Livro de Matemática
Sumário
Série de razões iguais
Veja as razões abaixo:
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, |
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, |
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, |
|
Vemos que todas são iguais a 4. Portanto, podemos escrever:
|
= |
|
= |
|
= |
|
Essa expressão recebe o nome de série de razões iguais ou proporção múltipla.
De forma geral, ficaria:
|
= |
|
= | … | = |
|
Sendo k o valor das razões acima, temos:
|
= k, |
|
= k, | … , |
|
= k |
Perceba que a = bk, c = dk, … ,m = nk
Somando membro a membro essas igualdades, temos:
a + c + … + m = bk + ck + … + nk
Colocando k em evidência, temos:
a + c + … + m = k(b + c + … + n)
portanto:
|
= k |
Desta forma, podemos escrever:
|
= |
|
= | … = |
|
E finalmente:
Em uma série de razões iguais, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo consequente.
Exemplo 1
Calcule x, y e z, sabendo que
|
= |
|
= |
|
e x + y + z = 420.
Vimos que
|
= |
|
= | … = |
|
Então:
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= |
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= |
|
= |
|
Portanto temos:
|
= |
|
= |
|
= |
|
Encontrando o valor de x:
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= |
|
35 • x = 420 • 9
35 • x = 3780
x = 108
Encontrando o valor de y:
|
= |
|
35 • y = 420 • 11
35 • y = 4620
x = 132
Encontrando o valor de z:
|
= |
|
35 • z = 420 • 15
35 • z = 6300
z = 180
Exemplo 2
Determine dois números, sabendo que sua soma é 60 e que a razão entre eles é 2/3.
Vamos chamar os dois números desconhecidos de x e y.
Dados:
x + y = 60
A razão entre eles é 2/3
|
= |
|
Vamos alternar os meios dessa proporção, ficando assim:
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= |
|
Agora podemos aplicar a propriedade:
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= |
|
= |
|
Encontrando o valor de x:
|
= |
|
5 • x = 60 • 2
5 • x = 120
x = 24
Encontrando o valor de y:
|
= |
|
5 • y = 60 • 3
5 • y = 180
y = 36
Grandezas proporcionais
Grandezas diretamente proporcionais
Para entendermos o conceito de grandezas diretamente proporcionais vamos ver um exemplo:
Numa rodovia, um carro mantém uma velocidade constante de 90 km/h. Veja a tabela que relaciona o tempo t(em horas) e a distância d(em quilômetros):
| Tempo (h) | Distância (km) |
|---|---|
| 0,5 | 45 |
| 1 | 90 |
| 1,5 | 135 |
| 2 | 180 |
| 3 | 270 |
| 4 | 360 |
Examinando a tabela, vemos que a grandeza distância depende da grandeza tempo, já que aumentando uma, a outra também aumenta.
|
= |
|
= |
|
= … = |
|
Vamos montar as proporções usando a tabela.
Chamando de d a grandeza distância e de t a grandeza tempo, temos:
|
= |
|
⇒ | d = 90t |
Dizemos, neste caso, que as sequências de números (1/2, 1, 3/2, 2, 3, 4) e (45, 90, 135, 180, 270, 360) são diretamente proporcionais ou, então, que as grandezas d e t são diretamente proporcionais e 1/90 é a razão ou coeficiente de proporcionalidade.
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando os valores correspondentes às variáveis são expressos por uma função do tipo: y = kx, onde k é um número real constante, diferente de zero.
Portanto, as sequências de números reais e não-nulos (a1, a2, …, an) e (b1, b2, …, bn) são diretamente proporcionais se, e somente se:
|
= |
|
= … = |
|
= k (cte) |
Consideremos as sequências de números (2, 4, 12) e (3, 6, 18).
Temos:
|
= |
|
= |
|
Logo, essas sequências de números são diretamente proporcionais. Multiplicando por 5 os elementos da primeira sequência (5 • 2, 5 • 4 , 5 • 12 ) = (10, 20, 60).
|
= |
|
= |
|
Ainda assim as sequências continuam sendo proporcionais.
Grandezas inversamente proporcionais
Para entendermos o conceito de grandezas inversamente proporcionais vamos ver um exemplo:
Uma distância de 1.200 km pode ser percorrida por um avião, a uma velocidade de 100 km/h, em 12 horas; a uma velocidade de 200 km/h, em 6 horas; e a uma velocidade de 300 km/h, em 4 horas. Podemos, então, escrever a tabela:
| Tempo (h) | Velocidade (km/h) |
|---|---|
| 12 | 100 |
| 6 | 200 |
| 4 | 300 |
| 3 | 400 |
Veja que a grandeza tempo depende da grandeza velocidade, já que aumentando a velocidade o tempo diminui, ou seja, quanto mais rápido se percorre uma certa distância, menos tempo se gasta. Com base na tabela, vamos montar as proporções abaixo.
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= |
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= |
|
= |
|
As proporções acima são iguais a 1.200.
Podemos dizer que a sequência de números (12, 6, 4, 3) é diretamente proporcional a (1/100, 1/200, 1/300, 1/400). 1.200 é o fator ou coeficiente de proporcionalidade.
Chamando de x a grandeza velocidade e de y a grandeza tempo, temos:
yx = 1200 ou y = 1200(1/x)
Duas grandezas variáveis são inversamente proporcionais se os valores correspondentes x e y são expressos por uma função do tipo:
y = k •
1 x Onde k é um número real constante, diferente de zero.
Portanto, duas sequências de números reais e não-nulos (a1, a2, …, an) e (b1, b2, …, bn) são inversamente proporcionais se, e somente se:
a1 • b1 = a2 • b2 = … = an • bn = k ou
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= |
|
= .. = |
|
= k |
Divisão proporcional – Regra de sociedade
A Regra de Sociedade é uma das aplicações da divisão proporcional, então vamos aprender inicialmentes como dividir um número em partes diretamente e inversamente proporcionais.
Divisão proporcional
Um barbante com 200 cm de comprimento foi dividido em três partes com comprimentos diretamente proporcionais aos números 3, 5 e 2. Qual o comprimento de cada pedaço?
Chamando de x, y e z , respectivamente, cada uma das partes, devemos verificar que:
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= |
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= |
|
Além disso, como x, y e z são partes em que dividimos o comprimento 200 cm, devemos ter: x + y + z = 200.
Como a proporção acima é uma série de razões iguais, podemos escrever:
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= |
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= |
|
= |
|
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= |
|
= |
|
= |
|
Logo, x = 40, y = 60 e z = 100.
Dividir um número em partes proporcionais a vários outros números dados é decompô-lo em parcelas/partes proporcionais a esses números.
Divisão em partes inversamente proporcionais
Dividir um número em partes inversamente proporcionais significa dividir o número dado em partes diretamente proporcionais aos inversos destes números. Por exemplo:
Divida o número 210 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 6. Isto quer dizer que devemos dividir o número 210 proporcionalmente aos inversos dos números 3, 5 e 6; que são 1/3, 1/5 e 1/6.
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= |
|
= |
|
= |
|
|
= |
|
| 3x | = |
|
3x = 300 ⇒ x = 100
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= |
|
| 5y | = |
|
5y = 300 ⇒ y = 60
|
= |
|
| 6z | = |
|
6z = 300 ⇒ z = 50
Lembre-se que somando as partes (100 + 60 + 50 = 210) deveremos chegar no valor original que dividimos.
Regra de sociedade
A regra de sociedade é uma extensão da divisão proporcional. Tem por objetivo a divisão dos lucros ou prejuízos entre os sócios que formam uma sociedade, por ocasião do Balanço geral exigido anualmente por lei ou quando da saída ou admissão de um sócio. Por convenção, o lucro ou o prejuízo é dividido pelos sócios proporcionalmente aos capitais que investiram, levando-se em conta as condições estipuladas no contrato social.
Vamos considerar dois casos:
Primeiro: Os capitais são iguais e empregados durante o mesmo tempo.
A fim de obtermos a parte de cada sócio, dividimos o lucro ou o prejuízo pelo número deles.
Exemplo: Uma empresa A obteve um lucro de R$332.500,00. Sabendo que os capitais empregados pelos três sócios eram iguais, vamos determinar a parte de cada um nos lucros.
|
= | 110.900 |
Logo, cada sócio terá um parte de R$110.900,00 nos lucros.
Segundo: Os capitais são desiguais e empregados durante o mesmo tempo.
Neste caso dividimos o lucro ou o prejuízo em partes diretamente proporcionais aos capitais investidos por cada sócio.
Exemplo: Três sócios empregaram, respectivamente, os capitais de R$18.000,00, R$22.500,00 e R$27.000,00 e obtiveram um lucro líquido de R$27.000,00. Qual será a parte de cada um?
Veja que basta dividirmos o lucro de R$27.000,00 em partes diretamente proporcionais aos capitais investidos.
