Livro de Matemática

Sumário

Tabela: contagem de dias

Jan Fev Mar Abr Mai Jun
1 32 60 91 121 152
2 33 61 92 122 153
3 34 62 93 123 154
4 35 63 94 124 155
5 36 64 95 125 156
6 37 65 96 126 157
7 38 66 97 127 158
8 39 67 98 128 159
9 40 68 99 129 160
10 41 69 100 130 161
11 42 70 101 131 162
12 43 71 102 132 163
13 44 72 103 133 164
14 45 73 104 134 165
15 46 74 105 135 166
16 47 75 106 136 167
17 48 76 107 137 168
18 49 77 108 138 169
19 50 78 109 139 170
20 51 79 110 140 171
21 52 80 111 141 172
22 53 81 112 142 173
23 54 82 113 143 174
24 55 83 114 144 175
25 56 84 115 145 176
26 57 85 116 146 177
27 58 86 117 147 178
28 59 87 118 148 179
29 88 119 149 180
30 89 120 150 181
31 90 151
Jul Ago Set Out Nov Dez
182 213 244 274 305 335
183 214 245 275 306 336
184 215 246 276 307 337
185 216 247 277 308 338
186 217 248 278 309 339
187 218 249 279 310 340
188 219 250 280 311 341
189 220 251 281 312 342
190 221 252 282 313 343
191 222 253 283 314 344
192 223 254 284 315 345
193 224 255 285 316 346
194 225 256 286 317 347
195 226 257 287 318 348
196 227 258 288 319 349
197 228 259 289 320 350
198 229 260 290 321 351
199 230 261 291 322 352
200 231 262 292 323 353
201 232 263 293 324 354
202 233 264 294 325 355
203 234 265 295 326 356
204 235 266 296 327 357
205 236 267 297 328 358
206 237 268 298 329 359
207 238 269 299 330 360
208 239 270 300 331 361
209 240 271 301 332 362
210 241 272 302 333 363
211 242 273 303 334 364
212 243 304 365

Matrizes

O que você vai estudar:
  1. Definição
  2. Representação genérica
  3. Matrizes especiais
  4. Igualdade de matrizes
  5. Adição e subtração
  6. Multiplicação de um número real por uma matriz
  7. Multiplicação de matrizes
  8. Matriz identidade
  9. Matriz inversa

Definição de matriz

No nosso dia a dia, deparamo-nos, frequentemente com informações numéricas organizadas na forma de tabelas. Seja em revistas, jornais, televisão, seja na internet as tabelas estão sempre presente. Veja como podemos encontrar matrizes no nosso cotidiano.

1° caso: Um fast food de sanduíches naturais vende dois tipos de sanduíches, A e B, utilizando os ingredientes (queijo, atum, salada, rosbife) nas seguintes quantidades (em gramas) por sanduíche.

Sanduíche A Sanduíche B
queijo 18g 10g
salada 26g 33g
rosbife 23g 12g
atum 10g 16g

2º Caso: Foram recolhidos os dados referentes à altura, ao peso e à idade de um grupo de 4 indivíduos e, em seguida, dispostos numa tabela.

Altura (m) Peso (kg) Idade (anos)
Marcos 1,70 70 23
Juliana 1,75 60 45
Antônio 1,60 52 25
Gabriela 1,81 72 30

Representação genérica

São utilizadas letras maiúsculas para representar matrizes genéricas e letras minúsculas correspondentes para os elementos. Para uma matriz A do tipo m x n, um elemento qualquer dessa matriz será representado pelo símbolo aij, no qual o índice i refere-se à linha em que se encontra tal elemento e o índice j refere-se à coluna em que se encontra o elemento. Esta matriz também pode ser escrita através de uma fórmula ou lei de formação A = (aij)m x n. Note que 1£ i £ m e 1 £ j £ n.

A =
a11 a12 a13 … a1n
a21 a22 a23 … a2n
a31 a32 a33 … a3n
… … … … …
am1 am2 am3 … amn


Note que m e n ΠN*.
Assim temos:
a11 (lê-se: a um um) elemento localizado na 1ª linha e 1ª coluna.
a32 (lê-se: a três dois) elemento localizado na 3ª linha e 2ª coluna.

