Livro de Matemática
Sumário
Derivadas de funções simples de uma variável
O cálculo de derivadas pelo processo de limites se torna bastante trabalhoso e demorado. Por isso, criou-se técnicas ágeis para facilitar os cálculos. Você pode recorrer à Tabela de derivadas e utilizar a regra mais adequada ao seu problema.
Exemplo 1
Encontre a derivada da função f(x) = x5.
Regra utilizada:
f(x) = xn
f'(x) = n * xn – 1
f(x) = x5
f'(x) = 5 * x5- 1
f'(x) = 5x4
Exemplo 2
Encontre a derivada da função f(x) = x5/6.
Regra utilizada:
f(x) = xn
f'(x) = n * xn – 1
f(x) = x5/6
f'(x) = 5/6 * x5/6 – 1
f'(x) = 5/6 * x– 1/6
| f'(x) | = |
|
| f'(x) | = |
|
= |
|
Exemplo 3
Encontre a derivada da função:
| f(x) | = |
|
Regra utilizada:
f(x) = xn
f'(x) = n * xn – 1
A função do problema pode ser reescrita como f(x) = x-5
f(x) = x-5
f'(x) = -5* x-5 – 1
f'(x) = -5* x-6
| f'(x) | = |
|
Exemplo 4
Encontre a derivada da função f(x) = √x.
Regra utilizada:
f(x) = xn
f'(x) = n * xn – 1
A função do problema pode ser reescrita como f(x) = x1/2
f(x) = x1/2
f'(x) = 1/2 * x1/2 – 1
f'(x) = 1/2 * x– 1/2
| f'(x) | = |
|
= |
|
Exemplo 5
Encontre a derivada da função h(x) = 4x³ – x² + 3x – 2.
h(x) = 4x³ – x² + 3x – 2
h'(x) = 4 * 3x² – 2x + 3 – 0
h'(x) = 12x² – 2x + 3
Exemplo 6
Encontre a derivada da função f(x) = (3x² + x)(4 – x4).
A função f(x) = (3x² + x)(4 – x4) é uma multiplicação de duas funções h(x) = (3x² + x) e g(x) = (4 – x4).
f(x) = h(x)g(x)
f'(x) = h(x)g'(x) + h'(x)g(x)
f'(x) = (3x² + x)(4 – x4)’ + (3x² + x)'(4 – x4)
f'(x) = (3x² + x)(-4x³) + (6x + 1)(4 – x4)
f'(x) = -4x³(3x² + x) + (24x – 6x5 + 4 – x4)
f'(x) = – 12x5 – 4x4 + 24x – 6x5 + 4 – x4
f'(x) = – 18x5 – 5x4 + 24x + 4
Exemplo 7
Encontre a derivada da função:
| f(x) | = |
|
A função f(x) é a divisão de duas funções h(x) e g(x).
| f(x) | = |
|
| f'(x) | = |
|
| f'(x) | = |
|
| f'(x) | = |
|
| f'(x) | = |
|
| f'(x) | = |
|
Exemplo 8
Encontre a derivada da função f(x) = 5tgx + 3senx.
Na função f(x) = 5tgx + 3senx temos as constantes 5 e 3 que multiplicam as funções tgx e senx, respectivamente.
A derivada da função tgx é sec²x e a derivada da função senx é cosx. Logo, f'(x) = 5sec²x + 3cosx.
Exemplo 9
Encontre a derivada da função:
| f(x) | = |
|
– | 2 lnx | + | 5 arccosx |
A função pode ser reescrita como:
f(x) = 3x-1 – 2lnx + 5arccosx
f'(x) = -3x-2 – 2(1/x) + 5(-1/(√(1 – x²)))
| f'(x) | = |
|
– |
|
– |
|
Exemplo 10
Encontre a derivada da função f(x) = 3x + arctgx.
Regras utilizadas:
h(x) = ax
h'(x) = axlna
g(x) = arctgx
| g'(x) | = |
|
| f'(x) | = | 3xln3 | + |
|
Derivadas de funções trigonométricas
Encontrar a derivada de uma função trigonométrica não é um trabalho muito simples. Por isso, vamos recuperar alguns conceitos iniciais com a finalidade de facilitar esse processo. Consideremos o círculo de raio unitário abaixo.
