Livro de Matemática

Vamos iniciar nessa parte o estudo de operações de compra e venda de mercadorias, isto é, vamos aprender a fazer cálculos de lucro ou prejuízo sobre os preços de custo e de venda de mercadorias. Mas, o que é lucro? E o que é prejuízo?

O lucro está relacionado ao ganho ou ganhar algo. Já o prejuízo está relacionado à perda. Todo aquele que fabrica ou revende determinado produto tem um custo, seja para produzí-lo ou comprá-lo. Quando o preço de venda é superior ao preço de custo ocorre um lucro, caso contrário ocorre um prejuízo. O ideal é ter lucro em todo tipo de transação financeira.

Vendas com lucro

A venda de mercadorias pode oferecer um lucro e este pode ser sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda.

Sobre o preço de custo

Sobre o preço de venda

Veja abaixo as fórmulas do preço de venda com a taxa de lucro sobre o preço de custo e sobre o preço de venda.

Venda com lucro sobre o preço de custo

V = C(1 + i)

Venda com lucro sobre o preço de venda

Do exemplo anterior, se o percentual fosse sobre o preço de custo quanto seria o preço de venda?

V = C(1 + i)
V = 860(1 + 0,2)
V = 1.032,00

O preço de venda seria de R$ 1.032,00. Note que, o preço de venda quando a taxa de lucro incide sobre o preço de venda é muito maior e mais vantajoso.

Vendas com prejuízo

Da mesma forma que ocorre com o lucro, um produto pode ser vendido com prejuízo sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda.

Sobre o preço de custo

Sobre o preço de venda

Acréscimos e abatimentos sucessivos

Vamos aprender a calcular os acréscimos e abatimentos sucessivos sobre o valor de uma mercadoria ou importância resultante de um negócio efetuado.

Finalmente, temos abaixo a fórmula para os abatimentos sucessivos.

Para os acréscimos sucessivos usamos a fórmula abaixo.

Note que, nos abatimentos subtraímos as taxas e nos acréscimos as somamos.

Moeda

No início da atividade comercial havia apenas a troca de mercadorias. Assim, um indivíduo A, produtor da mercadoria a e necessitado da mercadoria b, procurava o indivíduo B que a produzia. Se houvesse concordância na troca, tudo bem; porém, as coisas se complicavam quando não havia concordância na troca, pois A teria de procurar um outro indivíduo produtor de b que estivesse disposto a trocá-la por a.

Com o desenvolvimento do comércio entre os indivíduos houve, então, a necessidade de uma terceira mercadoria, de aceitação geral e, principalmente, de fácil transporte e de valor constante para todos os produtores. Essa mercadoria passou a ser o padrão de trocas e de comparação de valores dos demais produtos. Esse padrão tornou-se, assim, a moeda da comunidade.

Surgiu, então, o problema: qual a melhor mercadoria a ser tomada como moeda? Chegou-se a conclusão de que a melhor moeda seria o metal: de fácil transporte, grande durabilidade e que permitia a obtenção de “pedaços” para pagamentos menores.

Com o passar do tempo, a moeda foi sofrendo um processo contínuo de desvalorização: passou de moeda mercadoria para moeda metálica e, finalmente, para um valor simbólico, tornando-se apenas um pedaço de papel.

Nota:
Trecho retirado do livro Matemática Financeira Fácil – Capítulo 7 – pg 71. Autor: Antônio Arnot Crespo. 14ª edição atualizada. Editora Saraiva.

Inflação

Chamamos de inflação a desvalorização do valor da moeda (ou a redução do seu poder aquisitivo). A inflação também pode ser identificada como o aumento generalizado dos preços de produtos e serviços.