Exemplo

Encontre os elementos da matriz A = (aij)3 x 3 em que aij = i2 + j2.
A representação genérica da matriz é:

A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

Usamos a lei de formação para obter os dados da matriz.

aij = i2 + j2 fi a11 = 12 + 12 = 2
a12 = 12 + 22 = 5
a13 = 12 + 32 = 10
a21 = 22 + 12 = 5
a22 = 22 + 22 = 8
a23 = 22 + 32 = 13
a31 = 32 + 12 = 10
a32 = 32 + 22 = 13
a33 = 32 + 32 = 18

Logo a matriz A = (aij)3 x 3 em que aij = i2 + j2 é representada por:

A =
2 5 10
5 8 13
10 13 18

Matrizes especiais

Algumas matrizes são ditas especiais. Veja abaixo quais são:
Matriz linha: é a matriz formada por uma única linha.
Exemplo: A = (3, 4, 6) é uma matriz linha 1 x 3.
Matriz coluna: é a matriz formada por uma única coluna.
Exemplo:

A =
5
7
9
É uma matriz coluna 3 x 1


Matriz nula: é a matriz cujos elementos são todos iguais a zero.
Exemplo:

A =
0 0 0
0 0 0
É uma matriz nula 2 x 3


Matriz quadrada: é a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas.
Exemplo:

A =
2 5 10
5 8 13
10 13 18


É uma matriz quadrada 3 x 3. Dizemos que A é quadrada de ordem 3.
Outro ponto interessante que pode ser notado numa matriz quadrada é a diagonal principal. Ela é formada pelos elementos cujo índice da linha é igual ao índice da coluna.

A =
2 5 10
5 8 13
10 13 18


Veja a semelhança com a matriz genérica.

A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33


A outra diagonal é chamada diagonal secundária de A.

A =
2 5 10
5 8 13
10 13 18


Matriz Identidade: é a matriz de ordem n em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são todos iguais a zero. A matriz identidade é representada por In.
Exemplo:

I2 =
1 0
0 1
É uma matriz identidade de ordem 2

I3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
É uma matriz identidade de ordem 3

Observação

A matriz identidade é o elemento neutro do produto de matrizes, quando este existir. Assim, qualquer que seja a matriz quadrada A, tem-se A . I = A.

Matriz transposta: é a matriz obtida pela inversão das linhas pelas colunas da matriz original. Se a matriz A é de ordem m x n, a transposta de A (denominamos At) será de ordem n x m.
Exemplo:

A =
2 5 10
5 8 13
É uma matriz de ordem 2 x 3

At =
2 5
5 8
10 13
É uma matriz de ordem 3 x 2


Note que o que é linha na matriz A se torna coluna na matriz At.

Igualdade de matrizes

Duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn são iguais se cada elemento da matriz A for igual ao elemento correspondente (que ocupa a mesma posição) da matriz B.

Exemplo

Calcule x e y, sabendo que

2x + 3y
3x – y
=
7
16


Vamos inicialmente gerar a matriz genérica que representa o problema.

a11
a21
=
b11
b21


Veja que nesta representação a11 é igual a b11. O elemento a11 está substituindo o valor 2x + 3y e o elemento b11 está substituindo o valor 7. Logo, 2x + 3y = 7. Desta forma podemos montar o sistema:

{ 2x + 3y = 7
3x – y = 16

Para resolvermos este sistema precisamos eliminar uma variável. É fácil perceber que se multiplicarmos a segunda linha do sistema por 3 poderemos cancelar a variável y. Então vamos multiplicar a linha 3x – y = 16 por 3.

{ 2x + 3y = 7
9x – 3y = 48


Veja que ao somarmos as duas linhas a variável y será cancelada. Então fazemos:
2x + 9x = 7 + 48
11x = 55
x = 5.
Agora substituimos o valor 5 encontrado para x na primeira linha do sistema. Veja:
2x + 3y = 7
2(5) + 3y = 7
10 + 3y = 7
3y = 7 – 10
3y = -3
y = -1
Logo, os valores de x e y que tornam as duas matrizes iguais é x = 5 e y = -1.

Adição e subtração de matrizes

Dadas duas matrizes, A = (aij)m x n e B = (bij)m x n, a matriz soma A + B será a matriz C = (cij)m x n, em que cij = aij + bij para todo i e todo j. O processo é idêntico no caso da subtração.

