Livro de Matemática

Sumário

Funções secante e cossecante

Função secante e cossecante

Inicialmente, traçamos um arco AP e no ponto P uma reta tangenciando o ciclo trigonométrico. Note que a reta intercepta o eixo dos senos no ponto D e o eixo dos cossenos no ponto S. Chamamos de secante do arco x o segmento OS e cossecante do arco x o segmento OD. Com base na figura, criamos os seguintes quadros:

  y = sec(x)
Domínio x ∈ R | x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z
Imagem 1 ≤ sec(x) ≤ -1
Fórmula
sec(x) = 1
cos x
Período 2π

  y = cossec(x)
Domínio x ∈ R | x ≠ kπ, k ∈ Z
Imagem 1 ≤ cossec(x) ≤ -1
Fórmula
cossec(x) = 1
sen x
Período 2π

Exercícios – Trigonometria (parte I)

Exercícios de introdução para fixar o conceito teórico.
Arcos e ângulos, comprimento de arco e arcos côngruos
  1. Expresse em rad:
    a) 210º
    b) 350º
    c) 67º30′
    d) 25º20′
    e) 1/6 da medida da circunferência
    f) 2/5 da medida da circunferência

    Resposta:
    a) 7π/6 rad
    b) 35π/18 rad
    c) 3π/8 rad
    d) 19π/135 rad
    e) π/3 rad
    f) 4π/5 rad
  2. Qual é, em radianos, o ângulo descrito pelo ponteiro dos minutos de um relógio, num período de 25 minutos?

    Resposta: 5π/6 rad
  3. Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio:
    a) às 9h10min
    b) às 12h15min
    c) às 8h20min

    Resposta: a) 145º b) 82º30′ c) 130º
  4. (UFOP-MG) Um ciclista de uma prova de resistência deve percorrer 500km em torno de uma pista circular de raio 200m. Calcule o número aproximado de voltas que ele deve dar. Use π = 3,14.

    Resposta: 400 voltas
  5. Exprima em graus:
    a) π/6 rad
    b) 2π/3 rad
    c) 5π/6 rad
    d) 11π/3 rad
    e) 3π/5 rad

    Resposta:
    a) 30°
    b) 120°
    c) 150°
    d) 660°
    e) 108°
  6. Um atleta A desenvolve, numa pista circular de raio 500 m, a velocidade constante de 8 km/h. Determine, em radianos, a medida do arco descrito, bem como seu comprimento, após 15 minutos de percurso.

    Resposta: 4 rad; 2 km
  7. Escreva, em radianos, as medidas dos ângulos centrais formados na figura abaixo.

    Circunferência de raio 1,5m e arco de 1,5m

    Resposta: 1rad e (2π – 1)rad
  8. Um pêndulo de 1,2 m de comprimento oscila entre os pontos A e B através de um ângulo de 15º. Qual é o comprimento da trajetória descrita, entre A e B, pela sua extremidade?

    Resposta: 31,4 cm
  9. Qual o comprimento da chapa metálica necessário para confeccionar a peça de fixação, em forma de U, mostrada na figura? As medidas indicadas estão em centímetros. Considere π = 3,14.

    Resposta: aaaaa
  10. As duas polias da figura giram simultaneamente por estarem ligadas por uma correia inextensível. Quantos graus deve girar a menor polia para que a maior dê uma volta completa?

    Resposta: 600°
  11. Sabe-se que, em um segundo, um ponto situado na periferia de uma polia descreve um arco que subtende um ângulo central de 10π rad. Se o raio dessa polia é 1,5 m, qual será a distância percorrida por esse ponto em um segundo?

    Resposta: 47,10 m
  12. Admitindo-se ser a terra uma esfera de raio r = 6375 km, determine a distância do equador a um ponto situado a uam latitude 30° norte. Adote π = 3,14.

    Resposta: 3336,25 km
  13. O ponteiro dos minutos de um relógio de parede mede 12 cm. Quantos centímetros sua extremidade percorre durante 25 min?