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= |
|
= |
|
= |
|
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= |
|
= |
|
= |
|
| x | = |
|
= | 7.200 |
| y | = |
|
= | 9.000 |
| z | = |
|
= | 10.800 |
Note que o sócio que mais investiu receberá uma parcela maior no lucro.
Regra de três
Regra de três é um assunto bastante cobrado em vestibulares, concursos públicos e outros exames. Mas, o que é regra de três?
Chamamos de regra de três os problemas nos quais são dadas uma grandeza que é direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas.
Vamos estudar dois tipos: a regra de três simples, que trabalha com apenas duas grandezas, e a composta, que envolve mais de duas grandezas.
Regra de três simples
Na regra de três simples são dados dois valores de uma grandeza A e apenas um valor da grandeza B. O segundo valor da grandeza B é o que deveremos descobrir.
Exemplo 1
Márcia comprou 6 m de tecido por R$15,00. Quanto gastaria se tivesse comprado 8 m?
Inicialmente, vamos dispor os dados do problema numa tabela.
| Comprimento (m) | Preço (R$) |
|---|---|
| 6 | 15 |
| 8 | x |
Conforme a definição acima, o problema nos deu dois dados da grandeza comprimento e apenas um da grandeza preço.
Agora vamos analisar estas duas grandezas. O que acontece com a grandeza preço quando variamos a grandeza comprimento? Note que aumentando a quantidade de metros de tecido aumentamos o preço a ser pago. Logo, as grandezas comprimento e preço são diretamente proporcionais.
| ↓ |
|
= |
|
↓ |
Preste atenção no sentido das setas. As duas grandezas apresentam as setas apontando no mesmo sentido, isso indica que são diretamente proporcionais. Agora é só realizar a multiplicação cruzada.
6x = 8 • 15
6x = 120
x = 20
Logo, o preço procurado é R$20,00.
Exemplo 2
Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra?
Vamos dispor os dados do problema numa tabela.
| Operários | Dias |
|---|---|
| 6 | 10 |
| 20 | x |
A segunda informação da grandeza dias é o que estamos procurando. Então, o que acontecerá com a grandeza dias quando aumentamos o número de operários? Note que, quanto mais operários forem contratados mais rápido a obra será finalizada. Portanto, quando aumenta o número de operários o número de dias diminui. Logo, as grandezas Operários e Dias são inversamente proporcionais.
| ↑ |
|
= |
|
↓ |
Note que o antecedente e o consequente da grandeza operários foram invertidos. Observe também o sentido das setas. Agora é só realizar a multiplicação cruzada.
20x = 6 • 10
20x = 60
x = 3
Finalmente, serão gastos 3 dias para finalizar a obra empregando-se 20 operários.
Regra de três composta
Se na regra de três simples são dadas duas grandezas, na regra de três composta o número de grandezas é superior a isso. Nesta modalidade, de cada grandeza são dados dois valores, com exceção de uma delas, da qual é dado apenas um valor, relacionado com um dos valores de cada uma das outras grandezas.
Exemplo 1
Se para imprimir 87.500 exemplares 5 rotativas gastam 56 minutos, em que tempo 7 rotativas, iguais às primeiras, imprimirão 350.000 desses exemplares?
Vamos dispor os dados do problema na tabela abaixo.
| Exemplares | Rotativas | Tempo (min) |
|---|---|---|
| 87.500 | 5 | 56 |
| 350.000 | 7 | x |
Note que da grandeza exemplares e rotativas foi dado dois valores, porém da grandeza tempo foi dado apenas um valor. O outro deveremos encontrar. Então, vamos relacionar as grandezas.
| ↓ |
|
↑ |
|
|
↓ |
Perceba que, quando aumentamos a quantidade de exemplares a serem impressos aumenta também o tempo para imprimí-los. Desta forma, as grandezas exemplares e tempo são diretamente proporcionais, veja o sentido das setas. Por outro lado, quando aumentamos o número de rotativas o tempo diminui. Logo, as grandezas rotativas e tempo são inversamente proporcionais.
|
= |
|
x = 160 min ou 2h40min
Exemplo 2
Quinze operários, trabalhando 9 h por dia, construíram 36 m de muro em 16 dias. Em quanto tempo 18 operários farão 60 m do mesmo muro, trabalhando 8 h por dia?
Novamente, vamos dispor os dados do problema numa tabela.
| Operários | Jornada | Muro (m) | Dias |
|---|---|---|---|
| 15 | 9 | 36 | 16 |
| 18 | 8 | 60 | x |
Nesta problema temos quatro grandezas relacionadas. Vamos relacionar cada uma delas com a grandeza dias.
| ↑ |
|
↑ |
|
↓ |
|
↓ |
|
Quando aumentamos a quantidade de operários diminuimos o número de dias. Portanto, as grandezas operários e dias são inversamente proporcionais. O mesmo acontece quando diminuimos a jornada de trabalho. Diminuindo a jornada de trabalho o número de dias aumenta. Por outro lado, quando aumentamos a quantidade de metros de muro aumentamos também o número de dias.Logo, as grandezas metros de muro e dias são diretamente proporcionais.
Calculando o valor de x, vem:
|
= |
|
x = 25 dias.
Percentagem
Todos os dias vemos nos meios de comunicação o uso da palavra Porcentagem, Percentagem ou Percentual. Elas aparecem relacionadas a anúncios do tipo:
“Só hoje! Shampoos e condicionadores com 20% de desconto!”
“Calcula-se que 23% da população sofreu com os prejuízos causados pela chuva.”
“Estima-se que o comércio eletrônico crescerá 17% no próximo ano.”
Todas estas expressões envolvem uma razão especial chamada percentagem.
Já sabemos de estudos anteriores que razão é a divisão entre dois números.
|
ou | a : b |
Quando a razão é representada com o consequente 100 ela é chamada razão centesimal.
Taxa percentual
Dos 35 candidatos que prestaram o concurso, 28 foram aprovados. Qual a taxa percentual de aprovados?
A razão entre o número de aprovados e o total de candidatos é:
|
Vimos acima que para ser uma razão centesimal é necessário que o consequente (denominador da fração) seja igual a 100. Portanto,
|
= |
|
Efetuando a multiplicação cruzada temos:
| x | = |
|
= 80 |
Portanto,
|
= |
|
= 80% |
80% é lido como oitenta por cento. Esse numeral (80%) é denominado taxa percentual ou centesimal.
Na razão 28/35, o número 28 representa a parte(s), ou quantidade tomada do todo; o número 35 representa o todo ou em quantas partes o todo foi dividido no caso de uma fração. Por exemplo: 1/3 representa uma parte de um todo que foi dividido em três.
Exemplo 1
Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual a sua comissão numa venda de R$ 3.600,00?
Primeira resolução:
3% de 3.600 é o mesmo que
|
• | 3.600 | = 108 |
Logo, a sua comissão numa venda de R$ 3.600,00 é de R$ 108,00.
Segunda resolução
|
= |
|
Na razão 3/100 o numeral 100 representa o todo e o numeral 3 a parte. O valor da venda realizada foi de 3.600 que também representa o todo. A parte dessa venda que cabe ao vendedor será a comissão que representamos por x.
| x | = |
|
= 108 |
Logo, a comissão procurada vale R$ 108,00.
Exemplo 2
Uma cidade possui duas emissoras de rádio. Uma pesquisa, realizada com toda a população, apresentou o seguinte resultado: 20% da população ouve a emissora A, 24% ouve a emissora B, e 6% ouve as duas emissoras. Sabendo que a cidade tem 19.000 ouvintes, calcule o número de habitantes.
Veja como ficam representados os dados num diagrama de Venn.
O círculo A representa a emissora de rádio A com 20% (14 + 6) dos ouvintes, já a emissora B possui 24% (18 + 6) dos ouvintes. Note que somando todos os dados (14% + 6% + 18% = 38%) não atingimos a totalidade que é de 100%. O problema informou também que 19.000 habitantes da cidade são ouvintes, daí concluimos que existem pessoas que não ouvem nenhuma das duas emissoras de rádio. Vamos usar as proporções para solucionar este problema.
|
= |
|
38% dos habitantes da cidade são ouvintes de rádio. Se nos foi dado que 19.000 são ouvintes, então:
| x | = |
|
= 50.000 |
Portanto, a cidade possui 50.000 habitantes. E 62%, representado pelo x% no diagrama de Venn, não ouvem nenhuma das duas emissoras de rádio.
Operações sobre mercadorias
Vamos iniciar nessa parte o estudo de operações de compra e venda de mercadorias, isto é, vamos aprender a fazer cálculos de lucro ou prejuízo sobre os preços de custo e de venda de mercadorias. Mas, o que é lucro? E o que é prejuízo?