Para se ter uma ideia antigamente um pão de sal custava R$ 0,10 centavos, ou seja, com R$ 1,00 você era capaz de comprar 10 pãezinhos. Nos dias de hoje, (2020) você compra 10 pães de sal por R$ 1,00? Claro que não! O que aconteceu? Hoje você precisa de mais dinheiro para comprar o mesmo produto. Portanto, o valor do dinheiro diminuiu.
É notável que a inflação não atinge todas as pessoas da mesma forma. As mais atingidas são aquelas com baixo poder aquisitivo.

Existem dois tipos de inflação: de oferta e de demanda.

Inflação de oferta
Acontece quando os preços de matérias-primas básicas como eletricidade ou gasolina aumentam.

Inflação de demanda
Ocorre quando a demanda por algum produto aumenta. Por exemplo: se muitas pessoas resolvem trocar de carro, pode ser que as indústrias não consigam atender a tantos pedidos. Devido a esta situação (pouco carro no mercado e muita procura por este produto) o resultado será o aumento do preço dos automóveis.

No Brasil, existem dois índices que medem a inflação: o IPCA e o IGPM.

IPCA (Índice de Preços ao Consumidor Amplo)
É considerado o termômetro oficial da inflação no Brasil e de responsabilidade do IBGE. O IPCA é um número que indica a variação de preço de um conjunto de produtos e serviços comuns a toda a população.

IGPM (Índice Geral de Preços de Mercado)
Este índice é medido por uma entidade de mercado – FGV (Fundação Getúlio Vargas). O IGPM é o resultado de um conjunto de outros índices: IPA (Índice de Preços ao Atacado), IPC (Índice de Preços ao Consumidor) e INCC (Índice Nacional do Custo da Construção). Podemos dizer que 60% do IGPM é representado pelo IPA, 30% é representado pelo IPC e 10% é representado pelo INCC.

Conceitos iniciais

Vamos imaginar a seguinte situação: “Caio toma emprestado de André uma importância de R$3.000,00. Após três meses Caio quitou sua dívida pagando a André um total de R$ 3.108,00”.

Analisando a situação anterior podemos retirar alguns conceitos essenciais para o entendimento não só de juros simples como para aplicações financeiras de modo geral. A importância que Caio tomou emprestado é chamada de Capital, já a dívida quitada no final do período recebe o nome de Montante. Note que Caio ficou com o dinheiro por três meses, este é o Período. Caio tomou emprestado R$ 3.000,00 e devolveu R$ 3.108,00. Note que Caio pagou os R$ 3.000,00 que tomou emprestado e além disso pagou R$108,00 a mais. Esse valor adicional recebe o nome Juros. Neste exemplo o valor de R$108,00 funciona como um aluguel pago pelo tempo que Caio ficou com o dinheiro. Do referido problema podemos calcular a taxa de juros da operação.

Veja que a taxa de juros está ao trimestre. No exemplo, Caio permaneceu com o dinheiro por três meses. Neste caso dividimos o valor da taxa encontrada por 3 → 0,036 ÷ 3 = 0,012. Portanto, a taxa de juros mensal da aplicação foi de 1,2% a.m.

Para entendermos o conceito de Juros Simples, vamos analisar a situação onde um capital de R$3.000,00 é aplicado por 4 anos, a uma taxa de juros de 12% a.a. Abaixo foi montada uma tabela que apresenta as correções financeiras ano a ano.

Note duas coisas importantes que permanecem fixas na tabela acima. Tanto o capital quanto o valor dos juros não muda. Permanecem fixos durante todo o período da operação. No regime de capitalização de Juros Simples os juros são calculados sempre sobre o capital inicial, que neste caso vale R$ 3.000,00.

As situações problema envolvendo Juros Simples podem ser modeladas através da fórmula:

Sendo:
J = Juros
C = Capital
i = Taxa de juro
n = O tempo de aplicação

Resolvendo o problema anterior usando a fórmula ficaria assim:

J = C • i • n
J = 3.000 • 0,12 • 4
J = 1.440

Portanto, após 4 anos o capital aplicado gerou R$1.440,00 de juros. É equivalente a soma dos valores da coluna Juros na tabela acima ou 4 x 360. Ao final dos 4 anos o aplicador retirou a importância de R$ 4.440,00. Este valor é o resultado da soma (3.000 + 1.440), ou seja, (capital + juros).