    Resposta: 31,4 cm
  14. (Unicamp-SP) Um relógio foi acertado exatamente ao meio-dia. Determine as horas e os minutos que estará marcando esse relógio após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de 42°.

    Resposta: 13h24min
  15. Quantas voltas completas dá e em qual quadrante pára um móvel que, partindo da origem A dos arcos, percorre um arco de:

    a) 1875°?
    b) 2310°?
    c) 27π/4 rad?
    d) 43π/10 rad?

    Resposta: a) 5; I Q b)6; II Q c) 3; II Q d) 2; I Q
  16. Verifique se são côngruos os seguintes pares de arcos:

    a) 1850° e -670°
    b) 19π/3 e 25π/3

    Resposta: a) sim b) sim
  17. Vamos calcular os arcos menores que 4π e côngruos a 55π/6 rad.

    Resposta: 7π/6 e 19π/6
  18. Sejam os pontos X e Y mostrados no ciclo trigonométrio da figura abaixo.

    a) Quais são os números reais x e y, associados aos pontos X e Y, respectivamente, com 0 ≤ x ≤ 2π e 0 ≤ y ≤ 2π?
    b) Dê as medidas dos arcos XPY e XQY.
    c) Forneça os comprimentos dos arcos XPY e XQY.

    Resposta: a) π/6 e 5π/4 b) 195° e 165° c) 13π12 e 11π/12
Exercícios de introdução para fixar o conceito teórico.
Seno, Cosseno e Tangente
  1. Determine o valor de:

    a) sen 900°
    b) sen(-1620°)
    c) sen 13π

    d)
    sen
    π
    2
    		– sen
    π
    3
    sen
    π
    6

    e)
    sen
    π
    4
    		• sen
    4π
    3
    sen²
    5π
    6
    Resposta: a) zero b) zero c) zero d) 2 – √3 e) – √6
  2. Sabendo que x = π/6, determine o valor da expressão E = 1 – 2sen x + sen² x.

    Resposta: 1/4
  3. Dê o sinal de cada uma das expressões:

    a) sen π/5 • sen π/3 • sen 3π/5 • sen 5π/3
    b) (1 – sen x)(1 + sen x), x ∈ R
    c) sen 111° – sen 110°

    Resposta: a) negativo b) positivo ou nulo c) negativo
  4. Sendo k ∈ Z, calcule, em cada caso, o valor de sen x, com:

    a) x = (2k + 1)•π
    b) x = (2k + 1)• π/2
    c) x = π/4 + kπ
    d) x = – π/3 + 2kπ ou x = – 2π/3 + 2kπ

    Resposta: a) 0 b) ± c) ± √2 / 2 d) – √3 / 2
  5. (U.F. Pelotas-RS, adaptado)
    “Josiane Soares, de Blumenau, é a dona da marca no lançamento de dardo, com 53,1 m, estabelecida durante a primeira etapa do troféu Brasil de atletismo, encerrada neste domingo, em Curitiba. Três outros recordes do campeonato foram quebrados e uma marca sul-americana juvenil também.” (Sidney, 2000)

    (Zero Hora, 2000)


    Numa prova olímpica de lançamento de dardo, a trajetória descrita é representada graficamente por uma parábola. A distância atingida pelo dardo é dada por:

    x =
    v² • sen 2α
    g

    em que α é o ângulo de lançamento, v é a velocidade inicial, x, a distância em relação à horizontal e g, o valor da gravidade (considere g = 10 m/s²).
    Com uma velocidade de 20 m/s, qual a maior distância obtida em três lançamentos consecutivos, sabendo-se que os ângulos de lançamento foram 30°, 45° e 60°? Compare as distâncias alcançadas nos outros dois casos.

    Resposta: no 2º lançamento (x = 40 m); os outros dois ângulos de lançamento fornecem alcances iguais.
  6. Escreva a expressão geral dos arcos x para os quais temos sen x = ± √3 / 2.