Na figura o segmento BC = senx e o segmento OC = cosx. Note que quando x tende a zero, senx tende a zero e cosx tende a 1.
Em termos de limites podemos dizer que:
| lim | senx | = 0 |
| x → 0 |
| lim | cosx | = 1 |
| x → 0 |
Note também que o arco AB é maior do que o segmento BC. Você deve ter aprendido em séries anteriores que a relação entre o ângulo x e o arco AB é:
| x | = |
|
Como no círculo trigonométrico o raio vale 1, o ângulo x é numericamente igual ao arco AB. Daí tem-se:
0 < BC < AB
Visto que, senx = BC, tem-se:
0 < senx < x
Regra da cadeia
A regra da cadeia é utilizada para encontrar a derivada de funções compostas, que são mais elaboradas.
Suponhamos duas funções f(x) = cosx e u(x) = x³. Podemos fazer uma composição destas funções da seguinte forma f(u(x)) ou f(x³) = cos(x³). A função f(u(x)) é uma função composta, f ° u.
Para calcularmos a derivada da função composta f(u(x)) fazemos a derivada da função de dentro vezes a derivada da função de fora.
f(u(x)) = cos(x³)
| f'(u(x)) | = |
|
• |
|
Ou seja, f'(u(x)) = u'(x) • f'(u).
(x³)’ • (cosu)’
3x²(-senu)
3x²(-senx³)
-3x²senx³
f'(u(x)) = -3x²senx³
Exemplo 1
Encontre a derivada da função f(x) = (x² + 1)50.
A função f(x) = (x² + 1)50 é composta com a função u(x) = x² + 1. Portanto, tem-se:
f(u) = u50 e u(x) = x² + 1.
A derivada é calculada fazendo:
| f'(u(x)) | = |
|
• |
|
|
= |
|
• |
|
|
= | u'(x) • f'(u) |
|
= | (x² + 1)’ • (u50)’ |
|
= | 2x50u49 |
|
= | 100x(x² + 1)49 |
Exemplo 2
Encontre a derivada da função f(x) = ln(3x³ – 7x).
A função f(x) = ln(3x³ – 7x) é uma função composta pelas funções f(u) = ln(u) e u(x) = 3x³ – 7x.
Vamos derivar a função u(x).
|
= | 9x² – 7 |
Agora derivamos a função f(u) = ln(u).
|
= |
|
Portanto, a derivada que procuramos é:
|
= |
|
• |
|
|
= | 9x² – 7 | • |
|
|
= |
|
Exemplo 3
Encontre a derivada da função f(x) = ln(cosx).
Verificando a tabela de derivadas temos que:
| y | = | ln(u) | = |
|
Logo,
| y | = | ln(cosx) | = | y’ | = |
|
| y’ | = |
|
y’ = -tgx
Exemplo 4
Encontre a derivada da função f(x) = ln(x + lnx).
Lembre-se de que é possível resolver a derivada de uma função composta verificando uma regra possível na tabela de derivadas ou multiplicando a derivada da função interna pela derivada da função externa.
Função interna = x + lnx
Função externa = ln(x + lnx)
Derivada da função interna
| (x + lnx)’ | = | 1 | + |
|
= |
|
Derivada da função externa:
| (ln(x + lnx))’ | = |
|
A derivada da função f(x) = ln(x + lnx) é:
| f'(x) | = |
|
• |
|
| f'(x) | = |
|
Exemplo 5
Encontre a derivada da função f(x) = senx² e h(x) = sen²x.
f(x) = senx²
f(x) = sen(x²)
f(u) = sen(u)
u(x) = x²
f'(u) = cos(u)
u'(x) = 2x;
f'(x) = u'(x) • f'(u)
f'(x) = 2x • cos(u)
f'(x) = 2xcos(x²)
h(x) = sen²x
h(x) = (senx)²
h(u) = u²
u(x) = senx
h'(u) = 2u
u'(x) = cosx
h'(x) = u'(x) • h'(u)
h'(x) = cosx • 2u
h'(x) = cosx2(senx)
h'(x) = 2cosx.senx
Exemplo 6
Encontre a derivada da função f(x) = ex5 – 7.