Logo, temos que:

Sendo:
M = Montante
C = Capital
J = Juros

Da fórmula dos Juros Simples obtemos que J = C • i • n. Portanto, podemos escrever:

M = C + C • i • n

Colocando C em evidência vem:

Taxas Proporcionais

Duas taxas são ditas proporcionais quando formam uma proporção com os períodos a elas referidos. Lembre-se de que os períodos deverão estar na mesma unidade.

Taxas equivalentes

Para entendermos o conceito de taxas equivalentes vamos ver um exemplo.

Veja o valor de juros produzidos por um capital de R$ 2.000,00:

• aplicado à uma taxa de 4%a.m., durante 6 meses;

J = C • i • n
J = 2.000 • 0,04 • 6
J = 480

• aplicado à uma taxa e 12%a.t., durante 2 trimestres.

J = C • i • n
J = 2.000 • 0,12 • 2
J = 480

Veja que o valor dos juros é o mesmo. Portanto, podemos dizer que duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo período, produzem o mesmo juro.
Logo, podemos dizer que 4% a.m. é equivalente a 12% a.t.

No regime de juros simples duas taxas equivalentes são proporcionais.

Juros simples exatos

Nessa modalidade o juro é calculado levando-se em conta os seguintes critérios:
• O prazo é contato em dias;
• O mês = número real de dias conforme o calendário;
• O ano civil possui 365 dias ou 366 quando for bissexto.

Como obter o número exato de dias entre duas datas?

1° – podemos contar diretamente num calendário.

2° – podemos considerar o número exato de dias de cada mês.

31 dias: janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro.
30 dias: abril, junho, setembro, novembro.
28 ou 29 dias: fevereiro.

Quantos dias há entre 15/06/2020 a 21/08/2020?

Vamos dividir esta tarefa em etapas:

15/06/2020 a 15/07/2020 → 30 dias
15/07/2020 a 15/08/2020 → 31 dias
15/08/2020 a 21/08/2020 → 6 dias

Logo:

15 de junho a 21 de agosto: 30 + 31 + 6 = 67 dias

3º – pelo uso da tabela para contagem de dias (acesse aqui).

Quantos dias há entre 15/06/2020 a 21/08/2020?

Primeiro localizamos a interseção entre a linha 21 e a coluna agosto. Anotamos o número encontrado (233).
Segundo localizamos a interseção entre a linha 15 e a coluna junho. Anotamos o número encontrado (166).

Agora subtraimos: 233 – 166 = 67 dias

Juros simples comercial

Esta modalidade é bastante simples. Aqui consideramos o mês com 30 dias e o ano civil com 360 dias. Simples assim.

Imagine a seguinte situação:
Rogério possui uma dívida de valor N a ser quitada daqui n meses. No entanto, um mês antes do vencimento,
ele decide quitar a dívida. No ato do pagamento Rogério pagará um valor inferior a N, um valor V. Por efetuar o
pagamento da dívida antes e seu vencimento, o devedor se beneficia de um abatimento correspondente ao juro que seria
gerado por esse dinheiro durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento.
Esse benefício recebe o nome de Desconto.

Acompanhe o significados das letras na situação-problema acima:

N: Valor nominal ou valor de face (valor da dívida na data de vencimento)
V: Valor atual (valor líquido pago ou recebido antes do vencimento)
n: período entre o dia em que se negocia a dívida e o de seu vencimento
i: apesar de não informada na situação-problema as operações de desconto ocorrem com base numa taxa de desconto

Vimos anteriormente que um determinado capital C aplicado por determinado tempo a uma taxa de juros específica
produzirá um montante M. Note que se um capital C for aplicado “hoje” a uma determinada taxa quanto terei de
montante no futuro? Realizar o processo inverso é obter o desconto. Quanto pagarei hoje ao descontar um título (dívida)
que vencerá daqui n períodos?