    Resposta: π/3 + kπ ou 2π/3 + kπ, k ∈ Z
  7. Calcule o valor da expressão

    y =
    sen
    π
    3
    		– 2 • sen
    π
    6
    sen
    3π
    2
    		– 3 • sen
    π
    2
    Resposta:

    2 – √3
    8
  8. Obtenha os valores reais de m para que se possa ter

    sen x = 2 – m
    3
    Resposta: -1 ≤ m ≤ 5, m ∈ R
  9. Calcule o valor da expressão y = sen π + sen 2π + … + sen 15π.

    Resposta: zero
  10. Sendo f:R → R a função definida por f(x) = sen x:

    a) calcule f(3π/4)
    b) determine x tal que 0 ≤ x ≤ 2π e f(x) = 1/2.

    Resposta: a) √2/2 b) π/6 ou 5π/6

Relações fundamentais

ciclo trigonométrico representando arco x.

Dado o arco x na figura, vamos incluí-lo como parâmetro das funções:

sen(x), cos(x), tan(x), cotg(x), sec(x) e cossec(x).

De seções anteriores vimos que:

tan(x) =
sen(x)
cos(x)
cotg(x) =
1
tan(x)
sec(x) =
1
cos(x)
cossec(x) =
1
sen(x)
Nota:

Dado um número inteiro a, o seu inverso será 1/a. Ocorre também que se multiplicarmos a por 1/a obteremos 1. Isto que está sendo dito aqui terá forte ligação com o que será visto adiante.
cossec(x) • sen(x) = 1

sen²(x) + cos²(x) = 1
∀ x ∈ ℝ

Relações decorrentes

sec²(x) = tan²(x) + 1
∀ x ≠ π/2 + kπ, k ∈ ℤ
cossec²(x) = cotg²(x) + 1
∀ x ≠ π + kπ, k ∈ ℤ

Identidades trigonométricas

As identidades trigonométricas são ferramentas úteis para a simplificação de expressões e equações trigonométricas. Consideremos duas funções f(x) e g(x). As funções f e g formam uma identidade trigonométrica quando f(x) = g(x). Essa identidade é válida para qualquer valor de x, obedecendo a lei que rege o domínio de cada função.
Por exemplo:

f(x) = sen²(x)

g(x) = 1 – cos²(x)

f(x) = g(x)

sen²(x) = 1 – cos²(x) → identidade trigonométrica

A igualdade (identidade) acima é válida para qualquer x real, logo configura uma identidade trigonométrica.

Nosso objetivo com as identidades trigonométricas é provar que são verdadeiras. E elas não virão tão simples quanto o exemplo acima. Para provar uma identidade trigonométrica podemos usar um dos dois artifícios abaixo.

Vamos provar a identidade (1 + cotg²(x))(1 – cos²(x)) = 1

1º artifício:

Escolhemos o membro mais complexo da equação e o simplificamos até chegarmos ao outro membro.
No exemplo acima o membro mais complexo é (1 + cotg²(x))(1 – cos²(x)). Portanto, vamos simplificá-lo até encontrarmos 1, que é o segundo membro.

(1 + cotg²(x))(1 – cos²(x)) = 1

1 + cos²(x)
sen²(x)
• (1 – cos²(x)) = 1
sen²(x) + cos²(x)
sen²(x)
• sen²(x) = 1

Sabemos da relação fundamental I que sen²(x) + cos²(x) = 1.

1
sen²(x)
• sen²(x) = 1

1 = 1 → demonstrada a identidade

Nota:

A expressão (1 + cotg²(x))(1 – cos²(x)) pode ser escrita da forma (1 + cotg² x)(1 – cos² x), facilitando o visual.