O lucro está relacionado ao ganho ou ganhar algo. Já o prejuízo está relacionado à perda. Todo aquele que fabrica ou revende determinado produto tem um custo, seja para produzí-lo ou comprá-lo. Quando o preço de venda é superior ao preço de custo ocorre um lucro, caso contrário ocorre um prejuízo. O ideal é ter lucro em todo tipo de transação financeira.
Vendas com lucro
A venda de mercadorias pode oferecer um lucro e este pode ser sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda.
Sobre o preço de custo
Exemplo 1
Um quadro, cujo preço de custo era R$800,00, foi vendido por R$980,00. Qual o percentual de lucro sobre o preço de custo?
Neste tipo de problema existem alguns termos que devemos observar. São eles:
V = Preço de venda
C = Preço de custo
L = Lucro
i = Taxa unitária do lucro
Sabemos que o preço de venda = preço de custo + lucro. Logo,
V = C + L
980 = 800 + L
L = 180
O lucro foi de R$ 180,00.
O percentual de lucro sobre o preço de custo pode ser calculado assim:
|
= 0,225 ou 22,5% |
Portanto, o percentual de lucro sobre o preço de custo foi de 22,5%.
Outra maneira de calcular seria através da fórmula completa.
V = C + L
V = C + i • C
V = C(1 + i)
980 = 800(1 + i)
| (1 + i) = |
|
(1 + i) = 1,225
i = 0,225 ou 22,5%
Exemplo 2
Um comerciante comprou 10 sacas de batatas por R$210,00. Por quanto deve vender cada saca para obter um lucro total de 15% sobre o custo?
Vamos anotar os dados do problema.
preço de compra = R$210,00
C = 210
taxa de lucro total sobre o preço de custo = 15%
i = 0,15
O que o problema está pedindo é: por quanto deve ser vendida cada saca de batata.
V = C(1 + i)
V = 210(1 + 0,15)
V = 241,50
Vendendo todas as sacas obteve-se um valor de R$ 241,50. Como são 10 sacas, o preço de venda de cada saca foi de 241,5 ÷ 10 = 24,15. Logo, para se obter o lucro total desejado cada saca dever ser vendida por R$24,15.
Sobre o preço de venda
Exemplo 1
Certa mercadoria foi comprada por R$860,00. Por quanto deve ser vendida para dar um lucro de 20% sobre o preço de venda?
Este problema é um pouco diferente dos anteriores. Vamos anotar os dados.
V = Preço de venda
C = Preço de custo
L = Lucro
i = Taxa unitária do lucro
Veja que agora a taxa de lucro é sobre o preço de venda, portanto L = i • V.
V = C + L
V = C + i • V
V – i • V = C
C = V(1 – i)
860 = V(1 – 0,2)
| V = |
|
V = 1.075
Logo, a mercadoria deverá ser vendida por R$ 1.075,00.
Veja abaixo as fórmulas do preço de venda com a taxa de lucro sobre o preço de custo e sobre o preço de venda.
Venda com lucro sobre o preço de custo
V = C(1 + i)
Venda com lucro sobre o preço de venda
| V = |
|
Do exemplo anterior, se o percentual fosse sobre o preço de custo quanto seria o preço de venda?
V = C(1 + i)
V = 860(1 + 0,2)
V = 1.032,00
O preço de venda seria de R$ 1.032,00. Note que, o preço de venda quando a taxa de lucro incide sobre o preço de venda é muito maior e mais vantajoso.
Vendas com prejuízo
Da mesma forma que ocorre com o lucro, um produto pode ser vendido com prejuízo sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda.
Sobre o preço de custo
Exemplo 1
Por R$ 750,00 vendi meu computador, tendo 25% de prejuízo sobre o preço original. Por quanto comprei o computador?
No caso de uma venda com prejuízo temos:
preço de venda = preço de custo – prejuízo
V = preço de venda
C = preço de custo
i = taxa unitário do prejuízo
Então:
V = C – P
V = C – i • C
V = C(1 – i)
750 = C(1 – 0,25)
| C = |
|
C = 1000
Portanto, comprei o computador por R$ 1.000,00.
Exemplo 2
Uma pessoa adquiriu um relógio por R$125,00 e só conseguiu vendê-lo com um prejuízo de 8% sobre o custo. Por quanto ela vendeu o relógio?
Dados do problema:
Preço de custo = R$125,00
taxa unitário do prejuízo = 0,08
Preço de venda = ?
Sabemos que V = C(1 – i)
V = 125(1 – 0,08)
V = 115
Portanto, o relógio foi vendido por R$115,00.
Sobre o preço de venda
Exemplo 1
Uma casa que custa R$96.000,00 foi vendida com um prejuízo de 20% sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda.
Dados do problema:
Preço de custo = R$96.000,00
Taxa unitária do prejuízo = 0,20
Preço de venda = ?
V = C – P
V = C – i • V
V + i • V = C
C = V(1 + i)
| V = |
|
Portanto:
| V = |
|
V = 80.000
Logo, a casa foi vendida por R$ 80.000,00.
Exemplo 2
Um terreno foi vendido por R$ 50.600,00, dando um prejuízo de 8% sobre o preço de venda. Quanto havia custado o terreno?
Dados do problema:
Preço de venda = R$ 50.600,00
Taxa unitária do prejuízo = 8%
Preço de custo = ?
| V = |
|
| 50.600 = |
|
C = 50.600 • 1,08
C = 54.648
Portanto, o terreno custou R$ 54.648,00.
Acréscimos e abatimentos sucessivos
Vamos aprender a calcular os acréscimos e abatimentos sucessivos sobre o valor de uma mercadoria ou importância resultante de um negócio efetuado.
Exemplo 1
A cada ano que passa, o valor de um carro usado diminui 15% em relação ao seu preço original. Se um carro zero quilômetro custa R$ 12.000,00, qual será seu valor daqui 2 anos?
Hoje:
O valor do carro hoje é R$ 12.000,00
Após 1 ano:
Depois de 1 ano o valor do carro já não será o mesmo, visto que incidirá sobre ele um abatimento de 15%.
12.000 – 12.000 • 0,15 = 12.000 – 1.800 = 10.200
Após 1 ano o carro estará custando R$ 10.200,00.
Após 2 anos:
Depois de 2 anos incidirá também uma taxa de 15% sobre o último valor do carro.
10.200 – 10.200 • 0,15 = 10.200 – 1.530 = 8.670
Após 2 anos o carro estará custando R$ 8.670,00.
Outra maneira de resolver a questão seria chamar de x o valor do carro.
Hoje o valor do carro é x.
Após 1 ano o valor do carro será:
x – 0,15x = x(1- 0,15) = 0,85x
Após 2 anos o valor do carro será:
0,85x – 0,85x • 0,15 = 0,85x(1 – 0,15) = (0,85)²x
Substituindo 12.000 no lugar de x temos:
(0,85)²x
(0,85)²12.000 = 8.670
Exemplo 2
Uma firma distribuidora oferece, sobre o valor de uma fatura, os descontos sucessivos de 10%, 4% e 5%. Sabendo que o valor da fatura é de R$ 48.000,0, qual o valor líquido desta?
Dados do problema:
Valor da fatura = R$ 48.000,00
i1 = 10%
i2 = 4%
i3 = 5%
Valor líquido = ?
Valor da fatura após o 1º desconto:
48.000 – 48.000 • 0,10 = 48.000 – 4.800 = 43.200
Valor da fatura após o 2º desconto:
43.200 – 43.200 • 0,04 = 43.200 – 1.728 = 41.472
Valor da fatura após o 3º desconto:
41.472 – 41.472 • 0,05 = 41.472 – 2.073,60 = 39.398,40
Portanto, o valor líquido da fatura é de: R$ 39.398,40.
O mesmo resultado pode ser obtido usando a fórmula abaixo.
L = P(1 – i1)(1 – i2)(1 – i2)…(1 – in)
L = 48.000(1 – 0,1)(1 – 0,04)(1 – 0,05)
L = 39.398,40
Note que os i1, i2, i3 … in, representam as taxas de abatimentos sucessivos.
Exemplo 3
Sobre um artigo de R$ 2.500,00 incide um imposto federal de 10% e um estadual de 4%. Qual o preço final desse artigo?
Dados do problema:
Valor do artigo = R$ 2.500,00
i1 = 10%
i2 = 4%
Preço final do artigo = ?
Veja que neste exercício não temos abatimentos sucessivos e sim acréscimos sucessivos.
Valor do artigo após o 1º acréscimo:
2.500 + 2.500 • 0,10 = 2.500 + 250 = 2.750
Valor do artigo após o 2º acréscimo:
2.750 + 2.750 • 0,04 = 2.750 + 110 = 2.860
Portanto, o valor do artigo após todos os acréscimos é de R$ 2.860,00.