Pela tabela de derivadas temos:
| y | = | eu | y’ | = | eu • u’ |
| y | = | ex5 – 7 | y’ | = | ex5 – 7 • (x5 – 7)’ |
| y’ | = | ex5 – 7 • 5x4 | = | 5x4ex5 – 7 |
Exemplo 7
Encontre a derivada da função f(x) = eex.
f(x) = eex
f(u) = eu
f'(u) = eu
u(x) = ex
u'(x) = ex
f'(x) = f'(u) • u'(x)
f'(x) = eu • ex
f'(x) = eex • ex
f'(x) = ex + ex
Regra de L’Hopital
A regra de L’Hopital usa derivadas como estratégia para facilitar o cálculo de limites. Com ela é possível eliminar facilmente as indeterminações encontradas.
Considere duas funções f(x) e g(x).
| lim | f(x) | = 0 |
| x→a |
| lim | g(x) | = 0 |
| x→a |
Nesta situação ambas as funções possuem limite igual a zero quando x tende à a.
Logo, o limite de f(x)÷g(x) não conseguimos calcular de forma imediata. Necessitamos de uma ferramenta adicional para conseguirmos eliminar a indeterminação 0/0 encontrada.
| lim |
|
= |
|
||||||
| x→a |
Suponhamos que seja possível encontrar um valor L para o limite das derivadas f'(x) e g'(x). Se for possível, dizemos que L é também o limite do quociente das originais f(x) e g(x).
| lim |
|
= | L | |||
| x→a |
Exemplo 1
Encontre o limite de :
| lim |
|
|||
| x→0 |
Neste caso se apenas substituírmos os valores de x cairemos numa indeterminação.
| lim |
|
= |
|
||||||
| x→0 |
Para eliminarmos a indeterminação derivamos a função do numerador e do denominador.
| lim |
|
|||
| x→0 |
| lim |
|
|||
| x→0 |
| lim |
|
|||
| x→0 |
| lim |
|
= |
|
||||||||||
| x→0 |
Exemplo 2
Calcular o limite abaixo:
| lim |
|
|||
| x→1 |
Se fizermos as substuições de forma direta vamos nos deparar com a indeterminação 0/0.
Para contornármos a situação vamos aplicar a regra de L’Hopital derivando as duas funções: ln x e 3x – 3.
| lim |
|
|||
| x→1 |
| lim |
|
|||
| x→1 |
| lim |
|
= |
|
|||||||||
| x→1 |
Derivadas sucessivas
A ideia de derivadas sucessivas é bastante natural e não trará nenhuma dificuldade adicional.
Definição
Seja f(x) uma função derivável. Ao derivármos f(x), encontramos f'(x). Assim fica definida uma nova função f'(x). E a partir desta podemos derivar novamente, chegando em f”(x)(lê-se f-duas linhas de x). f”(x) é a derivada segunda de f(x). Também é possível escrevermos
|
Lê-se derivada segunda de f em relação a x.
Exemplo 1
Encontre a derivada de segunda ordem da função f(x) = 3x² + 8x + 1.
Função: f(x) = 3x² + 8x + 1
Derivada primeira: f'(x) = 6x + 8
Derivada segunda: f”(x) = 6
Exemplo 2
Determinar a derivada de segunda ordem da função f(x) = ³√(4 – x³).