De acordo com Antônio Arnot Crespo – Matemática financeira fácil (2009, p.103):
Com relação aos títulos de crédito pode ocorrer:
• que o devedor efetue o pagamento antes do dia predeterminado.(…)
• que o credor necessite do seu dinheiro antes da data predeterminada. Neste caso, ele pode vender o título de crédito a
um terceiro e é justo que este último obtenha um lucro, correspondente ao juro do capital que adianta, no intervalo de
tempo que falta para o devedor liquidar o pagamento; assim ele paga uma quantia menor que a fixada no título de crédito.

Desconto simples comercial, bancário ou por fora

O desconto simples por fora é calculado sobre o valor nominal do título, ou seja, o valor futuro.

Desconto simples racional ou por dentro

O desconto simples por dentro é calculado sobre o valor atual do título, ou seja, o valor resgatado antes do vencimento.

Taxa efetiva de desconto

Para entendermos o que é taxa efetiva de desconto a juros simples veja a situação abaixo:

1. Antônio possui um título de crédito no valor de $10.000,00 com vencimento para daqui 2 meses.
2. Antônio decide descontar o título em um banco. Nessa transação foi utilizada uma taxa de desconto comercial simples de 10% a.m.
3. Nessa transação Antônio receberá $8.000,00.
4. Do ponto de vista do banco, este fez uma aplicação de $8.000,00 para receber após 2 meses um montante de $10.000,00.
5. J = c*i*n → 2.000 = 8.000*i*2 → i = 12,5% a.m.
6. i_e = 12,5% a.m. é a taxa efetiva de ganho do banco.

Quando não há despesas envolvidas na operação:

• No desconto comercial simples, a taxa de desconto efetiva linear sempre será maior do que à taxa de desconto simples.
• No desconto racional simples, a taxa de desconto efetiva linear será sempre igual à taxa de desconto simples.

Para entendermos o conceito de Juros compostos, vamos analisar a situação onde um capital de R$3.000,00 é aplicado por 4 anos, a uma taxa de juros de 12% a.a.

Após o 1º ano

Quanto rendeu de juro?

J = C • i • n

O valor de n será sempre igual a 1, pois estamos calculando ano a ano. Portanto, podemos considerar a fórmula como J = C • i.

J = 3000 • 0,12 = 360

Qual o valor do montante?

M = C + J
M = 3000 + 360 = 3.360

Após o 2º ano

Quanto rendeu de juro?

Nesse momento o capital não será mais de R$3.000,00, mas o montante de R$ 3.360,00. Esse será meu novo capital.

J = 3.360 • 0,12 = 403,20

Qual o valor do montante?

M = C + J
M = 3.360 + 403,20 = 3.763,20

Após o 3º ano

Quanto rendeu de juro?

Da mesma forma que ocorreu no período anterior o capital neste momento será o montante do período anterior, ou seja, R$ 3.763,20.

J = 3.763,20 • 0,12 = 451,58

Qual o valor do montante?

M = C + J
M = 3.763,20 + 451,58 = 4.214,78

Após o 4º ano

Quanto rendeu de juro?

Obedecendo ao padrão anterior escrevemos:

J = 4.214,78 • 0,12 = 505,77

Qual o valor do montante?

M = C + J
M = 4.214,78 + 505,77 = 4.720,56

Veja o esquema da aplicação representado na tabela abaixo:

Perceba que neste regime de capitalização, o juro a partir do segundo período é calculado sobre o montante do período anterior.

Juro composto é aquele em que cada período de aplicação, a partir do segundo, é calculado sobre o montante do período anterior.

Você pôde notar no exemplo anterior que se torna trabalhoso executar todos aqueles passos. Por isso, vamos deduzir uma fórmula com o finalidade de agilizar os cálculos.