O mesmo resultado pode ser obtido através da fórmula abaixo:
M = P(1 + i1)(1 + i2)(1 + i2)…(1 + in)
M = 2.500(1 + 0,1)(1 + 0,04)
M = 2.860
Exemplo 4
A população atual de uma cidade é de 50.000 habitantes. Sabendo que essa população cresce a uma taxa de 2% ao ano, qual será a população dessa cidade daqui a três anos?
Quantidade de habitantes após o 1º ano:
50.000 + 50.000 • 0,02 = 50.000 + 1000 = 51.000
Quantidade de habitantes após o 2º ano:
51.000 + 51.000 • 0,02 = 51.000 + 1.020 = 52.020
Quantidade de habitantes após o 3º ano:
52.020 + 52.0200 • 0,02 = 52.020 + 1.040,4 = 53.060,4
Portanto, após 3 anos o número de habitantes desta cidade será de 53.060.
Usando a fórmula seria:
M = P(1 + i1)(1 + i2)(1 + i2)…(1 + in)
M = 50.000(1 + 0,02)(1 + 0,02)(1 + 0,02)
M = 50.000(1 + 0,02)³
M = 53.060,4
Finalmente, temos abaixo a fórmula para os abatimentos sucessivos.
Para os acréscimos sucessivos usamos a fórmula abaixo.
Note que, nos abatimentos subtraímos as taxas e nos acréscimos as somamos.
Moeda
No início da atividade comercial havia apenas a troca de mercadorias. Assim, um indivíduo A, produtor da mercadoria a e necessitado da mercadoria b, procurava o indivíduo B que a produzia. Se houvesse concordância na troca, tudo bem; porém, as coisas se complicavam quando não havia concordância na troca, pois A teria de procurar um outro indivíduo produtor de b que estivesse disposto a trocá-la por a.
Com o desenvolvimento do comércio entre os indivíduos houve, então, a necessidade de uma terceira mercadoria, de aceitação geral e, principalmente, de fácil transporte e de valor constante para todos os produtores. Essa mercadoria passou a ser o padrão de trocas e de comparação de valores dos demais produtos. Esse padrão tornou-se, assim, a moeda da comunidade.
Surgiu, então, o problema: qual a melhor mercadoria a ser tomada como moeda? Chegou-se a conclusão de que a melhor moeda seria o metal: de fácil transporte, grande durabilidade e que permitia a obtenção de “pedaços” para pagamentos menores.
Com o passar do tempo, a moeda foi sofrendo um processo contínuo de desvalorização: passou de moeda mercadoria para moeda metálica e, finalmente, para um valor simbólico, tornando-se apenas um pedaço de papel.
Inflação
Chamamos de inflação a desvalorização do valor da moeda (ou a redução do seu poder aquisitivo). A inflação também pode ser identificada como o aumento generalizado dos preços de produtos e serviços.
Para se ter uma ideia antigamente um pão de sal custava R$ 0,10 centavos, ou seja, com R$ 1,00 você era capaz de comprar 10 pãezinhos. Nos dias de hoje, (2020) você compra 10 pães de sal por R$ 1,00? Claro que não! O que aconteceu? Hoje você precisa de mais dinheiro para comprar o mesmo produto. Portanto, o valor do dinheiro diminuiu.
É notável que a inflação não atinge todas as pessoas da mesma forma. As mais atingidas são aquelas com baixo poder aquisitivo.
Existem dois tipos de inflação: de oferta e de demanda.
Inflação de oferta
Acontece quando os preços de matérias-primas básicas como eletricidade ou gasolina aumentam.
Inflação de demanda
Ocorre quando a demanda por algum produto aumenta. Por exemplo: se muitas pessoas resolvem trocar de carro, pode ser que as indústrias não consigam atender a tantos pedidos. Devido a esta situação (pouco carro no mercado e muita procura por este produto) o resultado será o aumento do preço dos automóveis.
No Brasil, existem dois índices que medem a inflação: o IPCA e o IGPM.
IPCA (Índice de Preços ao Consumidor Amplo)
É considerado o termômetro oficial da inflação no Brasil e de responsabilidade do IBGE. O IPCA é um número que indica a variação de preço de um conjunto de produtos e serviços comuns a toda a população.
IGPM (Índice Geral de Preços de Mercado)
Este índice é medido por uma entidade de mercado – FGV (Fundação Getúlio Vargas). O IGPM é o resultado de um conjunto de outros índices: IPA (Índice de Preços ao Atacado), IPC (Índice de Preços ao Consumidor) e INCC (Índice Nacional do Custo da Construção). Podemos dizer que 60% do IGPM é representado pelo IPA, 30% é representado pelo IPC e 10% é representado pelo INCC.
Juros simples
Conceitos iniciais
Vamos imaginar a seguinte situação: “Caio toma emprestado de André uma importância de R$3.000,00. Após três meses Caio quitou sua dívida pagando a André um total de R$ 3.108,00”.
Analisando a situação anterior podemos retirar alguns conceitos essenciais para o entendimento não só de juros simples como para aplicações financeiras de modo geral. A importância que Caio tomou emprestado é chamada de Capital, já a dívida quitada no final do período recebe o nome de Montante. Note que Caio ficou com o dinheiro por três meses, este é o Período. Caio tomou emprestado R$ 3.000,00 e devolveu R$ 3.108,00. Note que Caio pagou os R$ 3.000,00 que tomou emprestado e além disso pagou R$108,00 a mais. Esse valor adicional recebe o nome Juros. Neste exemplo o valor de R$108,00 funciona como um aluguel pago pelo tempo que Caio ficou com o dinheiro. Do referido problema podemos calcular a taxa de juros da operação.
|
= 0,036 ou 3,6% a.t. |
Veja que a taxa de juros está ao trimestre. No exemplo, Caio permaneceu com o dinheiro por três meses. Neste caso dividimos o valor da taxa encontrada por 3 → 0,036 ÷ 3 = 0,012. Portanto, a taxa de juros mensal da aplicação foi de 1,2% a.m.
Para entendermos o conceito de Juros Simples, vamos analisar a situação onde um capital de R$3.000,00 é aplicado por 4 anos, a uma taxa de juros de 12% a.a. Abaixo foi montada uma tabela que apresenta as correções financeiras ano a ano.
| Período | Capital | Juros | Montante |
|---|---|---|---|
| 0 | 3.000,00 | – | 3.000,00 |
| 1 | 3.000,00 | 360,00 | 3.360,00 |
| 2 | 3.000,00 | 360,00 | 3.720,00 |
| 3 | 3.000,00 | 360,00 | 4.080,00 |
| 4 | 3.000,00 | 360,00 | 4.440,00 |
Note duas coisas importantes que permanecem fixas na tabela acima. Tanto o capital quanto o valor dos juros não muda. Permanecem fixos durante todo o período da operação. No regime de capitalização de Juros Simples os juros são calculados sempre sobre o capital inicial, que neste caso vale R$ 3.000,00.
As situações problema envolvendo Juros Simples podem ser modeladas através da fórmula:
Sendo:
J = Juros
C = Capital
i = Taxa de juro
n = O tempo de aplicação
Resolvendo o problema anterior usando a fórmula ficaria assim:
J = C • i • n
J = 3.000 • 0,12 • 4
J = 1.440
Portanto, após 4 anos o capital aplicado gerou R$1.440,00 de juros. É equivalente a soma dos valores da coluna Juros na tabela acima ou 4 x 360. Ao final dos 4 anos o aplicador retirou a importância de R$ 4.440,00. Este valor é o resultado da soma (3.000 + 1.440), ou seja, (capital + juros).
Logo, temos que:
Sendo:
M = Montante
C = Capital
J = Juros
Da fórmula dos Juros Simples obtemos que J = C • i • n. Portanto, podemos escrever:
M = C + C • i • n
Colocando C em evidência vem:
Exemplo 1
Qual o rendimento de uma aplicação de R$ 50.000,00 durante 3 anos à taxa de 6% a.t.?
Vamos anotar os dados do problema.
J = ?
C = 50.000
i = 6% a.t.
n = 3 anos
Note que a taxa i e o período n estão em unidades diferentes. Quando formos realizar os cálculos a taxa e o período deverão estar na mesma unidade.
1 ano possui 4 trimestres, logo 3 anos possui 12 trimestres.
Aplicando a fórmula, vem:
J = C • i • n
J = 50.000 • 0,06 • 12
J = 36.000
Portanto, o rendimento da aplicação é de R$ 36.000,00.
Exemplo 2
Duas pessoas têm juntas R$ 261.640,00 e empregam o que têm à taxa de 40% ao ano. Após 2 anos, a primeira recebe R$ 69.738,00 de juro a mais que a segunda. Qual o capital de cada uma?
Vamos anotar os dados do problema.
CA = Capital da pessoa A
CB = Capital da pessoa B
CT = Capital Total (CA + CB = R$ 261.640,00)
i = 40% a.a.
n = 2 anos
JT = CT • i • n
JT = 261.640 • 0,4 • 2
JT = 209.312
Do problema obtivemos a informação de que a pessoa A recebeu R$ 69.738,00 de juro a mais que a segunda.