2º artifício:

Vamos provar a identidade

tg x
1 + tg² x
=
sen x
sec x

Vamos inicialmente, atribuir cada membro a identidade a uma função.

f(x) =
tg x
1 + tg² x
g(x) =
sen x
sec x

Agora escolhemos a função mais simples e a simplificamos.

sen x
sec x
=
sen x
1
cos x
sen x
1
cos x
= sen x • cos x

Atribuimos a simplificação à função h(x).

h(x) = sen x • cos x

Agora devemos manipular a função f(x) de modo a chegar em h(x).

f(x) =
tg x
1 + tg² x
tg x
1 + tg² x
=
sen x
cos x
1 + sen² x
cos² x
sen x
cos x
1 + sen² x
cos² x
=
sen x
cos x
cos² x + sen² x
cos² x
sen x
cos x
•
cos² x
cos² x + sen² x

Já sabemos que cos² x + sen² x = 1.

Ficamos com sen x • cos x, que foi a expressão atribuída a h(x). Logo, f(x) = h(x), assim como g(x) = h(x). Finalmente, tem-se que f(x) = g(x), provando a identidade.

Exemplo 1

Demonstre a identidade trigonométrica tg²x + cos²x = sec²x – sen²x.

tg²x + cos²x = sec²x – sen²x

Como ambos os membros parecem complexos a primeira vista, vamos efetuar algumas manipulações com o objetivo de facilitar a resolução.

cos²x + sen²x = sec²x – tg²x

Agora fica fácil perceber que o membro da esquerda é mais simples, já que cos²x + sen²x = 1.

1 = sec²x – tg²x

1 =
1
cos²x
–
sen²x
cos²x
1 =
1 – sen²x
cos²x

1 – sen²x = cos²x

1 =
cos²x
cos²x

1 = 1

Identidade provada.

Exemplo 2

Expresse 1 – 2sen²x + sen²xcos²x + sen4x em função de cosx.

1 – 2sen²x + sen²xcos²x + sen4x
1 + sen²xcos²x – 2sen²x + sen4x
1 + sen²x(cos²x – 2 + sen²x)
1 + sen²x(cos²x + sen²x – 2)

sabemos que, cos²x + sen²x = 1, então:

1 + sen²x(1 – 2)
1 + sen²x(-1)
1 – sen²x
cos²x

Exemplo 3

Mostre que (senx + tgx)(cosx + cotgx) = (1 + senx)(1 + cosx).

(senx + tgx)(cosx + cotgx) = (1 + senx)(1 + cosx)

Vamos expandir o segundo membro.

(senx + tgx)(cosx + cotgx) = 1 + cosx + senx + senxcosx

Vamos expandir o primeiro membro para que fique igual ao segundo.

(senx + tgx)(cosx + cotgx)
senxcosx + sexcotgx + tgxcosx + tgxcotgx

senxcosx + senxcosx/senx + senx/cosxcosx + senx/cosx•cosx/senx

Simplificando, temos:

senxcosx + cosx + senx + 1

Operando identidades

Até o momento calculamos as funções circulares de ângulos imediatos como 30º, 45º, 60º e 90º. Contudo, através destes ângulos podemos encontrar as funções circulares da soma de dois arcos, da diferença de dois arcos ou, ainda do dobro (ou triplo) de um arco dado.

sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
cos(a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b
tg(a + b) = tg a + tg b
1 – tg a . tg b

Exemplo 1

Calcule o seno, cosseno e tangente do ângulo de 75º.

sen 75º = sen(30º + 45º) = sen 30º . cos 45º + sen 45º . cos 30º

sen(30º + 45º) = 1 • √2 + √2 • √3
2 2 2 2
sen(30º + 45º) = √2 + √6
4 4
sen(75°) = √2 + √6
4

cos 75º = cos(30º + 45º) = cos 30º . cos 45º – sen 30º . sen 45º

cos(30º + 45º) = √3 • √2 – 1 • √2
2 2 2 2
cos(30º + 45º) = √6 – √2
4 4
cos(75°) = √6 – √2
4
tg(30° + 45°) = tg 30º + tg 45°
1 – tg 30° . tg 45°
tg(30° + 45°) = √3 / 3 + 1
1 – √3 / 3 . 1
tg(30° + 45°) = √3 / 3 + 1
1 – √3 / 3
tg(30° + 45°) = 3 + √3
3 – √3
sen(a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a
cos(a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b
tg(a – b) = tg a – tg b
1 + tg a . tg b

Fórmulas da multiplicação

Dadas as funções circulares de um arco a, é possível, mediante a aplicação das fórmulas de adição de dois arcos, encontrarmos as funções circulares dos arcos 2a, 3a, …, chamados, respectivamente, de arco duplo, arco triplo, …
Fazendo b = a, teremos (a + b) = (a + a) = 2a.