1º Período
J₁ = C • i
M₁ = C + J₁ = C + C • i = C(1 + i)

2º Período
J₂ = M₁ • i =
M₂ = M₁ + J₂ = M₁ + M₁ • i = M₁(1 + i)

Do 1° período temos que M₁ = C(1 + i)

M₂ = C(1 + i)(1 + i) = C(1 + i)²

3º Período
J₃ = M₂ • i =
M₃ = M₂ + J₃ = M₂ + M₂ • i = M₂(1 + i)

Do 2° período temos que M₂ = C(1 + i)²

M₃ = C(1 + i)²(1 + i) = C(1 + i)³

Portanto, ao repetirmos o processo para n períodos temos:

Sendo:
M = Montante
C = Capital
i = Taxa de juro
n = O tempo de aplicação

Resolvendo o problema anterior usando a fórmula ficaria assim:

M = C(1 + i)ⁿ
M = 3.000(1 + 0,12)⁴
M = 4.720,56

Com a fórmula deduzida ficou fácil, né?

Taxas equivalentes

Do regime de Juros simples, vimos que duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo período, produzem o mesmo juro. No caso do regime de Juros compostos, duas taxas serão equivalentes quando produzirem o mesmo montante se aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo período.
Vamos deduzir a fórmula abaixo:

M₁ = C(1 + i₁)^n₁
M₂ = C(1 + i₂)^n₂

Se a taxa i₁ for equivalente a i₂, então M₁ = M₂

C(1 + i₁)^n₁ = C(1 + i₂)^n₂
(1 + i₁)^n₁ = (1 + i₂)^n₂
(1 + i₁) = (1 + i₂)^n₂/^n₁
i₁ = (1 + i₂)^n₂/^n₁ – 1

Onde:

i_d = taxa diária
i_m = taxa mensal
i_t = taxa trimestral
i_q = taxa quadrimestral
i_s = taxa semestral
i_a = taxa anual

Taxa nominal e taxa efetiva

A taxa nominal é aquela cujo período de capitalização (quando o juros são incorporados ao principal) não coincide com aquele a que ela se refere.

Veja alguns exemplos:

Taxa nominal de 48% ao ano capitalizada mensalmente.
Juros de 36% ao ano capitalizados semestralmente.
Taxa de 6%a.t. capitalizada mensalmente.

Nos três casos acima, o período da taxa é diferente do período de capitalização. Por exemplo: a taxa de 48%a.a. ao invés de ser capitalizada um só vez por ano, será capitalizada 12 vezes, ou seja, a cada mês os juros serão incorporados ao capital. Da mesma forma, a taxa de 6%a.t. será capitalizada três vezes no período informado e não apenas uma vez após 3 meses.

Por convenção, a taxa por período de capitalização é proporcional à taxa nominal.

Na taxa efetiva o período de capitalização é igual ao período informado pela taxa. E é esta a taxa cobrada nas transações financeiras. Além disso ela é maior do que a taxa nominal. Para melhorar sua compreensão vamos analisar o seguinte cenário:

Uma empresa adquiriu um empréstimo de R$ 30.000,00 a ser quitado em um único pagamento de R$ 38.000,00 daqui um mês. No ato da contratação foi paga uma taxa de serviço de 5% sobre o valor do empréstimo.

Note duas coisas que ficam evidentes: primeiro o valor de R$ 30.000,00 tomado emprestado e, segundo, a taxa de 5% cobrada.

M = C(1 + i)ⁿ
38.000 = 30.000(1 + i) → como o período é de um mês, logo n = 1.
(38 ÷ 30) – 1 = i
i = 26,67% a.m. → taxa nominal mensal

Agora note como valor da taxa muda quando acrescentamos a taxa de serviço cobrada pela instituição financeira.