JA + JB = 209.312
(JB + 69.738) + JB = 209.312
2 • JB + 69.738 = 209.312
2 • JB = 139.574
JB = 139.574 ÷ 2
JB = 69.787
Como JA = JB + 69.738
JA = 69.787 + 69.738 = 139.525
Temos então:
JA = 139.525
JB = 69.787
Agora vamos calcular o capital sobre esses juros.
JA = CA • i • n
139.525 = CA • 0,4 • 2
CA = 139.525 ÷ 0,8
CA = 174.406,25
Portanto, o capital investido por A foi de R$ 174.406,25.
JB = CB • i • n
69.787 = CB • 0,4 • 2
CB = 69.787 ÷ 0,8
CB = 87.233,75
Portanto, o capital investido por B foi de R$ 87.233,75.
Somando estes dois capitais 174.406,25 + 87.233,75 chegamos a 261.640.
Taxas Proporcionais
Duas taxas são ditas proporcionais quando formam uma proporção com os períodos a elas referidos. Lembre-se de que os períodos deverão estar na mesma unidade.
|
= |
|
Exemplo 1
Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano.
Dados do problema:
i1 = 30% ao ano
i2 = x% ao mês
n1 = (1 ano) 12 meses
n2 = 1 mês
Agora montamos a proporção.
|
= |
|
|
= |
|
Multiplicando cruzado fica:
12x = 30
x = 30 ÷ 12
x = 2,5
Portanto, 30% a.a. é proporcional a 2,5% a.m.
Exemplo 2
Calcule a taxa anual proporcional a 8% ao trimestre.
Dados do problema:
i1 = 8% ao trimestre
i2 = x% ao ano
n1 = 1 trimestre
n2 = 4 trimestres
Agora montamos a proporção.
|
= |
|
|
= |
|
Multiplicando cruzado fica:
x = 8 • 4
x = 32
Portanto, 8% a.t. é proporcional a 32% a.a.
Exemplo 3
Calcule a taxa mensal proporcional a 0,08% ao dia.
Dados do problema:
i1 = 0,08% ao dia
i2 = x% ao mês
n1 = 1 dia
n2 = 30 dias
Agora montamos a proporção.
|
= |
|
|
= |
|
Multiplicando cruzado fica:
x = 0,08 • 30
x = 2,4
Portanto, 0,08% a.d. é proporcional a 2,4% a.m.
Taxas equivalentes
Para entendermos o conceito de taxas equivalentes vamos ver um exemplo.
Veja o valor de juros produzidos por um capital de R$ 2.000,00:
• aplicado à uma taxa de 4%a.m., durante 6 meses;
J = C • i • n
J = 2.000 • 0,04 • 6
J = 480
• aplicado à uma taxa e 12%a.t., durante 2 trimestres.
J = C • i • n
J = 2.000 • 0,12 • 2
J = 480
Veja que o valor dos juros é o mesmo. Portanto, podemos dizer que duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo período, produzem o mesmo juro.
Logo, podemos dizer que 4% a.m. é equivalente a 12% a.t.
No regime de juros simples duas taxas equivalentes são proporcionais.
Juros simples exatos
Nessa modalidade o juro é calculado levando-se em conta os seguintes critérios:
• O prazo é contato em dias;
• O mês = número real de dias conforme o calendário;
• O ano civil possui 365 dias ou 366 quando for bissexto.
Como obter o número exato de dias entre duas datas?
1° – podemos contar diretamente num calendário.
2° – podemos considerar o número exato de dias de cada mês.
31 dias: janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro.
30 dias: abril, junho, setembro, novembro.
28 ou 29 dias: fevereiro.
Quantos dias há entre 15/06/2020 a 21/08/2020?
Vamos dividir esta tarefa em etapas:
15/06/2020 a 15/07/2020 → 30 dias
15/07/2020 a 15/08/2020 → 31 dias
15/08/2020 a 21/08/2020 → 6 dias
Logo:
15 de junho a 21 de agosto: 30 + 31 + 6 = 67 dias
3º – pelo uso da tabela para contagem de dias (acesse aqui).
Quantos dias há entre 15/06/2020 a 21/08/2020?
Primeiro localizamos a interseção entre a linha 21 e a coluna agosto. Anotamos o número encontrado (233).
Segundo localizamos a interseção entre a linha 15 e a coluna junho. Anotamos o número encontrado (166).
Agora subtraimos: 233 – 166 = 67 dias
Exemplo 1
Um empréstimo de R$ 8.500,00 foi realizado em 20/07 e pago em 25/11 do mesmo ano. Sabendo que a taxa foi de 45% ao ano, qual o juro total a ser pago?
Dados do problema:
Capital: 8.500,00
Taxa: 45%(0,45) a.a.
Período: 20/07 a 25/11 (329 – 201 = 128 dias)
Consulta realizada na tabela de contagem de dias.
Note que o período está em dias e a taxa em ano. Devemos ter ambos na mesma unidade. Vamos obter a taxa ao dia.
|
= |
|
Logo, a taxa será 0,45 ÷ 360 = 0,00125.
Aplicando a fórmula dos juros simples, vem:
J = C • i • n
J = 8.500 • 0,00125 • 128
J = 1.360,00
Portanto, o juro a ser pago é de R$ 1.360,00.
Exemplo 2
Encontre os juros simples auferidos em uma aplicação de R$ 15.000,00 a uma taxa de 16% a.a., de 20 de abril de 2003 a 1º de julho de 2003.
Dados do problema:
Capital: 15.000,00
Taxa: 16%(0,16) a.a.
Período: 20/03 a 01/07 (182 – 110 = 72 dias)
Consulta realizada na tabela de contagem de dias.
Novamente percebemos que a taxa está em ano e o período em dias. Devemos ter ambas na mesma unidade.
|
= |
|
A taxa diária será 0,16 ÷ 365. Este valor é um pouco grande e será omitido aqui.
Aplicando a fórmula dos juros simples, vem:
J = C • i • n
J = 15.000 • (0,16 ÷ 365) • 72
J = 473,42
Portanto, o juro auferido é de R$ 473,42.
Exemplo 3
A que taxa mensal deve estar aplicada a quantia de R$ 66.000,00 para que, em 3 meses e 10 dias, renda um juro de R$ 11.000,00?
Dados do problema:
Capital: 66.000,00
Taxa: x% a.m.
Período: 3 meses e 10 dias
Juro: 11.000,00
O problema pede a taxa mensal. Temos o período fracionário. Devemos tornar todo o período como mensal.
3 meses inteiros + (10 dias ÷ 30 dias)
| 3 + |
|
| 3 + |
|
meses |
Pronto, agora é só aplicar a fórmula dos juros simples.
J = C • i • n
11.000 = 66.000 • i • (3 + 1/3)
11 = 66i(3 + 1/3)
11 = 198i + 22i
11 = 220i
i = 0,05
Portanto, a taxa é de 5% a.m.
Juros simples comercial
Esta modalidade é bastante simples. Aqui consideramos o mês com 30 dias e o ano civil com 360 dias. Simples assim.
Exemplo 1
Qual o juro simples comercial de uma aplicação de R$66.000,00 durante 1 ano e 2 meses à taxa de 2,2% a.m.?
Dados do problema:
Capital: 66.000,00
Taxa: 2,2% a.m.
Período: 1 ano e 2 meses
Juro: ?
J = C • i • n
J = 66.000 • 0,022 • 14
J = 20.328
Logo, o valor do juro procurado é R$ 20.328,00.
Exemplo 2
Qual o valor do capital que aplicado durante 1 ano e 3 meses à taxa de 3%a.m., rendeu R$900,00?
Dados do problema:
Capital: ?
Taxa: 3% a.m.
Período: 1 ano e 3 meses
Juro: 900,00
J = C • i • n
900 = C • 0,03 • 15
C = 900 ÷ 0,45
C = 2000
Portanto, o valor do capital é R$ 2.000,00.
Exemplo 3
Sabendo que um capital foi duplicado em 8 anos a juro simples, a que taxa foi empregado esse capital?
Vamos simular a aplicação através da tabela abaixo:
| n | C | i | J | M |
|---|---|---|---|---|
| 1 | C | i | 0 | C |
| 2 | C | i | J | C + J |
| … | … | … | … | … |
| 8 | C | i | J | 2C |
No início da aplicação não incorrem juros, portanto o montante é igual ao capital. Após 1 ano já passam a incorrer juros e o montante no final de 1 ano de aplicação é igual ao capital adicionado aos juros (M = C + J). No final da aplicação, ou seja, 8 anos depois o capital foi duplicado (2C).
M = C + J
2C = C + (C • i • n)
2C = C(1 + i • n)
Note que temos a variável C em ambos os lado da equação e podemos eliminá-la.