Daí:

sen(2a) = 2sen a . cos a
cos(2a) = cos²a – sen²a
tg(2a) = 2tg a
1 – tg²a

Exemplo 1

Sendo cos a = 2/5, com 0 < a < π/2, determine sen 2a e cos 2a.

Exemplo 2

Demonstre que tg x • sen 2x = 2sen²x.

Exemplo 3

Demonstre que 1 + tg a • tg 2a = sec 2a

Matemática financeira

O que você vai estudar:
  1. Razão e Proporção
  2. Série de razões iguais
  3. Grandezas proporcionais
  4. Divisão proporcional – Regra de sociedade
  5. Regra de três
  6. Percentagem
  7. Operações sobre mercadorias
    • Vendas com lucro
    • Vendas com prejuízo
    • Acréscimos e abatimentos sucessivos
    • Moeda
    • Inflação
  8. Juros simples
    • Taxas proporcionais
    • Taxas equivalentes
    • Juros simples exatos
    • Juros simples comercial
  9. Juros compostos
    • Taxas equivalentes
    • Taxa nominal e taxa efetiva
    • Convenção exponencial e linear
    • Taxa real e taxa aparente

Razão e Proporção

O conceito de razão e proporção é de grande importância não só na matemática como também no nosso dia a dia. Podemos encontrar esse conceito ao ampliar uma imagem, ao assistir um a filme de terror em que um inseto possui tamanho gigante, totalmente fora da realidade; entre outros casos.

Razão

A razão nada mais é do que a divisão entre dois números, ou seja, a razão do número a para o número b (diferente de zero) é o quociente de a por b. Além disso, a razão serve para comparar duas grandezas.
Indicamos:

a
b
ou a : b

(lê-se: a para b)

Os números a e b são os termos da razão; a recebe o nome de antecedente (numerador) e b, consequente (denominador) da razão.

Exemplo 1

Na fila de um guichê de venda de ingressos em um estádio de futebol, havia 48 torcedores, sendo 20 palmeirenses e 28 corintianos. Qual a razão entre o número de palmeirenses e o número de corintianos? Explique.

20
28
=
5
7

Isso significa que para cada 5 palmeirenses havia 7 corintianos.

Exemplo 2

Um automóvel percorre 160 km em 2 horas. Qual a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la?

160 km
2 h
= 80 km/h

Podemos dizer que esse automóvel faz em média 80 km em 1 hora.

Proporção

A igualdade entre duas razões recebe o nome de proporção. Aprendemos que a : b e c : d são razões; então, se igualarmos essas duas razões teremos uma proporção.

a
b
=
c
d

(Lê-se: a está para b, assim como c está para d)
Os números a e d são chamados extremos, e os números b e c são chamados meios.
Na proporção anterior, se realizarmos a multiplicação cruzada, teremos:

ad = bc

O que nos permite dizer que:

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Exemplo 1

Na bula de um remédio pediátrico recomenda-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 k do “peso” da criança. Qual a dosagem correta para uma criança com 12 kg?

5 gotas
2 kg
=
x
12 kg

2x = 5 • 12
2x = 60
x = 30 gotas

Exemplo 2

Num concurso público, constatou-se que a razão entre o número de homens e o de mulheres era 3/5. Se o total de inscritos era 1600 pessoas, determine:

a) o número de mulheres que fizeram o concurso.
b) a razão entre o número de aprovados e o número total de inscritos, sabendo que 5/12 dos homens foram aprovados e 17/25 das mulheres não conseguiram aprovação.