Valor realmente contratado = 30.000 – (0,05 • 30.000) = 28.500

M = C(1 + i)ⁿ
38.000 = 28.500(1 + i)
(380 ÷ 285) – 1 = i
i = 33,33% a.m. → taxa efetiva mensal

Portanto, a taxa efetiva é aquela calculada sobre o valor efetivamente aplicado ou tomado emprestado.

Convenção exponencial e linear

Imagine a seguinte situação:

Josué investiu R$.2000,00 a juros compostos durante 4 meses e 15 dias a uma taxa de 6% a.m. Qual o montante após este período?

Vamos recolher os dados do problema:

Capital = 2.000
Período = 4 meses e 15 dias
Taxa de juros = 6% a.m.
Montante = ?

Note que o período financeiro não é inteiro. Neste caso admitem-se duas alternativas de cálculo: convenção exponencial e convenção linear.

Convenção exponencial

Nesta modalidade, o montante é calculado a juros compostos durante todo o período (parte inteira + fracionária).

Onde n reprenta a parte inteira do período e ^p/_q a parte fracionária.

Convenção linear

Nesta modalidade, o montante é calculado a juros compostos durante a parte inteira do período e a juros simples durante o período fracionário.

Onde n reprenta a parte inteira do período e ^p/_q a parte fracionária.

Taxa real e taxa aparente

Vamos analisar o rendimento de um capital C em alguns cenários hipotéticos.

• Com um taxa de inflação nula e uma taxa de juros i_r o capital C inicial se transformará, ao final de um período, em : C(1 + i_r)

• Com uma taxa de inflação I, o capital C inicial, ao final de um período, equivalerá a: C(1 + I)

• Com uma taxa de juros i_r e uma taxa de inflação I, simultaneamente, o capital C inicial equivalerá a: C(1 + i_r)(1 + I)

• Com uma taxa aparente i, o capital C inicial se transformará, ao final dde um período, em: C(1 + i)

A taxa aparente é aquela que vigora nas operações correntes e é formada por dois componentes: um correspondente à inflação e outro correspondente ao juro real. Portanto:

C(1 + i) = C(1 + i_r)(1 + I)

Onde:

i = taxa aparente
i_r = taxa real
I = taxa de inflação

Imagine a seguinte situação:
Rogério possui uma dívida de valor N a ser quitada daqui n meses. No entanto, um mês antes do vencimento, ele decide quitar a dívida. No ato do pagamento Rogério pagará um valor inferior a N, um valor V. Por efetuar o pagamento da dívida antes e seu vencimento, o devedor se beneficia de um abatimento correspondente ao juro que seria gerado por esse dinheiro durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento.
Esse benefício recebe o nome de Desconto.

Acompanhe o significados das letras na situação-problema acima:

N: Valor nominal ou valor de face (valor da dívida na data de vencimento)
V: Valor atual (valor líquido pago ou recebido antes do vencimento)
n: período entre o dia em que se negocia a dívida e o de seu vencimento
i: apesar de não informada na situação-problema as operações de desconto ocorrem com base numa taxa de desconto

Vimos anteriormente que um determinado capital C aplicado por determinado tempo a uma taxa de juros específica produzirá um montante M. Note, seu um capital C for aplicado “hoje” a uma determinada taxa quanto terei de montante no futuro? Realizar o processo inverso é obter o desconto. Quanto pagarei hoje ao descontar um título (dívida) que vencerá daqui n períodos?

De acordo com Antônio Arnot Crespo – Matemática financeira fácil (2009, p.103):
Com relação aos títulos de crédito pode ocorrer:
• que o devedor efetue o pagamento antes do dia predeterminado.(…)
• que o credor necessite do seu dinheiro antes da data predeterminada. Neste caso, ele pode vender o título de crédito a um terceiro e é justo que este último obtenha um lucro, correspondente ao juro do capital que adianta, no intervalo de tempo que falta para o devedor liquidar o pagamento; assim ele paga uma quantia menor que a fixada no título de crédito.