2 = (1 + i • n)
2 – 1 = i • n
1 = i • n
1 = i • 8
i = 1 ÷ 8 → 0,125 ou 12,5%a.a.
Portanto, o capital foi empregado a uma taxa de 12,5% a.a.
Desconto simples
Imagine a seguinte situação:
Rogério possui uma dívida de valor N a ser quitada daqui n meses. No entanto, um mês antes do vencimento,
ele decide quitar a dívida. No ato do pagamento Rogério pagará um valor inferior a N, um valor V. Por efetuar o
pagamento da dívida antes e seu vencimento, o devedor se beneficia de um abatimento correspondente ao juro que seria
gerado por esse dinheiro durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento.
Esse benefício recebe o nome de Desconto.
Acompanhe o significados das letras na situação-problema acima:
N: Valor nominal ou valor de face (valor da dívida na data de vencimento)
V: Valor atual (valor líquido pago ou recebido antes do vencimento)
n: período entre o dia em que se negocia a dívida e o de seu vencimento
i: apesar de não informada na situação-problema as operações de desconto ocorrem com base numa taxa de desconto
Vimos anteriormente que um determinado capital C aplicado por determinado tempo a uma taxa de juros específica
produzirá um montante M. Note que se um capital C for aplicado “hoje” a uma determinada taxa quanto terei de
montante no futuro? Realizar o processo inverso é obter o desconto. Quanto pagarei hoje ao descontar um título (dívida)
que vencerá daqui n períodos?
De acordo com Antônio Arnot Crespo – Matemática financeira fácil (2009, p.103):
Com relação aos títulos de crédito pode ocorrer:
• que o devedor efetue o pagamento antes do dia predeterminado.(…)
• que o credor necessite do seu dinheiro antes da data predeterminada. Neste caso, ele pode vender o título de crédito a
um terceiro e é justo que este último obtenha um lucro, correspondente ao juro do capital que adianta, no intervalo de
tempo que falta para o devedor liquidar o pagamento; assim ele paga uma quantia menor que a fixada no título de crédito.
Desconto simples comercial, bancário ou por fora
O desconto simples por fora é calculado sobre o valor nominal do título, ou seja, o valor futuro.
período que falta para o vencimento do título.
Exemplos
1) Um título de crédito com valor nominal de R$ 15.000,00 será descontada 4 meses antes de
seu vencimento, à taxa de desconto comercial simples de 60% a.a. Determine:
a) O valor do desconto
b) O valor descontado do título
Dados do problema:
N = R$ 15.000,00
n = 4 meses → 4/12 ano
i = 60% a.a.
d = ?
A = ?
a) o valor do desconto:
d = N * i * n
d = 15000 * 0,6 * 4/12
d = 3000
Portanto, o desconto será de R$ 3.000,00.
b) o valor descontado:
A = N – d
A = 15000 – 3000 = 12000
Portanto, o valor que o proprietário do título receberá será de R$ 12.000,00.
2) Uma nota promissória com valor nominal de R$ 20.000,00 foi descontada 5 meses antes do
vencimento. Sabendo-se que o valor descontado foi de R$ 16.000,00, determine a taxa de desconto bancário
simples adotada na operação.
Dados do problema:
N = R$ 20.000,00
n = 5 meses
A = R$ 16.000,00
i = ?
A = N(1 – in)
16000 = 20000(1 – i*5)
16000 = 20.000 – 100.000i
-4000 = -100.000i
| i | = |
|
= | 4% a.m. |
Logo, a taxa de desconto aplicada na operação foi de 4% a.m.
3) Um título de crédito com valor de resgate igual a R$ 25.000,00 foi descontado à taxa de desconto simples por fora de 8% a.m. Se o valor descontado foi de R$ 18.000,00, determine o tempo que faltava para o vencimento do título.
Dados do problema:
N = R$ 25.000,00
A = 18.000,00
i = 8% a.m.
n = ?
A = N(1 – in)
18000 = 25.000(1 – 0,08n)
18.000 = 25.000 – 2.000n
-7.000 = -2.000n
| n | = |
|
= | 3,5 meses ou 3 meses e 15 dias |
Desconto simples racional ou por dentro
O desconto simples por dentro é calculado sobre o valor atual do título, ou seja, o valor resgatado antes do vencimento.
período que falta para o vencimento do título.
A = N – A * i * n
A + A * i * n = N
A(1 + in) = N
| A | = |
|
Como d = A * i * n
| d | = |
|
Exemplos
1) Um título com valor nominal de R$ 20.000,00 é descontado 6 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto racional simples de 120% a.a. Determine o valor do desconto e o valor descontado do título.
Dados do problema:
N = R$ 20.000,00
n = 6 meses
i = 120% a.a. ou 120 / 12 = 10% a.m.
d = ?
A = ?
| A | = |
|
| A | = |
|
= |
|
A = 12.500
Portanto, o valor descontado do título foi de R$ 12.500,00.
O valor do desconto será d = N – A → d = 20.000 – 12.500 = 7.500.
2) O valor do desconto de uma nota promissória é de R$ 15.000,00. Sabendo-se que foi utilizado o desconto racional simples, à taxa de 8% a.m., 120 dias antes do vencimento do título, determine o seu valor nominal.
Dados do problema:
d = R$ 15.000,00
i = 8% a.m.
n = 120 dias ou 4 meses
N = ?
| d | = |
|
| 15.000 | = |
|
||
| 15.000 | = |
|
19.800 = 0,32N
N = 61.875
Logo, o valor nominal do título é de R$ 61.875,00.
3) Um duplicata foi submetida a desconto simples por dentro 5 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que o valor atual corresponde ao triplo do valor do desconto, determine a taxa de desconto aplicada.
Dados do problema:
n = 5 meses
A = 3d
i = ?
d = N – A
d = N – 3d
N = 4d
| d | = |
|
| d | = |
|
d(1 + in) = 4din
1 + in = 4in
1 = 3in
i = 1/3n
i = 1/15 ou 0,0667
Portanto, a taxa de desconto aplicada foi de aproximadamente 6,67% a.m.
d F = N * i * n
| d D | = |
|
| d D | = |
|
d F = d D(1 + in)
Taxa efetiva de desconto
Para entendermos o que é taxa efetiva de desconto a juros simples veja a situação abaixo:
- Antônio possui um título de crédito no valor de $10.000,00 com vencimento para daqui 2 meses.
- Antônio decide descontar o título em um banco. Nessa transação foi utilizada uma taxa de desconto comercial simples de 10% a.m.
- Nessa transação Antônio receberá $8.000,00.
- Do ponto de vista do banco, este fez uma aplicação de $8.000,00 para receber após 2 meses um montante de $10.000,00.
- J = c*i*n → 2.000 = 8.000*i*2 → i = 12,5% a.m.
- ie = 12,5% a.m. é a taxa efetiva de ganho do banco.
Quando não há despesas envolvidas na operação:
- No desconto comercial simples, a taxa de desconto efetiva linear sempre será maior do que à taxa de desconto simples.
- No desconto racional simples, a taxa de desconto efetiva linear será sempre igual à taxa de desconto simples.
Exemplos
1) Um título com valor nominal de $25.000,00 foi descontado 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto simples por fora de 5% a.m. Calcular o valor atual do título, o valor atual líquido e a taxa de ganho efetiva linear do banco, sabendo-se que este cobra uma taxa de serviço bancário igual a 1% do valor nominal do título.
Dados do problema:
N = $25.000,00
n = 4 meses
i = 5% a.m.
A = ?
Al = ?
ie = ?
Despesas bancárias: 1% do valor nominal do título
A = N(1 – in)
A = 25.000(1 – 0,05*4)
A = 20.000
Porém o banco cobra uma taxa de 1% sobre o valor nominal do título, portanto o valor que o cliente irá receber será:
Al = 20.000 – 0,01 * 25.000 = 19.750
Para encontrarmos a taxa efetiva de ganho do banco devemos olhar do ponto de vista do banco. Este realizou uma aplicação de $19.750.
J = c * i * n
25.000 – 19.750 = 19.750 * ie * 4
5.250 = 19.750 * ie * 4
ie = 6,65% a.m.
2) Um título com valor nominal de $20.000,00 foi descontado 3 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto bancário simples de 5% a.m. Sabendo-se que o banco cobra, a título de despesas administrativas, o valor fixo de $100,00 para cada título descontado, pergunta-se: qual o valor atual do título, o valor atual líquido e a taxa de desconto efetiva linear?
Dados do problema:
N = $20.000
n = 3 meses
i = 5% a.m.
despesas bancárias: $100 por título descontado
A = ?
Al = ?
ie = ?
A = N(1 – in)
A = 20.000(1 – 0,05*3)
A = 17.000
O valor atual líquido leva em consideração a despesa administrativa cobrada pelo banco.