Exemplo

Sendo A =
2 4
3 -1
e B =
1 9
7 6


temos:

A + B =
2 4
3 -1
+
1 9
7 6


A + B =
2 + 1 4 + 9
3 + 7 -1 + 6


A + B =
3 13
10 5


Da mesma forma

A – B =
2 4
3 -1
–
1 9
7 6


A – B =
2 – 1 4 – 9
3 – 7 -1 – 6


A – B =
1 -5
-4 -7

Multiplicação de um número real por uma matriz

Para multiplicar um número real por uma matriz basta multiplicar cada elemento da matriz pelo número real, e o resultado será uma matriz de mesma ordem. Dada uma matriz A = (aij)m x n e um número real k, chama-se produto de k por A a matriz B = (bij)m x n, onde bij = k . aij, com i Î {1, 2, 3, …, m} e j Î {1, 2, 3, …, n}.

Exemplo

Sendo a matriz A =
2 -1 7
3 5 0


calcule 5 * A.
A nova matriz B = 5 * A. logo:

B = 5 *
2 -1 7
3 5 0


B =
5*2 5*(-1) 5*7
5*3 5*5 5*0


B =
10 -5 35
15 25 0

Multiplicação de matrizes

A multiplicação de matrizes exige um pouco mais de atenção. Para ficar mais fácil o entendimento vamos utilizar dois exemplos.

Exemplo 1

Uma doceira produz dois tipos de doces, A e B. Para a produção desses doces são utilizados os ingredientes X, Y e Z, conforme indica a tabela.

DOCES
A B
X 5 8
Y 3 2
Z 4 7

A tabela será representada pela matriz A:

A =
5 8
3 2
4 7


Suponhamos que sejam fabricados 50 doces do tipo A e 20 doces do tipo B, por dia. Essa quantidade de doces pode ser representada pela matriz coluna:

B =
50
20


Se quisermos determinar a quantidade de ingredientes X, Y e Z utilizada por dia, devemos proceder da seguinte forma:

Ingrediente X: 5 * 50 + 8 * 20 = 410
Ingrediente Y: 3 * 50 + 2 * 20 = 190
Ingrediente Z: 4 * 50 + 7 * 20 = 340

Essas quantidades podem ser representadas pela matriz C:

C =
410
190
340


Podemos obter a matriz C, denominada produto de A por B, da seguinte forma:

A * B = C =
5 8
3 2
4 7
*
50
20
=
410
190
340

Nota: exemplo retirado do livro Matemática Fundamental, 2º grau: volume único / José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo : FTD, 1994.


Veja que, no exemplo anterior, veja que uma matriz A = (aij)3 x 2 multiplicada por outra matriz B = (bij)2 x 1 resultou numa matriz C = (cij)3 x 1. Veja a representação genérica.

A * B = C =
a11 a12
a21 a22
a31 a32
*
b11
b21
=
c11
c21
c31


Veja outro exemplo para melhor compreensão do assunto.

Exemplo 2

Suponhamos que o jornal esportivo O Esporte, circule em todo o país. Seu preço varia de acordo com o estado em que é vendido, pois leva em consideração a distância com o estado de São Paulo, onde ele é produzido.
As bancas de jornal “Leia já”, que distribuem o jornal O Esporte, fazem parte de uma rede com sede em São Paulo e filiais em Belo Horizonte, Salvador e Recife.
O proprietário da rede decidiu, durante uma semana, fazer um levantamento sobre a arrecadação gerada pelas vendas do jornal, a fim de estimar qual fração dessa receita as vendas de domingo representam.
Na semana em que foi realizado o levantamento, foram vendidas as seguintes quantidades:

Número de
exemplares vendidos
Cidade de segunda-feira
a sábado		 domingo
São Paulo 248 46
Belo Horizonte 93 32
Salvador 62 29
Recife 57 25

Na tabela abaixo, é possível encontrar o preço de venda do jornal O Esporte em cada cidade citada:

Cidade Preço (em reais)
São Paulo 1,50
Belo Horizonte 2,00
Salvador 2,60
Recife 3,00

Qual foi a receita obtida pelas vendas de O Esporte de segunda-feira a sábado nessas cidades? E no domingo?
1º Cálculo da receita obtida pelas vendas de segunda-feira a sábado:
Vamos representar a tabela do número de exemplares vendidos pela matriz A.