Vamos determinar, inicialmente, que x representará o número de homens e y o de mulheres.

a)

3
5
=
x
y

Logo, 3y = 5x

x =
3y
5

x + y representa o total de inscritos.

x + y = 1600

3y
5
+ y = 1600
3y + 5y
5
= 1600

y = 1000. Logo, 1000 mulheres fizeram o concurso.

b)

O total de inscritos foi de 1600. Logo, 1000 + x = 1600 ⇒ 600 homens fizeram o concurso.
O problema informou que 5/12 dos homens foram aprovados.

5
12
• 600 = 250 aprovados

O problema informou também que 17/25 das mulheres foram reprovadas.

17
25
• 1000 = 680 reprovadas

1000 – 680(reprovadas) = 320 (aprovadas)

Visto que o problema pede a razão entre o número de aprovados e o número total de inscritos, temos:

250 (homens) + 320 (mulheres)
1600
=
570
1600

A resposta é:

57
160

Transformações

Vamos realizar algumas manipulações nos termos de uma proporção com a finalidade de descobrir algo novo. Tomemos, como exemplo, a proporção abaixo.

3
4
=
15
20

Realizando a multiplicação cruzada, temos: 3 • 20 = 4 • 15 → 60 = 60.
Ao fazer as manipulações com os termos da proporção, tome cuidado para que a igualdade dos produtos dos extremos e dos meios seja mantida.

• Alternando os extremos:

20
4
=
15
3
⇒ 20 • 3 = 4 • 15

• Alternando os meios:

3
15
=
4
20
⇒ 3 • 20 = 15 • 4

• Invertendo os termos:

4
3
=
20
15
⇒ 4 • 15 = 3 • 20

• Transpondo as razões:

15
20
=
3
4
⇒ 15 • 4 = 20 • 3

Série de razões iguais

Veja as razões abaixo:

8
2
,
12
3
,
20
5
,
28
7

Vemos que todas são iguais a 4. Portanto, podemos escrever:

8
2
=
12
3
=
20
5
=
28
7

Essa expressão recebe o nome de série de razões iguais ou proporção múltipla.
De forma geral, ficaria:

a
b
=
c
d
= … =
m
n

Sendo k o valor das razões acima, temos:

a
b
= k,
c
d
= k, … ,
m
n
= k

Perceba que a = bk, c = dk, … ,m = nk
Somando membro a membro essas igualdades, temos:
a + c + … + m = bk + ck + … + nk
Colocando k em evidência, temos:
a + c + … + m = k(b + c + … + n)
portanto:

a + c + … + m
b + c + … + n
= k

Desta forma, podemos escrever:

a + c + … + m
b + c + … + n
=
a
b
= … =
m
n

E finalmente:

Em uma série de razões iguais, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo consequente.

Exemplo 1

Calcule x, y e z, sabendo que

x
9
=
y
11
=
z
15

e x + y + z = 420.

Vimos que

a + c + … + m
b + c + … + n
=
a
b
= … =
m
n

Então:

x + y + z
9 + 11 + 15
=
x
9
=
y
11
=
z
15

Portanto temos:

420
35
=
x
9
=
y
11
=
z
15

Encontrando o valor de x:

420
35
=
x
9

35 • x = 420 • 9
35 • x = 3780
x = 108
Encontrando o valor de y:

420
35
=
y
11

35 • y = 420 • 11
35 • y = 4620
x = 132
Encontrando o valor de z:

420
35
=
z
15

35 • z = 420 • 15
35 • z = 6300
z = 180

Exemplo 2

Determine dois números, sabendo que sua soma é 60 e que a razão entre eles é 2/3.

Vamos chamar os dois números desconhecidos de x e y.