Al = 17.000 – 100 = 16.900
J = C * i * n
20.000 – 16.900 = 16.900 * ie * 3
3.100 = 50.700*ie
ie = 6,11% a.m.
Juros compostos
Para entendermos o conceito de Juros compostos, vamos analisar a situação onde um capital de R$3.000,00 é aplicado por 4 anos, a uma taxa de juros de 12% a.a.
Após o 1º ano
Quanto rendeu de juro?
J = C • i • n
O valor de n será sempre igual a 1, pois estamos calculando ano a ano. Portanto, podemos considerar a fórmula como J = C • i.
J = 3000 • 0,12 = 360
Qual o valor do montante?
M = C + J
M = 3000 + 360 = 3.360
Após o 2º ano
Quanto rendeu de juro?
Nesse momento o capital não será mais de R$3.000,00, mas o montante de R$ 3.360,00. Esse será meu novo capital.
J = 3.360 • 0,12 = 403,20
Qual o valor do montante?
M = C + J
M = 3.360 + 403,20 = 3.763,20
Após o 3º ano
Quanto rendeu de juro?
Da mesma forma que ocorreu no período anterior o capital neste momento será o montante do período anterior, ou seja, R$ 3.763,20.
J = 3.763,20 • 0,12 = 451,58
Qual o valor do montante?
M = C + J
M = 3.763,20 + 451,58 = 4.214,78
Após o 4º ano
Quanto rendeu de juro?
Obedecendo ao padrão anterior escrevemos:
J = 4.214,78 • 0,12 = 505,77
Qual o valor do montante?
M = C + J
M = 4.214,78 + 505,77 = 4.720,56
Veja o esquema da aplicação representado na tabela abaixo:
| Período | Capital | Juros | Montante |
|---|---|---|---|
| 0 | 3.000,00 | – | 3.000,00 |
| 1 | 3.000,00 | 360,00 | 3.360,00 |
| 2 | 3.360,00 | 403,20 | 3.763,20 |
| 3 | 3.763,20 | 451,58 | 4.214,78 |
| 4 | 4.214,78 | 505,77 | 4.720,56 |
Perceba que neste regime de capitalização, o juro a partir do segundo período é calculado sobre o montante do período anterior.
Juro composto é aquele em que cada período de aplicação, a partir do segundo, é calculado sobre o montante do período anterior.
Você pôde notar no exemplo anterior que se torna trabalhoso executar todos aqueles passos. Por isso, vamos deduzir uma fórmula com o finalidade de agilizar os cálculos.
1º Período
J1 = C • i
M1 = C + J1 = C + C • i = C(1 + i)
2º Período
J2 = M1 • i =
M2 = M1 + J2 = M1 + M1 • i = M1(1 + i)
Do 1° período temos que M1 = C(1 + i)
M2 = C(1 + i)(1 + i) = C(1 + i)²
3º Período
J3 = M2 • i =
M3 = M2 + J3 = M2 + M2 • i = M2(1 + i)
Do 2° período temos que M2 = C(1 + i)²
M3 = C(1 + i)²(1 + i) = C(1 + i)³
Portanto, ao repetirmos o processo para n períodos temos:
Sendo:
M = Montante
C = Capital
i = Taxa de juro
n = O tempo de aplicação
Resolvendo o problema anterior usando a fórmula ficaria assim:
M = C(1 + i)n
M = 3.000(1 + 0,12)4
M = 4.720,56
Com a fórmula deduzida ficou fácil, né?
Exemplo 1
Calcule o capital que, no prazo de 5 meses, a 3% ao mês, produziu o montante de R$ 4.058,00.
Dados do problema:
Capital: ?
Taxa: 3% a.m.
Período: 5 meses
Montante: 4.058
Aplicando a fórmula temos:
M = C(1 + i)n
4.058 = C(1 + 0,03)5
| C | = |
|
= | 3.500 |
Logo, o capital procurado é de R$3.500,00.
Exemplo 2
A que taxa mensal de juros compostos, um capital de R$12.500,00 pode transformar-se em R$15.373,42, no período de 7 meses?
Dados do problema:
Capital: 12.500
Taxa: x% a.m.
Período: 7 meses
Montante: 15.373,42
Aplicando a fórmula temos:
M = C(1 + i)n
15.373,42 = 12.500(1 + i)7
|
= | (1 + i)7 |
(1.2298736)1/7 = 1 + i
i = 1.029999968 – 1
i = 0,029999968 → ≅ 0,03 ou 3% a.m.
Exemplo 3
Em que prazo um empréstimo de R$ 35.000,00 pode ser pago pela quantia de R$47.900,00, se a taxa de juros cobrada for de 4%a.m.?
Dados do problema:
Capital: 35.000
Taxa: 4% a.m.
Período: x meses
Montante: 47.900
Aplicando a fórmula temos:
M = C(1 + i)n
47.900 = 35.000(1 + 0,04)n
|
= | (1,04)n |
Para encontrarmos o valor de n faremos uso dos logaritmos.
ln(47.900/35.000) = ln(1,04)n
ln(47.900/35.000) = n • ln(1,04)
| n | = |
|
= | 8 |
Portanto, o prazo para o empréstimo ser pago é de 8 meses.
Exemplo 4
Quanto Fabrício deve aplicar hoje, a juros compostos, em uma instituição financeira que paga uma taxa de 1,2% a.m., para pagar uma dívida de R$38.000,00 que vence daqui a 3 meses?
Fabrício possui uma dívida no valor de R$38.000,00 que vence daqui a 3 meses. Visto que, ele não possui este dinheiro ele quer saber quanto deve aplicar agora para daqui 3 meses ter como pagar esta dívida.
Portanto, qual o capital que aplicado a uma taxa de 1,2%a.m. durante 3 meses produz um montante de R$38.000,00? Veja como a situação que acabamos de montar resolve o problema do Fabrício.
Dados do problema:
Capital: C
Taxa: 1,2% a.m.
Período: 3 meses
Montante: 38.000
M = C(1 + i)n
38.000 = C(1 + 0,012)3
38.000 = C(1,012)3
C = 38.000 ÷ (1,012)3
C = 36.664,19
Portanto, Fabrício deverá depositar hoje o valor de R$36.664,19 para daqui 3 meses pagar sua dívida.
Taxas equivalentes
Do regime de Juros simples, vimos que duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo período, produzem o mesmo juro. No caso do regime de Juros compostos, duas taxas serão equivalentes quando produzirem o mesmo montante se aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo período.
Vamos deduzir a fórmula abaixo:
M1 = C(1 + i1)n1
M2 = C(1 + i2)n2
Se a taxa i1 for equivalente a i2, então M1 = M2
C(1 + i1)n1 = C(1 + i2)n2
(1 + i1)n1 = (1 + i2)n2
(1 + i1) = (1 + i2)n2/n1
i1 = (1 + i2)n2/n1 – 1
Onde:
id = taxa diária
im = taxa mensal
it = taxa trimestral
iq = taxa quadrimestral
is = taxa semestral
ia = taxa anual
Exemplo 1
Qual é a taxa trimestral equivalente a 30% ao ano?
1 + ia = (1 + it)4
1 + 0,3 = (1 + it)4
(1,3)1/4 = 1 + it
it = (1,3)1/4 – 1
it = 0.067789972 → 6,78% a.t.
Exemplo 2
Calcule a taxa quadrimestral equivalente à taxa de juros compostos de 8% ao ano.
1 + ia = (1 + iq)3
1 + 0,08 = (1 + iq)3
(1,08)1/3 = 1 + iq
iq = (1,08)1/3 – 1
iq = 0.025985568 → 2,6% a.q.
Exemplo 3
O capital de R$ 9.200,00 foi colocado em regime de capitalização composta durante 1 ano e 9 meses, à taxa de 36% ao ano. Qual o montante?
Dados do problema:
C = 9.200
i = 36% a.a.
n = 1 ano e 9 meses = 21 meses
M = ?
Note que a taxa está ao ano e o período em meses. Devemos ter ambos na mesma unidade de tempo. Portanto, qual é a taxa mensal equivalente a 36% a.a.?
1 + ia = (1 + im)12
1 + 0,36 = (1 + im)12
(1,36)1/12 = 1 + im
im = (1,36)1/12 – 1
im = 0,025954834 → 2,59% a.m.
Agora aplicamos a fórmula fundamental do montante.
M = C(1 + i)n
M = 9.200(1 + 0,025954834)21
M = 15.757,30
Ao final do período o montante será de R$ 15.757,30.
Taxa nominal e taxa efetiva
A taxa nominal é aquela cujo período de capitalização (quando o juros são incorporados ao principal) não coincide com aquele a que ela se refere.
Veja alguns exemplos:
Taxa nominal de 48% ao ano capitalizada mensalmente.
Juros de 36% ao ano capitalizados semestralmente.