A função f(x) = ³√(4 – x³) pode ser reescrita como f(x) = (4 – x³)1/3
Função: f(x) = (4 – x³)1/3
Derivada primeira:
f'(x) = 1/3(4 – x³)1/3 – 1(4 – x³)’
f'(x) = 1/3(4 – x³)-2/3(-3x²)’
f'(x) = -x²(4 – x³)-2/3
Derivada segunda:
f”(x) = (-x²)((4 – x³)-2/3)’ + (4 – x³)-2/3(-x²)’
f”(x) = (-x²)(-2/3(4 – x³)-2/3 – 1(4 – x³)’) + (4 – x³)-2/3(-2x)
f”(x) = (-x²)(-2/3(4 – x³)-5/3(- 3x²)’) + (4 – x³)-2/3(-2x)
f”(x) = (-x²)(2x²(4 – x³)-5/3) + (4 – x³)-2/3(-2x)
f”(x) = (-2x4)(4 – x³)-5/3 + (4 – x³)-2/3(-2x)
Exemplo 3
Determinar a derivada de ordem n = 100 da função g(x) = cosx.
g(x) = cosx
g(1)(x) = – senx
g(2)(x) = – cosx
g(3)(x) = – (-senx) = senx
g(4)(x) = cosx
Na quarta derivada retornamos ao valor da função original. A cada 4 períodos as derivadas da função cosx se repete. Logo, g(4)(x) = g(8)(x) = g(12)(x) … g(100)(x) = cosx
Exemplo 4
Determinar a n-ésima derivada de f(x) = ex/2.
Função: f(x) = ex/2
Derivada primeira:
| f'(x) | = | ex/2 | ( |
|
)’ |
| f'(x) | = |
|
ex/2 |
Derivada segunda:
| f”(x) | = |
|
ex/2 | ( |
|
)’ |
| f”(x) | = |
|
ex/2 |
Se continuarmos derivando concluiremos que as derivadas sucessivas seguem à fórmula:
| f(n)(x) | = |
|
ex/2 |
Derivação implícita
Função na forma implícita
Compreender derivação implícita implica entender como uma função y = f(x) se apresenta a forma implícita.
y = f(x) está na forma explícita e F(x,y) = 0 está na forma implícita. Portanto, dizemos que uma função y = f(x) se encontra na forma implícita quando ao substituírmos y por f(x) em F(x,y) = 0, nos deparamos com uma identidade.
F(x,y) = 0 → forma implícita
Por exemplo:
a equação
| x2 | + |
|
y | – | 1 | = | 0 |
define implicitamente a função y = 2(1 – x2). Como prova, ao substituirmos y = f(x) em F(x,y) = 0 obtemos uma identidade.
| x2 | + |
|
2(1 – x2) | – | 1 | = | 0 |
Derivação de uma função na forma implícita
Vamos derivar a equação x² + y² = 9.
A obtenção da derivada da equação acima não nos impõe que a explicitemos.
(x²)’ + (y²)’ = 9′
2x + 2yy’ = 0
O termo y’ apareceu porque y é uma função de x, ou seja, y = f(x). Nessa situação precisamos aplicar a regra da cadeia, a derivada da função de dentro multiplicada pela derivada da função de fora.
Agora devemos isolar y’.
2yy’ = -2x
| y’ | = |
|
| y’ | = |
|
Exemplo 1
Sabendo que y = f(x) é definida pela equação xy² + 2y³ = x – 2y, determine y’.
(xy² + 2y³)’ = (x – 2y)’
(xy²)’ + (2y³)’ = (x)’ – (2y)’
x(y²)’ + x’.y² + 6y²y’ = 1 – 2*1*y’
x2yy’ + y² + 6y²y’ = 1 – 2y’
x2yy’ + 6y²y’ + 2y’ = 1 – y²
y'(2xy + 6y² + 2) = 1 – y²
| y’ | = |
|
Aplicações das derivadas
As aplicações do cálculo são fascinantes! Neste primeiro momento vamos observar como se comporta uma função com relação a crescimento, decrescimento, pontos de máximos e mínimos locais e/ou absolutos.
Vamos estudar a relação entre a derivada de uma função e o seu comportamento.
Crescimento e decrescimento
Vamos analisar como a função f(x) = x³ – 3x se comporta.