Dados:

x + y = 60

A razão entre eles é 2/3

x
y
=
2
3

Vamos alternar os meios dessa proporção, ficando assim:

x
2
=
y
3

Agora podemos aplicar a propriedade:

x + y
2 + 3
=
x
2
=
y
3

Encontrando o valor de x:

60
5
=
x
2

5 • x = 60 • 2
5 • x = 120
x = 24

Encontrando o valor de y:

60
5
=
y
3

5 • y = 60 • 3
5 • y = 180
y = 36

Grandezas proporcionais

Grandezas diretamente proporcionais

Para entendermos o conceito de grandezas diretamente proporcionais vamos ver um exemplo:

Numa rodovia, um carro mantém uma velocidade constante de 90 km/h. Veja a tabela que relaciona o tempo t(em horas) e a distância d(em quilômetros):

Tempo (h) Distância (km)
0,5 45
1 90
1,5 135
2 180
3 270
4 360

Examinando a tabela, vemos que a grandeza distância depende da grandeza tempo, já que aumentando uma, a outra também aumenta.

0,5
45
=
1
90
=
1,5
135
= … =
1
90

Vamos montar as proporções usando a tabela.

Chamando de d a grandeza distância e de t a grandeza tempo, temos:

t
d
=
1
90
⇒ d = 90t

Dizemos, neste caso, que as sequências de números (1/2, 1, 3/2, 2, 3, 4) e (45, 90, 135, 180, 270, 360) são diretamente proporcionais ou, então, que as grandezas d e t são diretamente proporcionais e 1/90 é a razão ou coeficiente de proporcionalidade.

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando os valores correspondentes às variáveis são expressos por uma função do tipo: y = kx, onde k é um número real constante, diferente de zero.

Portanto, as sequências de números reais e não-nulos (a1, a2, …, an) e (b1, b2, …, bn) são diretamente proporcionais se, e somente se:

a1
b1
=
a2
b2
= … =
an
bn
= k (cte)
Observação

Dadas duas sequências de números proporcionais, multiplicando-se todos dos elementos de uma das sequências por um número qualquer diferente de zero, a nova sequência continua sendo proporcional à outra.

Consideremos as sequências de números (2, 4, 12) e (3, 6, 18).
Temos:

2
3
=
4
6
=
12
18

Logo, essas sequências de números são diretamente proporcionais. Multiplicando por 5 os elementos da primeira sequência (5 • 2, 5 • 4 , 5 • 12 ) = (10, 20, 60).

10
3
=
20
6
=
60
18

Ainda assim as sequências continuam sendo proporcionais.

Grandezas inversamente proporcionais

Para entendermos o conceito de grandezas inversamente proporcionais vamos ver um exemplo:

Uma distância de 1.200 km pode ser percorrida por um avião, a uma velocidade de 100 km/h, em 12 horas; a uma velocidade de 200 km/h, em 6 horas; e a uma velocidade de 300 km/h, em 4 horas. Podemos, então, escrever a tabela:

Tempo (h) Velocidade (km/h)
12 100
6 200
4 300
3 400

Veja que a grandeza tempo depende da grandeza velocidade, já que aumentando a velocidade o tempo diminui, ou seja, quanto mais rápido se percorre uma certa distância, menos tempo se gasta. Com base na tabela, vamos montar as proporções abaixo.

12
1
100
=
6
1
200
=
4
1
300
=
3
1
400

As proporções acima são iguais a 1.200.

Podemos dizer que a sequência de números (12, 6, 4, 3) é diretamente proporcional a (1/100, 1/200, 1/300, 1/400). 1.200 é o fator ou coeficiente de proporcionalidade.
Chamando de x a grandeza velocidade e de y a grandeza tempo, temos:

yx = 1200 ou y = 1200(1/x)

Duas grandezas variáveis são inversamente proporcionais se os valores correspondentes x e y são expressos por uma função do tipo:

y = k •
1
x

Onde k é um número real constante, diferente de zero.