Taxa de 6%a.t. capitalizada mensalmente.
Nos três casos acima, o período da taxa é diferente do período de capitalização. Por exemplo: a taxa de 48%a.a. ao invés de ser capitalizada um só vez por ano, será capitalizada 12 vezes, ou seja, a cada mês os juros serão incorporados ao capital. Da mesma forma, a taxa de 6%a.t. será capitalizada três vezes no período informado e não apenas uma vez após 3 meses.
Por convenção, a taxa por período de capitalização é proporcional à taxa nominal.
Na taxa efetiva o período de capitalização é igual ao período informado pela taxa. E é esta a taxa cobrada nas transações financeiras. Além disso ela é maior do que a taxa nominal. Para melhorar sua compreensão vamos analisar o seguinte cenário:
Uma empresa adquiriu um empréstimo de R$ 30.000,00 a ser quitado em um único pagamento de R$ 38.000,00 daqui um mês. No ato da contratação foi paga uma taxa de serviço de 5% sobre o valor do empréstimo.
Note duas coisas que ficam evidentes: primeiro o valor de R$ 30.000,00 tomado emprestado e, segundo, a taxa de 5% cobrada.
M = C(1 + i)n
38.000 = 30.000(1 + i) → como o período é de um mês, logo n = 1.
(38 ÷ 30) – 1 = i
i = 26,67% a.m. → taxa nominal mensal
Agora note como valor da taxa muda quando acrescentamos a taxa de serviço cobrada pela instituição financeira.
Valor realmente contratado = 30.000 – (0,05 • 30.000) = 28.500
M = C(1 + i)n
38.000 = 28.500(1 + i)
(380 ÷ 285) – 1 = i
i = 33,33% a.m. → taxa efetiva mensal
Portanto, a taxa efetiva é aquela calculada sobre o valor efetivamente aplicado ou tomado emprestado.
Exemplo 1
Qual é o valor de resgate de um capital de R$ 200 aplicado pelos seguintes prazos e taxas:
a) 27 dias a 9% a.m. capitalizados diariamente?
b) 6 meses a 28% a.a. capitalizados mensalmente?
a) 27 dias a 9% a.m. capitalizados diariamente?
Dados do problema:
C = 200
i = 9% a.m./a.d
n = 27 dias
M = ?
Devemos ter taxa i e período n na mesma unidade de tempo. Vamos encontrar o valor da taxa diária.
i = 0,09 ÷ 30 = 0,003 a.d.
M = C(1 + i)n
M = 200(1 + 0,003)27
M = 216,85
b) 6 meses a 28% a.a. capitalizados mensalmente?
Dados do problema:
C = 200
i = 28% a.a./a.m
n = 6 meses
M = ?
Devemos ter taxa i e período n na mesma unidade de tempo. Vamos encontrar o valor da taxa mensal.
i = 0,28 ÷ 12 = 0,0233333… a.m.
M = C(1 + i)n
M = 200(1 + 0,023333…)6
M = 229,69
Convenção exponencial e linear
Imagine a seguinte situação:
Josué investiu R$.2000,00 a juros compostos durante 4 meses e 15 dias a uma taxa de 6% a.m. Qual o montante após este período?
Vamos recolher os dados do problema:
Capital = 2.000
Período = 4 meses e 15 dias
Taxa de juros = 6% a.m.
Montante = ?
Note que o período financeiro não é inteiro. Neste caso admitem-se duas alternativas de cálculo: convenção exponencial e convenção linear.
Convenção exponencial
Nesta modalidade, o montante é calculado a juros compostos durante todo o período (parte inteira + fracionária).
Onde n reprenta a parte inteira do período e p/q a parte fracionária.
Convenção linear
Nesta modalidade, o montante é calculado a juros compostos durante a parte inteira do período e a juros simples durante o período fracionário.
Onde n reprenta a parte inteira do período e p/q a parte fracionária.
Exemplo 1
Josué investiu R$.2000,00 a juros compostos durante 4 meses e 15 dias a uma taxa de 6% a.m. Qual o montante pelas convenções exponencial e linear?
Dados do problema:
Capital = 2.000
Período = 4 meses e 15 dias
Taxa de juros = 6% a.m.
Montante = ?
Pela convenção exponencial
M = C(1 + i)n + p/q
M = 2.000(1 + 0,06)4 + 15/30
M = 2.000(1 + 0,06)4 + 1/2
M = 2.000(1 + 0,06)9/2
M = 2.599,60
Um outra maneira de resolver (não usando as convenções) seria tornar todo o período em dias e transformar a taxa mensal para diária.
Dados do problema:
Capital = 2.000
Período = 4 meses e 15 dias → 120 dias + 15 dias = 135 dias
Taxa de juros = 6% a.m.
→ (1 + id)360 = (1 + im)12
→ (1 + id)360 = (1 + 0,06)12
→ id = (1,06)12/360 – 1
→ id = (1,06)1/30 – 1
Montante = ?
M = C(1 + i)n
M = 2.000(1 + (1,06)1/30)135
M = 2.599,60
Exemplo 2
Qual será o montante de R$ 3.000,00, a juros compostos de 47% a.a., em 4 anos e 3 meses pela convenção exponencial?
Dados do problema:
Capital = 3.000
Período = 4 ano e 3 meses
Taxa de juros = 47% a.a.
Montante = ?
M = C(1 + i)n + p/q
M = 3.000(1 + 0,47)4 + 3/12
M = 3.000(1 + 0,47)4 + 1/4
M = 3.000(1 + 0,47)17/4
M = 15.424,81
Exemplo 3
Para um capital de R$25.000,00, aplicado durante 77 dias a juros de 5% a.m., calcular o montante utilizando as convenções linear e exponencial.
Dados do problema:
Capital = 25.000
Período = 77 dias → 2 meses e 17 dias
Taxa de juros = 5% a.m.
Montante = ?
Pela convenção exponencial
M = C(1 + i)n + p/q
M = 25.000(1 + 0,05)2 + 17/30
M = 25.000(1 + 0,05)77/30
M = 28.335,17
Pela convenção linear
M = C(1 + i)n • (1 + p/qi)
M = 25.000(1 + 0,05)2 • (1 + 17/30(0,05))
M = 28.343,44
Taxa real e taxa aparente
Vamos analisar o rendimento de um capital C em alguns cenários hipotéticos.
• Com um taxa de inflação nula e uma taxa de juros ir o capital C inicial se transformará, ao final de um período, em : C(1 + ir)
• Com uma taxa de inflação I, o capital C inicial, ao final de um período, equivalerá a: C(1 + I)
• Com uma taxa de juros ir e uma taxa de inflação I, simultaneamente, o capital C inicial equivalerá a: C(1 + ir)(1 + I)
• Com uma taxa aparente i, o capital C inicial se transformará, ao final dde um período, em: C(1 + i)
A taxa aparente é aquela que vigora nas operações correntes e é formada por dois componentes: um correspondente à inflação e outro correspondente ao juro real. Portanto:
C(1 + i) = C(1 + ir)(1 + I)
Onde:
i = taxa aparente
ir = taxa real
I = taxa de inflação
Descontos
Imagine a seguinte situação:
Rogério possui uma dívida de valor N a ser quitada daqui n meses. No entanto, um mês antes do vencimento, ele decide quitar a dívida. No ato do pagamento Rogério pagará um valor inferior a N, um valor V. Por efetuar o pagamento da dívida antes e seu vencimento, o devedor se beneficia de um abatimento correspondente ao juro que seria gerado por esse dinheiro durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento.
Esse benefício recebe o nome de Desconto.
Acompanhe o significados das letras na situação-problema acima:
N: Valor nominal ou valor de face (valor da dívida na data de vencimento)
V: Valor atual (valor líquido pago ou recebido antes do vencimento)
n: período entre o dia em que se negocia a dívida e o de seu vencimento
i: apesar de não informada na situação-problema as operações de desconto ocorrem com base numa taxa de desconto
Vimos anteriormente que um determinado capital C aplicado por determinado tempo a uma taxa de juros específica produzirá um montante M. Note, seu um capital C for aplicado “hoje” a uma determinada taxa quanto terei de montante no futuro? Realizar o processo inverso é obter o desconto. Quanto pagarei hoje ao descontar um título (dívida) que vencerá daqui n períodos?
De acordo com Antônio Arnot Crespo – Matemática financeira fácil (2009, p.103):
Com relação aos títulos de crédito pode ocorrer:
• que o devedor efetue o pagamento antes do dia predeterminado.(…)
• que o credor necessite do seu dinheiro antes da data predeterminada. Neste caso, ele pode vender o título de crédito a um terceiro e é justo que este último obtenha um lucro, correspondente ao juro do capital que adianta, no intervalo de tempo que falta para o devedor liquidar o pagamento; assim ele paga uma quantia menor que a fixada no título de crédito.