuimos o número de dias. Portanto, as grandezas operários e dias são inversamente proporcionais. O mesmo acontece quando diminuimos a jornada de trabalho. Diminuindo a jornada de trabalho o número de dias aumenta. Por outro lado, quando aumentamos a quantidade de metros de muro aumentamos também o número de dias.Logo, as grandezas metros de muro e dias são diretamente proporcionais.
Calculando o valor de x, vem:
|
= |
|
x = 25 dias.
Percentagem
Todos os dias vemos nos meios de comunicação o uso da palavra Porcentagem, Percentagem ou Percentual. Elas aparecem relacionadas a anúncios do tipo:
“Só hoje! Shampoos e condicionadores com 20% de desconto!”
“Calcula-se que 23% da população sofreu com os prejuízos causados pela chuva.”
“Estima-se que o comércio eletrônico crescerá 17% no próximo ano.”
Todas estas expressões envolvem uma razão especial chamada percentagem.
Já sabemos de estudos anteriores que razão é a divisão entre dois números.
|
ou | a : b |
Quando a razão é representada com o consequente 100 ela é chamada razão centesimal.
Taxa percentual
Dos 35 candidatos que prestaram o concurso, 28 foram aprovados. Qual a taxa percentual de aprovados?
A razão entre o número de aprovados e o total de candidatos é:
|
Vimos acima que para ser uma razão centesimal é necessário que o consequente (denominador da fração) seja igual a 100. Portanto,
|
= |
|
Efetuando a multiplicação cruzada temos:
| x | = |
|
= 80 |
Portanto,
|
= |
|
= 80% |
80% é lido como oitenta por cento. Esse numeral (80%) é denominado taxa percentual ou centesimal.
Na razão 28/35, o número 28 representa a parte(s), ou quantidade tomada do todo; o número 35 representa o todo ou em quantas partes o todo foi dividido no caso de uma fração. Por exemplo: 1/3 representa uma parte de um todo que foi dividido em três.
Exemplo 1
Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual a sua comissão numa venda de R$ 3.600,00?
Primeira resolução:
3% de 3.600 é o mesmo que
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• | 3.600 | = 108 |
Logo, a sua comissão numa venda de R$ 3.600,00 é de R$ 108,00.
Segunda resolução
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= |
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Na razão 3/100 o numeral 100 representa o todo e o numeral 3 a parte. O valor da venda realizada foi de 3.600 que também representa o todo. A parte dessa venda que cabe ao vendedor será a comissão que representamos por x.
| x | = |
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= 108 |
Logo, a comissão procurada vale R$ 108,00.
Exemplo 2
Uma cidade possui duas emissoras de rádio. Uma pesquisa, realizada com toda a população, apresentou o seguinte resultado: 20% da população ouve a emissora A, 24% ouve a emissora B, e 6% ouve as duas emissoras. Sabendo que a cidade tem 19.000 ouvintes, calcule o número de habitantes.
Veja como ficam representados os dados num diagrama de Venn.
O círculo A representa a emissora de rádio A com 20% (14 + 6) dos ouvintes, já a emissora B possui 24% (18 + 6) dos ouvintes. Note que somando todos os dados (14% + 6% + 18% = 38%) não atingimos a totalidade que é de 100%. O problema informou também que 19.000 habitantes da cidade são ouvintes, daí concluimos que existem pessoas que não ouvem nenhuma das duas emissoras de rádio. Vamos usar as proporções para solucionar este problema.
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= |
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38% dos habitantes da cidade são ouvintes de rádio. Se nos foi dado que 19.000 são ouvintes, então:
| x | = |
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= 50.000 |
Portanto, a cidade possui 50.000 habitantes. E 62%, representado pelo x% no diagrama de Venn, não ouvem nenhuma das duas emissoras de rádio.