Portanto, duas sequências de números reais e não-nulos (a1, a2, …, an) e (b1, b2, …, bn) são inversamente proporcionais se, e somente se:

a1 • b1 = a2 • b2 = … = an • bn = k ou

a1
1
b1
=
a2
1
b2
= .. =
an
1
bn
= k

Divisão proporcional – Regra de sociedade

A Regra de Sociedade é uma das aplicações da divisão proporcional, então vamos aprender inicialmentes como dividir um número em partes diretamente e inversamente proporcionais.

Divisão proporcional

Um barbante com 200 cm de comprimento foi dividido em três partes com comprimentos diretamente proporcionais aos números 3, 5 e 2. Qual o comprimento de cada pedaço?
Chamando de x, y e z , respectivamente, cada uma das partes, devemos verificar que:

x
2
=
y
3
=
z
5

Além disso, como x, y e z são partes em que dividimos o comprimento 200 cm, devemos ter: x + y + z = 200.
Como a proporção acima é uma série de razões iguais, podemos escrever:

x
2
=
y
3
=
z
5
=
x + y + z
2 + 3 + 5

x
2
=
y
3
=
z
5
=
200
10

Logo, x = 40, y = 60 e z = 100.

Dividir um número em partes proporcionais a vários outros números dados é decompô-lo em parcelas/partes proporcionais a esses números.

Divisão em partes inversamente proporcionais

Dividir um número em partes inversamente proporcionais significa dividir o número dado em partes diretamente proporcionais aos inversos destes números. Por exemplo:
Divida o número 210 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 6. Isto quer dizer que devemos dividir o número 210 proporcionalmente aos inversos dos números 3, 5 e 6; que são 1/3, 1/5 e 1/6.

x
1
3
=
y
1
5
=
z
1
6
=
x + y + z
21
30

x
1
3
=
210
21
30

3x =
210 • 30
21

3x = 300 ⇒ x = 100

y
1
5
=
210
21
30

5y =
210 • 30
21

5y = 300 ⇒ y = 60

z
1
6
=
210
21
30

6z =
210 • 30
21

6z = 300 ⇒ z = 50

Lembre-se que somando as partes (100 + 60 + 50 = 210) deveremos chegar no valor original que dividimos.

Regra de sociedade

A regra de sociedade é uma extensão da divisão proporcional. Tem por objetivo a divisão dos lucros ou prejuízos entre os sócios que formam uma sociedade, por ocasião do Balanço geral exigido anualmente por lei ou quando da saída ou admissão de um sócio. Por convenção, o lucro ou o prejuízo é dividido pelos sócios proporcionalmente aos capitais que investiram, levando-se em conta as condições estipuladas no contrato social.

Vamos considerar dois casos:

Primeiro: Os capitais são iguais e empregados durante o mesmo tempo.

A fim de obtermos a parte de cada sócio, dividimos o lucro ou o prejuízo pelo número deles.
Exemplo: Uma empresa A obteve um lucro de R$332.500,00. Sabendo que os capitais empregados pelos três sócios eram iguais, vamos determinar a parte de cada um nos lucros.

332.700
3
= 110.900

Logo, cada sócio terá um parte de R$110.900,00 nos lucros.

Segundo: Os capitais são desiguais e empregados durante o mesmo tempo.

Neste caso dividimos o lucro ou o prejuízo em partes diretamente proporcionais aos capitais investidos por cada sócio.
Exemplo: Três sócios empregaram, respectivamente, os capitais de R$18.000,00, R$22.500,00 e R$27.000,00 e obtiveram um lucro líquido de R$27.000,00. Qual será a parte de cada um?
Veja que basta dividirmos o lucro de R$27.000,00 em partes diretamente proporcionais aos capitais investidos.

x
18.10³
=
y
225.10²
=
z
27.10³
=
27.10³
675.10²

x
18.10³
=
y
225.10²
=
z
27.10³
=
2
5

x =
18.10³ • 2
5
= 7.200

y =
225.10² • 2
5
= 9.000

z =
27.10³ • 2
5
= 10.800

Note que o sócio que mais investiu receberá uma parcela maior no lucro.

1 … 6 7 8 9 10 … 20