A =
248 46
93 32
62 29
57 25


E a tabela referente ao preço de venda pela matriz B.

B =
1,50
2,00
2,60
3,00


Note que a matriz A é do tipo 4×2, e a matriz B do tipo 4×1. O resultado que esperamos encontrar só será possível se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda. Para isso, devemos gerar a transposta da matriz A.

A * B = C =
248 93 62 57
46 32 29 25
*
1,50
2,00
2,60
3,00


A * B = C =
890,20
283,40


Veja que o valor 890,20 = 248 * 1,50 + 93 * 2 + 62 * 2,60 + 57 * 3.
Perceba que a matriz A = (aij)2 x 4, ao ser multiplicada pela matriz B = (bij)4 x 1, resultou na matriz C = (cij)2 x 1.

Dos exemplos anteriores, decorre que, dadas as matrizes A = (aij)m x n e B = (bjk)n x p, o produto A * B será a matriz C = (cik)m x p, em que um elemento qualquer cik é obtido da seguinte maneira:
cik = ai1 * b1k + ai2 * b2k + … + ain * bnk

Observação

O produto da matriz A pela matriz B segue a regra abaixo:
Am x n * B n x p = C m x P
Veja que número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B.
– A multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, AB ≠ BA.
– Caso ocorra AB = BA, dizemos que as matrizes A e B comutam.
– Na multiplicação de matrizes não vale a lei da anulação do produto, ou seja, podemos ter AB = 0, mesmo com A ≠ 0 e B ≠ 0.
– Não vale também a lei do cancelamento, isto é, podemos ter AB = AC, mesmo com A ≠ 0 e B ≠ C.

Matriz inversa

Considere um número real a. O inverso de a é a-1 ou 1/a.
Quando multiplicamos a por a-1 obtemos como resultado 1, ou seja, a * 1/a = 1.
Vejamos como isso se aplica no caso das matrizes.
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se existir uma matriz B tal que A*B = B*A = In, dizemos que a matriz B é a matriz inversa de A e indicamos por A-1.

Observação

– In é uma matriz identidade de mesma ordem que as matrizes A e B.
– Caso exista a matriz inversa, dizemos que a matriz A é inversível e, caso contrário, não inversível ou singular.
– Se a matriz quadrada A é inversível, a sua inversa é única.

Exemplo

Determinar a inversa da matriz

A =
10 2
4 1

Para isso fazemos

A-1 =
a b
c d

Sabemos que A * A-1 = I2. Logo temos:

10 2
4 1
*
a b
c d
=
1 0
0 1


10a + 2c 10b + 2d
4a + c 4b + d
=
1 0
0 1


Primeiro sistema:

{ 10a + 2c = 1
4a + c = 0


Para resolvermos o sistema acima multiplicamos a segunda linha do sistema 4a + c por -2.

{ 10a + 2c = 1
-8a – 2c = 0


Ao somarmos as duas linhas do sistema, ficamos com:
2a = 1
a = 1/2.
Agora, substituímos o valor de a em uma das linhas do sistema original. A linha escolhida será a segunda 4a + c = 0.
4(1/2) + c = 0
2 + c = 0
c = -2.
A solução do primeiro sistema é S = {1/2, -2}.

Segundo sistema:

{ 10b + 2d = 0
4b + d = 1


A solução deste sistema é similar ao primeiro. Devemos multiplicar a segunda linha 4b + d = 1 por -2, ficando o sistema assim:

{ 10b + 2d = 0
-8b – 2d = -2


Somando as duas linhas do sistema, temos:
2b = -2
b = -1
Novamente, substituímos o valor de b numa das linhas do sistema original. A linha escolhida será 4b + d = 1. Logo:
4(-1) + d = 1
-4 + d = 1
d = 1 + 4
d = 5
A solução deste sistema é S = {-1,5}
Note que as soluções encontradas são os elementos da matriz inversa.

a b
c d
=
1/2 -1
-2 5

1 … 7 8 9 10 11 … 20