Etapa 1: calculamos a derivada da função. Em seguida igualamos a derivada a zero e resolvemos em função de x.
f(x) = x³ – 3x
f'(x) = 3x² – 3
3x² – 3 = 0
3x² = 3
x = ± 1
Os valores de x encontrados são os pontos críticos candidatos da função f(x) = x³ – 3x. Pelo gráfico da função fica perfeitamente determinado que o seu domínio é toda a reta real. Portanto, os pontos críticos encontrados são pontos de máximo/mínimo locais.
É importante salientar que uma curva terá retas tangentes horizontais em todos os pontos de mínimo e máximo locais(exceto nos vértices acentuados) e em todos os pontos de inflexão horizontais.
Etapa 2: fazemos o estudo do sinal da função derivada.
Note que a função derivada é positiva à esquerda e à direita das raízes; e negativa entre as raízes. A relação existente entre a função derivada e a função original é que onde a função derivada é positiva, a função original é crescente. O intervalo onde a função derivada é negativa, a função original é decrescente.
f'(x) > 0 ⇔ x < -1 ou x > 1
f'(x) < 0 ⇔ -1 < x < 1
Portanto, f(x) é crescente no intervalo (-∞,-1], descrescente no intervalo [-1,1] e crescente no intervalo [1;+∞).
Máximos e mínimos de uma função
Um ponto c pertencente ao domínio de uma função y = f(x), é dito ponto crítico de f(x) se f'(c) = 0 ou f'(c) não existir.
Ponto de máximo local: f(c) > f(x) numa vizinhança de c.
Ponto de máximo global: f(c) > f(x) em todo o domínio de f.
Ponto de mínimo local: f(c) < f(x) numa vizinhança de c.
Ponto de mínimo global: f(c) < f(x) em todo o domínio de f.
Calculemos os valores de f(x) para as abscissas -1 e 1 encontradas na primeira derivada.
f(-1) = (-1)³ – 3(-1)
f(-1) = -1 + 3 = 2
f(1) = (1)³ – 3(1)
f(1) = 1 – 3 = -2
Os pontos (-1,2) e (1,-2) são os pontos críticos de f(x). Para sabermos se estes pontos são de máximo ou de mínimo faremos o teste da segunda derivada.
f(x) = x³ – 3x
f'(x) = 3x² – 3 → derivada primeira
f”(x) = 6x
Fazendo o estudo do sinal da função f”(x) podemos concluir que f”(x) é positiva para todo x > 0 e negativa para todo x < 0.
Se f”(x) > 0, a concavidade do gráfico de f(x) é para cima, portanto um ponto de mínimo local.
Se f”(x) < 0, a concavidade do gráfico de f(x) é para baixo, portanto um ponto de máximo local.
Se f”(x) = 0, nada se pode concluir.
Para os valores críticos x = -1 e x = 1, tem-se:
f”(x) = 6x
f”(-1) = 6(-1) = -6 < 0, portanto um máximo local.
f”(1) = 6(1) = 6 > 0, portanto um mínimo local.
Derivadas parciais
Até o momento aprendemos a encontrar a derivada de funções de uma variável. A partir de agora vamos expandir esse conceito para funções de duas ou mais variáveis. Portanto, calcular a derivada de uma função do tipo z = f(x,y) requer duas etapas:
Etapa 1: derivamos em relação à variável x e mantemos a variável y fixada (tratando-a como constante).
Etapa 2: derivamos em relação à variável y e mantemos a variável x fixada (tratando-a como constante).
Por exemplo: Calcular as derivadas parciais da função f(x,y) = 2x²y + 3xy² – 4x.
|
(x,y) = | 4xy + 3y² – 4 |
Veja que a variável y foi tratada como constante.
|
(x,y) = | 2x² + 6xy |
Nesse momento a variável x foi tratata como constante.
Exemplo 1
Seja z = 2x² + 5y²x – 12x. Encontre a inclinação da reta tangente à curva C1 resultante da intersecção de z = f(x,y) com y = 1, no ponto (2,1,-6).
De acordo com o problema há uma intersecção da função z com o plano y = 1.
z = 2x² + 5y²x – 12x
z = g(x) = 2x² + 5(1)²x – 12x
z = g(x) = 2x² – 7x → C1
g'(x) = 4x – 7 ou
|
(x,y) = | 4x – 7 |
A inclinação da reta tangente à curva C1 é dada pela tgα.
| tgα = |
|
(2,1) = | 4(2) – 7 = 1 |
Logo, tgα = 1.
Integrais
O que você vai estudar:
- Aspectos iniciais
- Primitivas e integral indefinida
- Métodos de integração
– Integração por substituição
– Integração por partes
– Integração por frações parciais - Integral definida
- Integrais impróprias
- Integrais múltiplas
– Integrais duplas
– Regiões de integração
– Mudança de variável
– Integrais triplas
Aspectos iniciais
Antes de começarmos nosso estudo de integral vamos relembrar como calcular a área das figuras planas abaixo:
Para estas figuras já existem fórmulas prontas para calcular a sua área.
• Aretângulo = base * altura.
• Acírculo = πr².
• Atrapézio = [(B + b)h] / 2
Como calcular a área de uma região que não é comum? A função f(x) no gráfico abaixo está definida num intervalo [a,b]. Como calcular a área nesse intervalo? Para encontrar o valor de áreas de figuras incomuns como esta recorremos às integrais.
Vamos calcular a área da figura abaixo da função dada usando uma aproximação por retângulos. Nesta aproximação iremos particionar o intervalo [a,b] em n subintervalos. Inicialmente, faremos a aproximação da área por quatro retângulos, todos com a mesma largura.
Δx será a base de cada retângulo e a sua altura será o valor da função naquele ponto xi.
x1 = a + Δx
x2 = a + 2Δx
xn = a + nΔx
Para calcularmos a área aproximada da figura devemos somar a área de cada retângulo. Lembrando que quanto mais retângulos tivermos mais próximo da área real será o valor encontrado.
Sn = f(x1)Δx + f(x2)Δx + … + f(xn)Δx
| Sn | = |
n
∑
i = 1
|
f(xi)Δx |
| Sn = | lim |
n
∑
i = 1
|
f(xi)Δx |
| n→∞ |
Esta soma é chamada de soma de Riemann da função f(x).
Exemplo
Encontrar por aproximação a área da figura abaixo da função f(x) = -x² + 8x -7 e o eixo das abscissas.
• Aproximação por 3 retângulos:
| S3 | = |
3
∑
i = 1
|
f(xi)Δx |
S3 = f(x1)Δx + f(x2)Δx + f(x3)Δx
S3 = f(1,3)*1,8 + f(3,1)*1,8 + f(6,7)*1,8
S3 = 1,71*1,8 + 8,19*1,8 + 1,71*1,8
S3 ≅ 20,898
• Aproximação por 5 retângulos:
| S5 | = |
5
∑
i = 1
|
f(xi)Δx |
S5 = f(x1)Δx + f(x2)Δx + f(x3)Δx + f(x4)Δx + f(x5)Δx
S5 = f(1,5)*1 + f(2,5)*1 + f(3,5)*1 + f(5,5)*1 + f(6,5)*1
S5 = 2,75*1 + 6,75*1 + 8,75*1 + 6,75*1 + 2,75*1
S5 ≅ 27,75
• Aproximação por 15 retângulos:
| S15 | = |
5
∑
i = 1
|
f(xi)Δx |
S15 = f(x1)Δx + f(x2)Δx + f(x3)Δx + … + f(x15)Δx
S15 = f(1,45)*0,34 + f(1,79)*0,34 + f(2,13)*0,34 + … + f(6,21)*0,34
S15 = 2,4975*0,34 + 4,1159*0,34 + 5,5031*0,34 + … + 4,1159*0,34
S15 ≅ 34,74
A área exata da figura pode ser encontrada através da Integral Definida da função f(x). Veremos mais a frente sobre este assunto.
| ∫ | b | f(x)dx |
| a |
No momento, o que podemos saber é que a área exata da figura é de 36 u.a. E quanto mais retângulos utilizamos mais próximo chegamos desse valor.
| ∫ | 7 | (-x² + 8x – 7)dx |
| 1 |